高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列免费同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列免费同步练习题，共25页。试卷主要包含了有下列四个说法，证明等内容，欢迎下载使用。
4.3　等比数列
4.3.1　等比数列的概念
基础过关练
题组一　等比数列的概念及其应用
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有(　　)
①数列1,2,6,18,…;
②数列{an}中,已知a2a1=2,a3a2=2;
③常数列a,a,…,a,…;
④数列{an}中,an+1an=q(q≠0),其中n∈N*.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.有下列四个说法:
①等比数列中的某一项可以为0;
②等比数列中公比的取值范围是(-∞,+∞);
③若一个常数列是等比数列,则这个常数列的公比为1;
④若b2=ac,则a,b,c成等比数列.
其中说法正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
3.(1)已知数列{an}满足a1=78,且an+1=12an+13.求证:an-23是等比数列;
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=13(an-1)(n∈N*).证明:数列{an}是等比数列.


题组二　等比中项
4.2-3与2+3的等比中项是(　　)
A.1 B.-1
C.2 D.-1或1
5.(2020重庆一中高二上期中)已知等差数列{an}的公差为2,且a3是a1与a7的等比中项,则a1等于(　　)
A.6 B.4 C.3 D.-1
6.已知a是1,2的等差中项,b是-1,-16的等比中项,则ab等于(　　)
A.6 B.-6 C.±6 D.±12
7.(多选)(2020山东临沂高二期末)已知三个数1,a,4成等比数列,则圆锥曲线x2+y2a=1的离心率为(　　)
A.22 B.32 C.62 D.3
题组三　等比数列的通项公式
8.在等比数列{an}中,a1=32,公比q=-12,则a6=(　　)
A.1 B.-1 C.2 D.12
9.在等比数列{an}中,a3+a4=4,a2=2,则公比q等于(　　)
A.2 B.1或-2
C.1 D.-1或2
10.(2020山东济宁实验中学高二上期中)在等比数列{an}中, a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a5=(　　)
A.24 B.48 C.96 D.-48
11.(2019陕西西安一中高二上月考)现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为(　　)
A.8×1.0258万元 B.8×1.0259万元
C.8×1.02510万元 D.8×1.02511万元
12.已知某等比数列的前三项依次为x,2x+2,3x+3,那么-272是此数列的(　　)
A.第2项 B.第4项
C.第6项 D.第8项
13.已知等比数列{an},若a3=2,a2+a4=203,求数列{an}的通项公式.




14.(2020江西九江一中高二上期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+1,设bn=an+1-2an.
(1)证明数列{bn}是等比数列;
(2)数列{cn}满足cn=1log2bn+3(n∈N*),设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+…+cncn+1,求T20.




题组四　等比数列的性质及其综合运用
15.(2019湖南怀化三中高二上期中)等比数列{an}满足a1=3,a3=6,则a3+a5+a7=(　　)
A.21 B.42 C.63 D.84
16.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=158,a8a9=-98,则1a7+1a8+1a9+1a10=(　　)
A.-56 B.-53 C.-83 D.-103
17.已知数列{an}是等比数列,则下列说法正确的个数是(　　)
①数列{an2}是等比数列;
②数列{2+an}是等比数列;
③数列{lg an}是等比数列;
④数列{nan}是等比数列;
⑤数列1an是等比数列;
⑥数列{an+an+1}是等比数列.
A.2 B.3 C.4 D.5
18.(2020福建福州八县一中高二上期中)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2+…+log2a20=(　　)
A.60 B.50 C.40 D.20+log25
19.(1)已知等比数列{an}满足a1=14,a3a5=4(a4-1),求a2的值;
(2)已知等比数列{an}为递增数列.若a1>0,且2(a4+a6)=5a5,求数列{an}的公比q.


20.在等比数列{an}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0.设bn=log2an,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项公式.








能力提升练
题组一　等比数列的概念及其应用
1.(2020天津耀华中学高二上期中,)若b≠0,则“a,b,c成等比数列”是“b=ac”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2.(2020陕西西安电子科技大学附属中学高二上期中,)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我的羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我的马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比率偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还粟a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是(　　)
A.a,b,c成公比为2的等比数列,且a=507
B.a,b,c成公比为2的等比数列,且c=507
C.a,b,c成公比为12的等比数列,且a=507
D.a,b,c成公比为12的等比数列,且c=507
3.()已知a,b,c均为正数,若a+b+c,b+c-a,c+a-b,a+b-c成等比数列,且公比为q,则q3+q2+q=(　　)
A.0 B.1 C.3 D.不确定
4.(2020江西九江一中高二上期中,)已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是　　　　　. 
题组二　等比数列的通项公式
5.(2020山东济宁实验中学高二上期中,)等比数列{an}满足a4+a7=4,a5·a6=3,则a1+a10=(　　)
A.-283 B.-13 C.13 D.283
6.()已知数列{an}满足a1=1,an+1=anan+2(n∈N*).若bn=log21an+1,则数列{bn}的通项公式bn=(　　)
A.12n B.n-1 C.n D.2n
7.(2020北京石景山高二上期末,)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,且a2=1,a3+a4=6.设数列{an-n}的前n项和为Sn,那么S4　　　　S5(填“>”“1,所以q=2.
20.解析　(1)证明:因为bn=log2an,
所以bn+1-bn=log2an+1-log2an=log2an+1an=log2q(q>0)为常数,
所以数列{bn}是公差为log2q的等差数列.
(2)设等差数列{bn}的公差为d,
因为b1+b3+b5=6,所以(b1+b5)+b3=2b3+b3=3b3=6,所以b3=2.
因为a1>1,所以b1=log2a1>0,
又因为b1b3b5=0,所以b5=0,
即b3=2,b5=0,即b1+2d=2,b1+4d=0,解得b1=4,d=-1,
因此Sn=4n+n(n-1)2×(-1)=9n-n22,
所以d=log2q=-1,解得q=12,
b1=log2a1=4,解得a1=16,
所以an=a1qn-1=25-n(n∈N*).
能力提升练
1.B　∵b≠0,且b=ac,∴b2=ac,且a,b,c均不为0,∴a,b,c成等比数列,因此必要性成立;由a,b,c成等比数列得,b2=ac,从而b=±ac,因此充分性不成立.故选B.
2.D　依题意得,a,b,c成等比数列,且公比为12,∴b=12a,c=12b=14a,
∴a+12a+14a=5×10,解得a=2007,
∴c=14a=507,故选D.
3.B　依题意,有q3+q2+q=a+b-ca+b+c+c+a-ba+b+c+b+c-aa+b+c=1.
4.答案　5-12,5+12
解析　由题意可设三角形的三边分别为aq,a,aq,a>0,q>0,因为三角形中任意两边之和大于第三边,
所以aq+a>aq,aq+aq>a,a+aq>aq,解得-1+520,故S5>S4.
8.解析　(1)证明:∵an+Sn=n,①
∴an+1+Sn+1=n+1,②
②-①得an+1-an+an+1=1.
∴2an+1=an+1,
∴2(an+1-1)=an-1,
∴an+1-1=12(an-1),即cn+1=12cn.
又a1+a1=1,∴a1=12,∴c1=a1-1=-12≠0,
∴{cn}是以-12为首项,12为公比的等比数列.
(2)由(1)可知,cn=-12·12n-1=-12n,
∴an=cn+1=1-12n.
当n≥2时,bn=an-an-1
=1-12n-1-12n-1
=12n-1-12n=12n.
又当n=1时,b1=a1=12,符合上式,
∴bn=12n(n∈N*).
9.解析　(1)∵2Sn+2n=3an,
∴2Sn+1+2(n+1)=3an+1,
两式相减得an+1=3an+2,
∴an+1+1=3(an+1).
又2S1+2=3a1,∴2a1+2=3a1,∴a1=2.
∴a1+1=3≠0,
∴数列{an+1}是以3为首项, 3为公比的等比数列,
∴an+1=3n,∴an=3n-1.
(2)证明:由(1)可得,
bn=1+anan·an+1=3n(3n-1)(3n+1-1)
=1213n-1-13n+1-1,
∴Tn=1213-1-132-1+132-1-133-1+…+13n-1-13n+1-1
=1212-13n+1-1
=14-12·13n+1-10,q>0.
∵a4=a2q2,即8=2q2,∴q=±2.
又q>0,∴q=2.
∴an=a2·qn-2=2×2n-2=2n-1,
∴log2an=log22n-1=n-1.
∴数列{log2an}的前n项和为0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)2.故选C.
11.C　如果a1=1,a2=2,a3=8,a4=16,满足a1a4=a2a3,但{an}不是等比数列;反之,若{an}为等比数列,则根据等比数列的性质可知a1a4=a2a3,所以“a1a4=a2a3”是“{an}为等比数列”的必要不充分条件,故选C.
12.A　因为{an}是等比数列,所以a1a6a11=a63=-33,所以a6=-3,所以a4a8=a62=3.
因为{bn}是等差数列,所以b1+b6+b11=3b6=7π,所以b6=7π3,所以b3+b9=2b6=14π3.
所以b3+b91-a4a8=-7π3,所以tanb3+b91-a4a8=tan-7π3=-tanπ3=-3.
13.答案　34
解析　由题意知m+n=5+7=12,即m12+n12=1(m,n∈N*),
则1m+4n=1m+4nm12+n12=512+n12m+m3n≥512+2n12m·m3n=34,当且仅当4m2=n2时等号成立,此时m=4,n=8,所以1m+4n的最小值为34.
14.解析　(1)由已知得,b2=b1q=q(q>0),
S2=a1+a2=3+a2,
∴b2+S2=q+3+a2=12,S2=3+a2=q2,
解得q=3,a2=6或q=-4,a2=13(舍去),
∴a2-a1=3,an=3+(n-1)×3=3n,
bn=b1qn-1=3n-1.
(2)由(1)知,cn=3bn-λ·2an3=3n-λ·2n.由题意知cn+1>cn对任意n∈N*恒成立,即3n+1-λ·2n+1>3n-λ·2n恒成立,即λ·2n