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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课时练习

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列课时练习,共19页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.已知等比数列中,,,则公比q=( )
    A.B.C.D.2
    2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第六个单音的频率为( )
    A.B.C.D.
    3.若数列是公比为4的等比数列,且,则数列是( )
    A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列
    C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列
    4.在等比数列中,,,则( )
    A.B.C.D.
    5.(多选题)据美国学者詹姆斯·马丁的测算,近十年,人类知识总量已达到每三年翻一番,到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此,基础教育的任务已不是教会一切人一切知识,而是让一切人学会学习.已知2000年底,人类知识总量为,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是( ).
    A.2006年底人类知识总量是B.2009年底人类知识总量是
    C.2019年底人类知识总量是D.2020年底人类知识总量是
    6.(多选题)设是公比为的等比数列,下列四个选项中是正确的命题有( )
    A.是公比为的等比数列B.是公比为的等比数列
    C.是公比为的等比数列D.是公比为的等比数列
    二、填空题
    7.已知数列是等比数列,,,且,则数列的公比___________ .
    8.有一改形塔几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长等于1,那么该塔形中正方体的个数是___________ .
    9.在等比数列中,,,则值为__________.
    10.已知数列满足,.设,,且数列是递增数列,则实数的取值范围是________.
    三、解答题
    11.已知数列的前n项和.
    (1)证明:是等比数列.
    (2)求数列的前n项和.
    12.诺贝尔奖每年发放一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元,基金平均年利率为.
    (1)求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01);
    (2)设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额,其中,求数列的通项公式,并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度.
    4.3.1等比数列的概念 (2) 基础练
    一、选择题
    1.已知等比数列中,,,则公比q=( )
    A.B.C.D.2
    【答案】B
    【详解】,即,解得.故选:B.
    2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为,则第六个单音的频率为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】由题意知,十三个单音的频率构成等比数列,公比为,第六个单音的频率.故选:B.
    3.若数列是公比为4的等比数列,且,则数列是( )
    A.公差为2的等差数列B.公差为的等差数列
    C.公比为2的等比数列D.公比为的等比数列
    【答案】A
    【详解】因为数列是公比为4的等比数列,且,
    所以,,,
    所以数列是公差为2的等差数列,故选A.
    4.在等比数列中,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】解:.∵在等比数列中,,
    所以.故选:B.
    5.(多选题)据美国学者詹姆斯·马丁的测算,近十年,人类知识总量已达到每三年翻一番,到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度.因此,基础教育的任务已不是教会一切人一切知识,而是让一切人学会学习.已知2000年底,人类知识总量为,假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番,从2009年底到2019年底是每一年翻一番,2020年(按365天计算)是每73天翻一番,则下列说法正确的是( ).
    A.2006年底人类知识总量是B.2009年底人类知识总量是
    C.2019年底人类知识总量是D.2020年底人类知识总量是
    【答案】BCD
    【详解】2000年到2006年每三年翻一番,则总共翻了番.
    2000年底,人类知识总量为a,则2006年底,人类知识总量为,故A错.
    2000年到2009年每三年翻一番,则总共翻了番.
    则2009年底,人类知识总量为,故B正确,
    2009年到2009年每一年翻一番,则总共翻了番
    则2019年底,人类知识总量为,故C正确.
    2020年是每73天翻一番,则总共翻了番,
    则2020年底,人类知识总量为,故D正确.故选:BCD.
    6.(多选题)设是公比为的等比数列,下列四个选项中是正确的命题有( )
    A.是公比为的等比数列B.是公比为的等比数列
    C.是公比为的等比数列D.是公比为的等比数列
    【答案】AB
    【详解】由于数列是公比为的等比数列,则对任意的,,且公比为.
    对于A选项,,即数列是公比为的等比数列,A选项正确;
    对于B选项,,即数列是公比为的等比数列,B选项正确;对于C选项,,即数列是公比为的等比数列,C选项错误;对于D选项,,即数列是公比为的等比数列,D选项错误.故选:AB.
    二、填空题
    7.已知数列是等比数列,,,且,则数列的公比___________ .
    【答案】2
    【详解】数列是等比数列,则,所以,
    而,,所以公比.
    8.有一改形塔几何体由若干个正方体构成,构成方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8,如果改形塔的最上层正方体的边长等于1,那么该塔形中正方体的个数是___________ .
    【答案】7
    【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为,
    则为以8为首项,以为公比的等比数列,
    所以其通项公式为,
    令可得,.
    9.在等比数列中,,,则值为__________.
    【答案】6
    【详解】因为是等比数列,,
    所以.
    10.已知数列满足,.设,,且数列是递增数列,则实数的取值范围是________.
    【答案】
    【详解】由可得,数列是首项和公比均为的等比数列,所以,则,又因为是递增数列,所以恒成立,即恒成立,所以,所以.
    三、解答题
    11.已知数列的前n项和.
    (1)证明:是等比数列.
    (2)求数列的前n项和.
    【详解】(1)当时.,,
    又,
    所以的通项公式为.
    因为,所以是首项为9,公比为3的等比数列.
    (2)因为,
    所以,
    所以数列的前n项和:
    .
    12.诺贝尔奖每年发放一次,把奖金总金额平均分成6份,奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人.每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半,另一半利息用于增加基金总额,以便保证奖金数逐年递增.资料显示:1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元,基金平均年利率为.
    (1)求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01);
    (2)设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额,其中,求数列的通项公式,并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度.
    【详解】
    (1)由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
    万美元,
    每项诺贝尔奖发放奖金为万美元;
    (2)由题意得,


    所以,
    年诺贝尔奖发奖后基本总额为,
    年每项诺贝尔奖发放奖金为万美元,
    故该推测具有可信度.

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