专题3.1 函数的概念及其表示-2023-2024学年高一数学重点题型专项训练（人教A版必修第一册）

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\l "_Tc7243" 【题型1 对函数概念的理解】 PAGEREF _Tc7243 \h 1
\l "_Tc12589" 【题型2 求函数的定义域】 PAGEREF _Tc12589 \h 2
\l "_Tc27938" 【题型3 求函数的值域】 PAGEREF _Tc27938 \h 3
\l "_Tc9316" 【题型4 由函数的定义域或值域求参数】 PAGEREF _Tc9316 \h 3
\l "_Tc27753" 【题型5 求函数值或由函数值求参】 PAGEREF _Tc27753 \h 4
\l "_Tc32110" 【题型6 同一函数的判断】 PAGEREF _Tc32110 \h 4
\l "_Tc14295" 【题型7 函数的表示法】 PAGEREF _Tc14295 \h 5
\l "_Tc1569" 【题型8 分段函数】 PAGEREF _Tc1569 \h 7
【知识点1 函数的概念】
1．函数的概念
(1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y=f(x)，xA.
(2)函数的四个特征：
①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的.
②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.
③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应.
④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定
的关系就不一定是函数关系.
2．函数的三要素
(1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．
(2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫做函数的值域(range).
(3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．
【题型1 对函数概念的理解】
【例1】（2023·全国·高一假期作业）下列变量间为函数关系的是（ ）
A．匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间t的关系
D．生活质量与人的身体状况间的关系
【变式1-1】（2023·全国·高三对口高考）集合A={x|0≤x≤2},B={x|0≤x≤1}下列表示从A到B的函数是（ ）
A．f:x→y,y=13xB．f:x→y,y=2x
C．f:x→y,y=2xD．f:x→y,y=x
【变式1-2】（2023秋·内蒙古赤峰·高一统考期末）下面图象中，不能表示函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知集合A=x0≤x≤4，集合B=x0≤x≤2，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
【题型2 求函数的定义域】
【例2】（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）函数y=1x−1+x+2的定义域为（ ）
A．xx≥−2且x≠1B．xx≥−2C．xx<−2D．xx∈R且x≠1
【变式2-1】（2023春·重庆江津·高二校联考期末）已知函数f(x+1)的定义域是−2,3，则函数f(2x−1)的定义域（ ）
A．−1,4B．−7,3C．−3,7D．0,52
【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）若函数fx的定义域为0,4，则函数gx=fx+2+1x−1 的定义域为（ ）
A．1,2B．1,4C．1,2D．1,4
【变式2-3】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知函数y=fx的定义域为−8,1，则函数gx=f2x+1x+2的定义域（ ）
A．−92,−2∪−2,0B．−8,−2∪−2,1C．−∞,−2∪−2,3D．−92,−2
【题型3 求函数的值域】
【例3】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x)=|x|+1的定义域为{−1,0,1}，则其值域为（ ）
A．{1,2}B．[1,2]C．{0,1}D．[1,+∞)
【变式3-1】（2023·全国·高三对口高考）函数fx=2−−x2+4x的值域是（ ）
A．−2,2B．1,2C．0,2D．−2,2
【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）下列函数中与函数y=x2值域相同的是（ ）
A．y=xB．y=1xC．y=−x2D．y=x2−2x+1
【变式3-3】（2023·全国·高三对口高考）已知函数f(x)的定义域为[1,9]，且当1≤x≤9时，f(x)=x+2，则y=[f(x)]2+f(x2)的值域为（ ）
A．[1,3]B．[1,9]C．[12,36]D．[12,204]
【题型4 由函数的定义域或值域求参数】
【例4】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=32−xax2+ax+2的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．0≤a≤2B．0≤a<8
C．0【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数fx=3x−1x+3(x≠−3)ax=−3的定义域与值域相同，则常数a=（ ）
A．3B．−3C．13D．−13
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）函数f(x)=x2−4x−6的定义域为[0,m]，值域为[−10,−6]，则m的取值范围是
A．[0，4]B．[4，6]C．[2，6]D．[2，4]
【变式4-3】（2022秋·安徽芜湖·高一校考期中）定义：称b−a为区间a,b的长度，若函数fx=ax2+bx+c(a<0)的定义域与值域区间长度相等，则a的值为（ ）
A．−4B．−2C．4或−2D．与b,c的取值有关
【题型5 求函数值或由函数值求参】
【例5】（2023·重庆·高二统考学业考试）已知函数f(x)=x3−2x+3，那么f(2)的值（ ）
A．3B．5C．7
【变式5-1】（2023·高一课时练习）下表给出了x与f(x)和g(x)的对应关系，根据表格可知f[g(1)]的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-2】（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期中）已知fx+1=2x−3，且fa=3，则a=（ ）
A．4B．3C．2D．1
【变式5-3】（2022·全国·高一专题练习）已知fx=ax5+1，且f−2=10，则f2=（ ）
A．−8B．10C．9D．11
【知识点2 函数的相等】
1．函数的相等
同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数.
2．区间的概念
设a，b是两个实数，而且a(1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
(2)满足不等式a(3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a,b),(a,b].
这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.
【题型6 同一函数的判断】
【例6】（2023·全国·高一假期作业）下列函数中，是同一函数的是（ ）
A．y=(x−1)0与y=1
B．y=x与y=x2x
C．y=x与y=x,x≥0−x,x<0
D．y=x2与y=(x−1)2
【变式6-1】（2023秋·云南昆明·高一统考期末）下列函数中与函数y＝x表示同一个函数的是（ ）
A．y＝|x|B．y=x2xC．y=x2D．y=3x3
【变式6-2】（2023秋·高一单元测试）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A．fx=x+1与gx=x2+xxB．fx=x⋅xx与gt=−t，t<0t，t>0
C．fx=1，gx=x0D．fx=x2，gx=x2
【变式6-3】（2023春·湖南衡阳·高一校考开学考试）下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．y=xx与y=1B．y=x3+xx2+1与y=x
C．y=x2−1x−1与y=x+1D．y=x2−2x+1与y=x−1
【知识点3 函数的表示法】
1．函数的表示法
函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法.
(1)解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系；
(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；
(3)图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.
2．抽象函数与复合函数
(1)抽象函数的概念：没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数．
(2)复合函数的概念：若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函数.
【题型7 函数的表示法】
【例7】（2023·全国·高一假期作业）已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则f[g(1)]=（ ）
A．0B．2C．−2D．1
【变式7-1】（2023·全国·高三专题练习）某校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，则各班推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]（[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[4]=4）可表示为（ ）
A．y=[x+210]B．y=[x+310]C．y=[x+410]D．y=[x+510]
【变式7-2】（2023春·宁夏银川·高三校考阶段练习）如图，△ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AE=x，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【变式7-3】（2023·全国·高三对口高考）如图中的图象所表示的函数的解析式为（ ）
A．y=32|x−1|(0≤x≤2)
B．y=32−32|x−1|(0≤x≤2)
C．y=32−|x−1|(0≤x≤2)
D．y=1−|x−1|(0≤x≤2)
【题型8 分段函数】
【例8】（2023·全国·高一专题练习）已知f(x)=−x,x≤0x2,x>0，则f(−3)=（ ）
A．−3B．3C．−9D．9
【变式8-1】（2023春·辽宁沈阳·高二校联考期末）已知函数fx=x−1,x>0,4x,x≤0,若fa=−12，则实数a的值为（ ）
A．12B．18C．18或−12D．−18或12
【变式8-2】（2023秋·江西赣州·高一统考期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A．17m3B．15m3C．13m3D．263m3
【变式8-3】（2023·全国·高三专题练习）函数y=fx的图象是如图所示的折线段OAB，其中A1,2，B3,0，函数gx=x⋅fx，那么函数gx的值域为（ ）
A．0,2B．0,94
C．0，32D．0,4
x
1
2
3
4
x
1
2
3
4
f(x)
3
1
4
2
g(x)
4
3
2
1
x
−1
0
1
2
3
fx
2
1
3
0
−2
gx
3
2
−1
−2
0
每户每月用水量
水价
不超过10m3的部分
2.5元/m3
超过10m3但不超过15m3的部分
5元/m3
超过15m3的部分
7.5元/m3