专题7.8 复数全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高一数学下学期高效讲练测（人教A版必修第二册）

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考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2023·全国·高三专题练习）已知复数z=21+i
①在复平面内z对应点的坐标为(1，－1)；
②复数的虚部为−i；
③复数的共轭复数为i−1；
④|z|=2；
⑤复数z是方程x2−2x+2=0在复数范围内的一个根.
以上5个结论中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（5分）（2023下·四川宜宾·高二校考期中）已知复数z=−12−32i，则z+|z|=（ ）
A．−12−32iB．−12+32iC．12+32iD．12−32i
3．（5分）（2023下·江苏盐城·高一统考期中）已知复数z1=m+1−m2i，m∈R，z2=csθ+λ+sinθi，λ,θ∈R，并且z1=z2，则λ的取值范围为（ ）
A．−1≤λ≤1B．−14≤λ≤0C．0≤λ≤2D．−14≤λ≤2
4．（5分）（2023·上海宝山·统考一模）已知z是复数，z是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A．z2=z2
B．若z=1，则z−1−i的最大值为2+1
C．若z=1−2i2，则复平面内z对应的点位于第一象限
D．若1−3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则q=−8
5．（5分）（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足z⋅z=4且z+z+2z=0，则z1931+2021的值为（ ）
A．−21976B．−23952C．21976D．23952
6．（5分）（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1，z2和z满足z1=z2=1，若z1−z2=z1−1=z2−z，则z的最大值为（ ）
A．23B．3C．3D．1
7．（5分）（2023下·上海虹口·高一校考期末）设复数z的共轭复数是z，且z=1，又复数z对应的点为Z,A−1,0与B0,1为定点，则函数fz=z+1z−i取最大值时在复平面上以Z,A,B三点为顶点的图形是（ ）
A．等边三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
8．（5分）（2023·全国·高一专题练习）设复数z1=2sinθ+icsθπ4<θ<π2在复平面上对应向量OZ1，将向量OZ1绕原点O按顺时针方向旋转3π4后得到向量OZ2，OZ2对应复数z2=rcsφ+isinφ，则tanφ=（ ）
A．2tanθ+12tanθ−1B．2tanθ−12tanθ+1C．12tanθ+1D．12tanθ−1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（2023下·河北沧州·高一校联考期中）关于复数，下列说法错误的是（ ）
A．若z=1，则z=±1或±i
B．复数6+5i与−3+4i分别对应向量OA与OB，则向量AB对应的复数为9+i
C．若z是复数，则z2+1>0
D．若复数z满足1≤z<2，则复数z对应的点所构成的图形面积为π
10．（5分）（2023·高一单元测试）已知方程x2+2(1+i)x+(a−b)i+2ab=0(a,b∈R)，则下列说法正确的是（ ）
A．若方程有一根为0，则a=0且b=0
B．方程可能有两个实数根
C．ab<12时，方程可能有纯虚数根
D．若方程存在实数根x0，则x0≤0或x0≥2
11．（5分）（2023下·河北邢台·高一校联考阶段练习）欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列说法中正确的是（ ）
A．e3i对应的点位于第二象限
B．e2πi为实数
C．exi3+i的模长等于12
D．eπ3i的共轭复数为12+32i
12．（5分）（2023上·福建莆田·高二校考开学考试）已知复数z1=csα+isinα，z2=csβ+isinβ，z3=csγ+isinγ，O为坐标原点，z1，z2，z3对应的向量分别为OZ1，OZ2，OZ3，则以下结论正确的有（ ）
A．z1⋅z2=z1⋅z2
B．若z1⋅z2=z1⋅z3，则z2=z3
C．若OZ1+OZ2=OZ3，则OZ1与OZ2的夹角为π3
D．若OZ1+OZ2+OZ3=0，则△Z1Z2Z3为正三角形
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2023·全国·高一专题练习）在复平面中，已知点A(−1,0)、B(0,3)，复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，且满足z1=z2=2,Z1Z2=4，则AZ1⋅BZ2的最大值为 .
14．（5分）（2023·全国·高一专题练习）为求方程x5−1=0的虚根，可把原式变形为(x−1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0，由此可得原方程的一个虚根的实部为 .
15．（5分）（2023下·高一单元测试）设z1、z2为复数，a为正实数，则下列命题一定成立的有 个.
①如果z12+z22=0，那么z1=z2=0；
②如果z1=z2，那么z1=±z2；
③如果z1=a，那么z1⋅z1=a2；
④如果z1=1，z2−5i=2，那么2≤z1−z2≤8.
16．（5分）（2023·全国·高一专题练习）对任意三个模长小于1的复数z1，z2，z3，均有z1z2+z2z3+z3z12+z1z2z32<λ恒成立，则实数λ的最小可能值是 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2023下·甘肃白银·高一校考期末）已知复数z1=1+mi（m∈R）满足z12−i为纯虚数．
(1)求z1；
(2)若复数z2=z1n+i3（n∈R）在复平面内对应的点位于第三象限，求n的取值范围．
18．（12分）（2023·高一课时练习）复数ω的辐角主值是3π4，且ω2+2(ω−i)ω为一实数，求复数ω．
19．（12分）（2023下·福建·高一校考期中）已知z为虚数，若ω=z+1z∈R，且−1<ω<2.
(1)求z的实部的取值范围；
(2)设μ=1−z1+z，求ω−μ2的最小值.
20．（12分）（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=3a+2+a2−3i,z2=2+(3a+1)i,a∈R．
(1)若复数z1−z2在复平面内的对应点落在第一象限，求实数a的取值范围；
(2)若虚数z1是方程x2−6x+m=0的一个根，求实数m的值．
21．（12分）（2023·高三课时练习）设非零复数z,w满足关系wz−w=0，且z的实部为1−ra21+a2，其中a,r∈R．
(1)当r=2时，求复数z，使z在复平面上对应的点位于实轴的下方；
(2)是否存在正整数r，使得u=z2−z+2对于任意实数a，只有最小值而无最大值？若存在这样的r的值，请求出此时使u取得最小值的a的值；若不存在这样的r的值，请说明理由．
22．（12分）（2023·全国·高一专题练习）对于一组复数z1，z2，z3，…，znn∈N,n≥3，令Sn=z1+z2+z3+⋅⋅⋅+zn，如果存在zpp∈1,2,3,⋅⋅⋅,n，使得zp≥Sn−zp，那么称zp是该复数组的“M复数”.
（1）设zn=n+n−xin∈1,2,3，若z3是复数组z1，z2，z3的“M复数”，求实数x的取值范围；
（2）已知z1=i，z2=1+i，是否存在复数z3使得z1，z2，z3均是复数组z1，z2，z3的“M复数”？若存在，求出所有的z3，若不存在，说明理由；
（3）若zn=59n−1+i⋅−1nn∈N,n≥1，复数组z1，z2，z3，…，zn是否存在“M复数”？给出你的结论并说明理由．