专题7.5 复数全章九大基础题型归纳（基础篇）-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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题型1
复数的分类及辨析
1．（2023下·高一课时练习）下列四种说法正确的是（ ）
A．如果实数a=b，那么a−b+(a+b)i是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果a=0，那么z=a+bi是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
2．（2023·全国·高一专题练习）下列关于复数x+i的说法一定正确的是（ ）
A．是虚数B．存在x使得x+i是纯虚数
C．不是实数D．实部和虚部均为1
3．（2023·全国·高一随堂练习）在复数1−2i，2+3，12i，−5+2i，0，7+5−2i中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？其中虚数的实部与虚部分别是什么？
4．（2023下·新疆喀什·高一校考阶段练习）已知复数z=m2+m−6+m2+5m+6i（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；
(1)z为实数；
(2)z为虚数；
(3)z为纯虚数.
题型2
复数的几何意义
1．（2023上·新疆和田·高二校考期中）已知复数z=2+i，则z在复平面内对应第（ ）象限
A．一B．二C．三D．四
2．（2023上·云南红河·高二校考阶段练习）已知复数z在复平面内对应的点的坐标为−1,2，则z=（ ）
A．−1+2iB．1+2iC．1−2iD．−1−2i
3．（2023下·安徽滁州·高一校联考阶段练习）已知复数z=m2+2m+m2−m−6i,m∈R,i是虚数单位.
(1)若复数z在复平面内对应的点在直线y=−12x上，求m的值；
(2)若复数z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
4．（2023下·吉林长春·高一长春外国语学校校考期中）已知复数z=m2−1+m2−m−2i，m∈R．
(1)若z是纯虚数，求m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线x−y+1=0上，求m的值；
(3)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．
题型3
复数的模的计算
1．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）设复数z=3−4i，则z的共轭复数的模为（ ）
A．7B．1C．5D．25
2．（2023下·广东河源·高二校考期中）已知复数z=a+b−a−bi为纯虚数（a,b∈R，i是虚数单位），且z=2，则（ ）
A．a=1且b=1B．a=1且b=−1C．a=1或b=−1D．b=1或b=−1
3．（2023下·湖北襄阳·高一校联考期中）已知复数z=m2+m−2+m−1im∈R.
(1)若z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z在复平面内对应的点在直线y=13x上，求z.
4．（2023下·河南南阳·高一统考期末）已知复数z=m2+m−6+m2+m−2i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；
(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.
题型4
复数的加、减运算
1．（2023·全国·高一专题练习）已知z1=1+i，z2=2−2i，则z1+2z2=（ ）
A．4B．5+3iC．4−3iD．5−3i
2．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z在复平面内对应的点为1,−2，则z−2z=（ ）
A．−1−6iB．−1+6i
C．1−6iD．1+6i
3．（2023下·全国·高一专题练习）化简下列复数
（1）6−5i+3+2i
（2）5−6i+−2−i−3+4i
4．（2023·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，计算下列各式．
(1)(1+2i)+(7−11i)−(5+6i)；
(2)5i−[(6+8i)−(−1+3i)]；
(3)23+i+1−23i−12+34i；
(4)(a+bi)−(2a−3bi)−3i(a,b∈R)．
题型5
复数的乘、除运算
1．（2023上·江苏镇江·高三校考阶段练习）设z=2+ii1+i，则z+z=（ ）
A．2B．1C．−1D．−2
2．（2023·全国·模拟预测）已知z=1−i⋅i，则4z−i1+2i=（ ）
A．1+iB．2+iC．1−iD．2−i
3．（2023下·新疆喀什·高一统考期末）计算：
(1)1+i1−i+−1+i；
(2)1+2i2+31−i2+i.
4．（2023上·山东日照·高二校考阶段练习）已知z1=5+10i,z2=3−4i.
(1)求z1z2的值；
(2)设1z=1z1+1z2,求z的值.
题型6
根据复数的四则运算结果求参数
1．（2023下·全国·高一专题练习）已知复数z=a−2i1+3i (a∈R)的实部与虚部的和为12，则a=（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023下·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，若复数z=a−i2−i的实部与虚部相等，则实数a的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
3．（2023·全国·高一专题练习）已知z1=3x−4y+y−2xi，z2=−2x+y+x−3yi，x,y为实数，若z1−z2=5−3i，求z1+z2
4．（2023·高一课时练习）已知z=1+i，如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.
题型7
求辅角主值
1．（2023·全国·高一专题练习）z=1−3i（i是虚数单位），则z的辐角主值argz=（ ）
A．53πB．116πC．−π3D．−π6
2．（2023·全国·高一专题练习）任意复数z=a+bi（a、b∈R，i为虚数单位）都可以写成z=rcsθ+isinθ的形式，其中r=a2+b20≤θ<2π该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值.若复数z=32+12i，则z的辐角主值为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
3．（2023·全国·高一随堂练习）求下列复数的模与辐角主值：
(1)−1+i
(2)−2
(3)12−32i
(4)−22+22i
4．（2023·高一课时练习）已知复数z满足(z+1)(z+1)=|z|2，且z−1z+1是纯虚数．
(1)求z；
(2)求z的辐角主值．
题型8
复数的代数形式与三角形式的互化
1．（2023·全国·高三专题练习）复数−12+32i的三角形式是（ ）
A．cs60∘+isin60∘B．−cs60∘+isin60∘
C．cs120∘+isin60∘D．cs120∘+isin120∘
2．（2023·高一课时练习）以下不满足复数12−32i的三角形式的是（ ）．
A．cs−π3+isin−π3；
B．cs5π3+isin5π3；
C．csπ3+isinπ3；
D．cs11π3+isin11π3．
3．（2023下·全国·高一专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4(csπ6+isinπ6)；
（2）2(csπ3−isinπ3)
4．（2023下·全国·高一专题练习）把下列复数表示成三角形式，并画出与之对应的向量．
(1)6；
(2)1+i；
(3)1−3i；
(4)−32+12i．
题型9
三角形式下的复数的乘、除运算
1．（2023·高一课时练习）计算2cs75°+isin75°⋅12−12i的值是（ ）
A．−62+22iB．62+22i
C．22−62iD．22+62i
2．（2023·全国·高一专题练习）4csπ+isinπ÷2csπ3+isinπ3=（ ）
A．1+3iB．1−3iC．−1+3iD．−1−3i
3．（2023·全国·高一专题练习）计算：
(1)8csπ6+isinπ6⋅2csπ12+isinπ12；
(2)8cs240°+isin240°÷2cs150°−isin150°．
4．（2023·全国·高一专题练习）计算：
(1)3csπ6+isinπ6×2csπ6−isinπ6
(2)6csπ3+isinπ3÷3csπ6−isinπ6
(3)−12+32i×csπ6−isinπ6
(4)1−i÷csπ6+isinπ6