江苏专版2023_2024学年新教材高中数学第三章圆锥曲线的方程测评新人教A版选择性必修第一册

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第三章测评（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知抛物线的焦点在直线上,则实数的值为( )A. 8 B. C. D. 2. 若双曲线的渐近线与圆相切，则( )A. B. C. D. 3. [2023江苏徐州月考]已知点，，动点满足，则点的轨迹为( )A. 椭圆 B. 线段 C. 椭圆或线段 D. 不存在4. 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于,两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A. 有且只有一条 B. 有且只有两条 C. 有且只有三条 D. 有且只有四条5. 在中,点,,点在双曲线上,则( )A. B. C. D. 6. 已知是抛物线上的一点,是抛物线的焦点,若以为始边（即以为起点，轴正半轴为始边方向）,为终边的角 ,则等于( )A. 2 B. C. D. 47. [2023北京朝阳期末]在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图2，用一个与圆柱底面所成角为 的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的最小正周期为，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为2，则( )A. ， B. ，C. ， D. ，8. 如图,椭圆的离心率为,是 的右焦点,点是 上第一象限内任意一点，且,,.若,则离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 以直线与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程可以为( )A. B. C. D. 10. 已知椭圆的对称中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,若椭圆的长轴长为6,短轴长为4,则椭圆的标准方程可能为( )A. B. C. D. 11. 已知是双曲线的右焦点,是双曲线上任意一点,则的大小可能是( )A. B. C. D. 12. 某同学在研究一问题“设点,,直线,相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程”时,将其中已知条件“斜率之积为”拓展为“斜率之积为常数”之后,进行了探究.则下列结论正确的有( )A. 当 时，点 的轨迹为椭圆（不含与 轴的交点）B. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）C. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的椭圆（不含与 轴的交点）D. 当 时，点 的轨迹为焦点在 轴上的双曲线（不含与 轴的交点）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在中，，， ，双曲线以，为焦点，且经过点，则该双曲线的离心率为.14. 已知双曲线的左焦点为，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值等于.15. 设椭圆上的一点到椭圆两焦点的距离的乘积为,则当取得最大值时,点的坐标是.16. 如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，且在轴的上方，过点作于，，则的面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. [2023浙江杭州检测]（10分）求满足下列条件的曲线的标准方程：（1） 两焦点分别为，，且经过点的椭圆；（2） 与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线.18. （12分）已知双曲线的实轴长为8，离心率.（1） 求双曲线的方程；（2） 直线与双曲线相交于，两点，弦的中点为，求直线的方程.19. （12分）如图，已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1） 求椭圆的方程；（2） 过点作斜率为的直线交椭圆于，两点，的中点为.设为原点，射线交椭圆于点.当与的面积相等时，求的值.20. （12分）如图,把半椭圆与圆弧合成的曲线称作“曲圆”,其中为的右焦点,如图所示,,,,分别是“曲圆”与轴、轴的交点,已知,过点且倾斜角为 的直线交“曲圆”于,两点（点在轴上方）.（1） 求半椭圆和圆弧的方程；（2） 当点,分别在第一、第三象限时,求的周长的取值范围.21. （12分）如图,直线与圆相切于点,与抛物线相交于不同的两点,,与轴相交于点.（1） 若是抛物线的焦点,求直线的方程；（2） 若,求的值.22. （12分）已知椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点.（1） 若,求的值.（2） 若点在第一象限,满足,求的值.（3） 在平面内是否存在定点,使得是一个确定的常数？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.第三章测评一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. D[解析]因为抛物线的焦点在直线上,所以,即.2. A[解析]双曲线的渐近线方程为,即.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以,解得.3. C[解析],当且仅当时，等号成立, 当时，点的轨迹为线段；当时，由椭圆的定义得，点的轨迹为椭圆.故选.4. B[解析]设该抛物线的焦点为,,的横坐标分别为,,则.所以符合条件的直线有且只有两条.5. C[解析]由双曲线的方程可得,,所以,即焦点坐标恰好为点,的坐标,所以,,由正弦定理知.6. D[解析]如图所示,由题意得焦点,准线方程为,设点的坐标为, ,,,整理得,解得（负值舍去）.又 ,.7. B[解析]由圆柱的底面直径为2，得圆柱的底面周长为 ，则该正弦型函数的最小正周期 .由已知可得截口椭圆的短轴长，截口椭圆的长轴长,即，，则，即截口椭圆的离心率.故选.8. B[解析]因为点是 上第一象限内任意一点,所以为锐角.又,所以.设直线的斜率为,则.由可得故点,所以点.因为,所以,所以,解得.因为对任意的恒成立,所以,整理得到对任意的恒成立,所以,即,所以.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. AC[解析]直线与轴的交点坐标是，，抛物线的焦点坐标可以是，，此时抛物线的标准方程是.直线与轴的交点坐标是，抛物线的焦点坐标可以是，此时抛物线的标准方程是.10. AC[解析]由题可得,,则,,故椭圆的标准方程可能为或.11. AD[解析] 双曲线的渐近线方程为, 双曲线的渐近线与轴的夹角为 .是双曲线的右焦点,为坐标原点,是双曲线上任意一点, 或 .的大小可能是 , .故选.12. BCD[解析]设点,,则,,由题意可得,故.若,则方程化为,点的轨迹为以原点为圆心,5为半径的圆（不含与轴的交点）；若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）；若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的椭圆（不含与轴的交点）；若,则方程化为,点的轨迹为焦点在轴的双曲线（不含与轴的交点）.综上可知,,,正确.故选.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. [解析]因为在中，，， ，所以，即.在双曲线中，，，所以离心率.14. 6[解析]结合题意，绘制图象如图所示.设为双曲线的右焦点，根据双曲线的性质可知，得到，所以.而点，，所以，所以的最小值为6.15. 或[解析]设椭圆的焦点为,,由椭圆定义可得,则,当且仅当,即点或时,取得最大值25.16. 8[解析]由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为， 点.设点， 过点作于点， 点，，，，，即点，的面积为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. （1） 解 设所求椭圆的标准方程为, 两焦点分别为,,.又椭圆过点,.又，，， 椭圆的标准方程为.（2） 设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 焦距为,,，, 双曲线的标准方程为或.18. （1） 解 实轴长为8，离心率,，.又，，，,故双曲线的方程为.（2） 设点，的坐标分别为，， 线段的中点为，，.,,,整理得,即直线的斜率为, 直线的方程为,即.19. （1） 解由题意得，又，则，， 椭圆的方程为.（2） 由（1）得椭圆的方程为，由题意得直线的方程为，即，由整理得.设点，，则，.与的面积相等， 点和点到直线的距离相等.又的中点为，为线段的中点，即四边形是平行四边形.设点，则，即，,.又，，解得.20. （1） 解 由题意可得,,则,,则半椭圆的方程为,圆弧的方程为.（2） 由题意得,在等腰三角形中,,若点,分别在第一、第三象限,则 的取值范围为,的周长.,.21. （1） 解 是抛物线的焦点,.设直线的方程为,由直线与圆相切,得,即, 直线的方程为.（2） 由题意可设直线的方程为,点,,,由得.则,,.由直线与圆相切,得,即.由,,得,.又点在抛物线下方，.又,解得.由题意知,.由直线与互相垂直,得,.当时，.的值为.22. （1） 解 由椭圆可知,所以,即左焦点,右焦点.若,则,因为点,所以,整理可得,所以,所以的值为.（2） 设点,因为,所以,所以,即,①而,②由①②得,又点在第一象限,所以得,,所以直线的方程为,令,可得,即的值为.（3） 存在定点满足题意.易知直线的斜率存在,设直线的方程为,设点,,由整理可得,可得,.设点为,所以（为常数）,则恒成立,则解得即存在定点，使得，是一个确定的常数.