高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆习题，共16页。
A. B. C. D.
2. ［探究点三］已知,是椭圆的两个焦点,为椭圆上一动点,则使取最大值的点为( )
A. B. C. D. 或
3. ［探究点四］若是过椭圆中心的一条弦,是椭圆上任意一点,且,与两坐标轴均不平行,,分别表示直线,的斜率,则等于( )
A. B. C. D.
4. ［探究点二］过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于,两点,则.
5. ［探究点二］若直线与圆没有交点,则过点的直线与椭圆的交点个数为.
6. ［探究点四］已知为椭圆的左焦点,直线与椭圆交于,两点,那么的值为.
7. [2023山东滨州月考]［探究点一］已知椭圆的中心在坐标原点,一个焦点为,该椭圆被直线所截得的弦的中点的横坐标为1,则该椭圆的标准方程为.
8. ［探究点三］已知椭圆的离心率为，是上一点，，是的两个焦点，且.
（1） 求椭圆的方程；
（2） 设直线交椭圆于,两点，为坐标原点，求面积的最大值.
B级 关键能力提升练
9. 已知椭圆的短轴长为2,上顶点为,左顶点为,,分别是椭圆的左、右焦点,且的面积为,点为椭圆上的任意一点,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
10. 直线与椭圆且有两个公共点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
11. 为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若是坐标原点，则为半焦距的取值范围是( )
A. B. C. D. 以上说法都不对
12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，以为圆心的圆过椭圆的中心，且与在第一象限交于点.若直线恰好与圆相切于点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
13. （多选题）设,是椭圆长轴的两个顶点,若上存在点满足 ,则的取值可以是( )
A. B. 2C. 6D. 12
14. 椭圆的左、右焦点分别为,,弦过点,若的内切圆周长为 ,,两点的坐标分别为,,则的值为( )
A. B. C. D.
15. 已知是椭圆上的一点，，分别为椭圆的左、右焦点， ，且，则椭圆的离心率为.
16. 已知椭圆过点,离心率是.
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 若直线与椭圆交于,两点,线段的中点为,求直线与坐标轴围成三角形的面积.
C级 学科素养创新练
17. 有一椭圆形溜冰场,长轴长是,短轴长是.现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形,且使这个矩形的面积最大,试确定这个矩形的顶点的位置.这时矩形的周长是多少？
培优课 椭圆的综合问题及应用
重难探究·能力素养全提升
探究点一 椭圆的中点弦问题
【例1】 解（方法1）易知直线的斜率存在.
设所求直线的方程为,
由
得.
,解得.
设,,则,是上述方程的两根,
.又为的中点,
,解得,且满足.
故所求直线的方程为.
（方法2）设,,.
为的中点,,.
又,两点在椭圆上,,,
两式相减,得,
,
,即.
故所求直线的方程为.
（方法3）设所求直线与椭圆的一个交点为,由于的中点为,则另一个交点为.
,两点都在椭圆上,
,得.
显然点的坐标满足这个方程.代入验证可知点的坐标也满足这个方程,而过,的直线只有一条,故所求直线的方程为.
变式训练1
[解析]设，，
由题意知,则,,两式相减，可得.
.
线段的中点坐标为，. 直线的斜率为,.
右焦点为，
.
, 椭圆的方程为.
探究点二 直线与椭圆的位置关系
【例2】 解由已知条件知直线的方程为,
代入椭圆方程得,
整理得,
直线与椭圆有两个不同的交点和,等价于,解得或,
所以的取值范围为.
变式训练2 （1） 解设椭圆的方程为,
由题意,,于是,
所以椭圆的方程为.
由得.
设,,则,
,
故线段的中点坐标为.
（2） 设点到直线的距离为,
则.又由（1）知,
所以
,
故.
探究点三 椭圆中的最值与范围问题
【例3】 （1） 解由已知可得,,设点的坐标是,则,.由已知得
消去得,解得或.
由于,只能,于是.
故点的坐标是.
（2） 直线的方程是.
设点的坐标是,则点到直线的距离是,于是.
又,解得.
设椭圆上的点到点的距离为,有.由于,
因此当时,取最小值.
即椭圆上的点到点的距离的最小值为.
变式训练3 （1） 解由题意可得
解得所以 的标准方程为.
（2） ①当直线的斜率不存在时,由题意知直线的方程为,代入 的方程可得,
可得,可得,
这时.
②当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离,可得,
联立整理可得,
,即,即,可得,且,,
所以,
所以,
令,则,
,
令,,
则恒成立,所以,即.
综合①②可得,面积的最大值为.
探究点四 椭圆中的定点、定值问题
【例4】 （1） 解由题意得解得,,所以椭圆的方程为.
（2） 为定值4.
①当直线的斜率不存在时,的方程为,
联立得或
不妨令,,
于是,
,所以,为定值.
②当直线的斜率存在时,设的方程为,即,
设,,
由方程组消去,
得,
则（*）
,
将（*）式代入上式得,为定值.
变式训练4 （1） 解设椭圆的右焦点为,则为的中位线.,,
.
,,.
椭圆的方程为.
（2） 证明设,,
联立消去整理,得.
,,,
,
.
,,
,
,
整理得,
解得或（舍去）.
直线过定点.
本节要点归纳
分层作业
A级 必备知识基础练
1. A
[解析]由消去得,即,
弦的中点的横坐标是,
代入直线方程中,得,
弦的中点坐标是.
2. D
[解析]由椭圆的定义得,
所以,
当且仅当,即点坐标为或时,等号成立.故选.
3. B
[解析]（方法1）设,,,则,
.
（方法2）因为四个选项为定值,取,,,可得.
4. 1
[解析]因为在中,,,
所以,所以右焦点的坐标为,
将代入得,
故.
5. 2
[解析]因为直线与圆没有交点,所以,所以,
即点在以原点为圆心,以2为半径的圆内（不包含边界）,所以点在椭圆的内部,故过点的直线与椭圆有两个交点.
6.
[解析]设,,
由消去得,得或,
不妨令,.
又,.
7.
[解析]设椭圆的标准方程为,
由题意,椭圆被直线所截得的弦的中点的坐标为,
设,,则,,
由得,即,
则,,即.又,,,
故椭圆的标准方程为.
8. （1） 解，，即.
，，，
即椭圆的方程为.
（2） 设点的坐标为，点的坐标为，
将代入椭圆的方程，
整理得，
，，
，，
，点到直线的距离，
，
当且仅当，即时,等号成立，面积的最大值为.
B级 关键能力提升练
9. D
[解析]由椭圆的短轴长为,得.又,解得,
,,.
设,则,,即,
.
10. B
[解析]由消去可得,,解得或.
又且,且.
11. B
[解析] 设，是坐标原点，则点在以为直径的圆上，
即，
即，，或，
，故，.
，即，，
的取值范围是.故选.
12. A
[解析]如图所示，依题意得 ，，
.
又，
，即，
，解得或（舍）.故选.
13. AD
[解析]若上存在点满足 ,则只需当点在短轴顶点时 .
故分析长半轴与短半轴的关系即可.
当焦点在轴时,若 ，
则，
当焦点在轴时,若 ,
则.故,
由选项可知,,符合题意.
14. A
[解析]易知的内切圆的半径,可得的面积,其中为的周长,且,代入数据解得.
15.
[解析]设，则.
由 得，，即，因此，.
又，.
.
16. （1） 解由已知可得,,
,解得,.
椭圆的方程为.
（2） 设，，易知,代入椭圆方程得,,
两式相减得,
由中点坐标公式得,.
直线的斜率，可得直线的方程为,
令,可得,令,可得,则直线与坐标轴围成的三角形面积为.
C级 学科素养创新练
17. 解分别以椭圆的长轴、短轴所在的直线为轴、轴,以长轴的中点为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系.
设矩形的各顶点都在椭圆上.
易知矩形关于原点及轴、轴对称.
已知椭圆的长轴长,短轴长,则,,所以椭圆的方程为.
设点的坐标为,,,
则,即.
根据矩形的对称性,可知它的面积.
,
当时,取得最大值,此时也取得最大值.
这时,.
矩形的周长为.
因此,在椭圆形溜冰场的两侧分别画一条与短轴平行且与短轴相距的直线,这两条直线与椭圆的交点就是所划定的矩形的顶点,这个矩形的周长为.