高一数学人教A版（2019）必修第一册单元检测卷 第二章 一元二次函数、方程和不等式 B卷 能力提升

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第二章   一元二次函数、方程和不等式 B卷 能力提升【满分：120分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，，则与的大小关系是(   )A.  B.C.  D.随x值变化而变化2.已知不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(   )A.  B.或C.或 D.3.下列命题为真命题的是(   )A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.若，，且，则，，，中最大的是(   )A. B. C.2ab D.5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元/件)之间的关系为，生产x件所需成本为C(元)，其中元.若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x的取值范围是(   )A. B.C. D.6.某批救灾物资随41辆汽车从某市以的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则(   )A.70 B.80 C.90 D.1007.关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围是(   )A.或 B.C.  D.8.设m，n为正数，且，则的最小值为(   )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知实数x，y满足，，则(   )A.  B.C.  D.10.已知关于x的不等式，则下列说法中正确的是(   )A.若，则不等式的解集为RB.若，则不等式的解集为或C.若，则不等式的解集为或D.若，则不等式的解集为或11.已知正数x，y满足，则(   )A.xy的最大值是1  B.的最小值是2C.的最小值是4 D.的最小值是12.已知a，b，c均为实数，则下列说法正确的是(   )A.若，则B.若，则C.若，则，D.若，，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设，，，则A，B的大小关系是_______（用“>”连接）.14.已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值范围是___________.15.已知关于x的方程有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是___________.16.已知，，则的取值范围是__________.四、解答题：本题共4题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，，，求证：(1)；(2).18.已知关于x的不等式.(1)当时，解关于x的不等式；(2)当时，不等式恒成立，求x的取值范围.19.（1）已知，且，比较与的大小；（2）已知，，试比较与的大小.20.设矩形的周长为，把沿AC向折叠，AB折过去后交DC于点P，如图所示，设，.（1）求y与x之间的关系式；（2）求的最大面积及相应x的值.
答案以及解析1.答案：A解析：因为，所以，故选A.2.答案：A解析：方法一：的最小值为4，所以要使对任意实数x恒成立，只需，解得，故选A.方法二：不等式对任意实数x恒成立等价于不等式对任意实数x恒成立，所以关于x的方程的判别式，解得.3.答案：D解析：当，时，，但，故A错误；当时，，故B错误；当，时，，但，故C错误；若，则，故D正确.选D.4.答案：D解析：方法一：因为，，且，所以，，，，所以，故选D.方法二：取，，则，，，，显然最大，故选D.5.答案：B解析：设该厂每天获得的利润为y元，则(，).根据题意可得，解得.故当，且时，每天获得的利润不低于1300元.故选B.6.答案：C解析：第一辆汽车到达灾区所用的时间为，由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.又，当且仅当，即时等号成立.7.答案：C解析：因为关于x的不等式的解集为，所以关于x的不等式的解集为R.当，即时，，解集为R成立；当，即时，，解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选C.8.答案：B解析：，，即，，当且仅当，且时，即，时，等号成立.故选B.9.答案：AC解析：因为，，所以，则，故A正确；易得，又，所以，则，故B错误；易知，所以，故C正确；易知，所以，故D错误.故选AC.10.答案：BCD解析：关于x的不等式可转化为，即①.若，则①式转化为，此时不等式的解集为，故A错误；若，则①式转化为，此时不等式的解集为或，故B正确；若，则，此时不等式的解集为或，故C正确；若，则，此时不等式的解集为或，故D正确.11.答案：ABD解析：由，，，得，所以（当且仅当时等号成立），故A正确；（当且仅当时等号成立），故B正确；因为，所以（当且仅当时等号成立）（[另解]，又，所以.），故C错误；（当且仅当，时等号成立），故D正确.12.答案：ABD解析：因为，所以，，所以，故A正确；若，则，，所以，故B正确；令，，满足，不满足，故C错误；因为，，所以，故D正确.13.答案：解析：方法一：因为，所以，又，，所以.方法二：令，，则，，所以.14.答案：或解析：由，得.因为，所以，所以，，当且仅当时，等号成立，故.因为恒成立，所以，解得或.故t的取值范围是或.15.答案：解析：由题意可分为以下几种情况：①当时，，解得，不满足题意，舍去.②当时，若，，若此方程有两个正实数根，则，解得；若，，若此方程有两个负实数根，则，解得.综上，实数a的取值范围是.16.答案：解析：方法一：设，则所以所以.因为，，所以，，所以，即.方法二：令，，则，，，..因为，，所以，即.17.答案：(1)证明见解析(2)证明见解析解析：(1)因为，，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以.(2)因为，，，所以，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以.18.答案：(1)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为(2)x的取值范围是解析：(1)不等式可化为.当时，不等式化为，解得.当时，不等式化为，解得或.当时，不等式化为.①若，即，则解不等式得；②若，即，则解不等式得；③若，即，则解不等式得.综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.(2)由题意可知不等式对恒成立.可设，，则y是关于a的一次函数，则需满足解得.因此x的取值范围是.19.答案：（1）（2），当且仅当时取等号解析：（1）因为，且，所以当时，，即；当时，，即.（2）方法一：.因为，，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.方法二：因为，，所以当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.方法三：因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号.20.（1）答案：解析：因为，矩形的周长为，所以.设，则.，，，，.在中，由勾股定理得，即，解得.，即.（2）答案：时，的面积最大，最大面积为解析：的面积.由基本不等式与不等式的性质，得，当且仅当，即时，的面积最大，最大面积为.