人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用多媒体教学ppt课件

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用多媒体教学ppt课件，共43页。PPT课件主要包含了素养目标·定方向，必备知识·探新知，知识点，函数的单调性与导数，f′x0，关键能力·攻重难，典例1，典例2，典例3，典例4等内容，欢迎下载使用。

5.3　导数在研究函数中的应用
5.3.1　函数的单调性
1．函数的单调性与导数正负的关系一般地，函数f(x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间具有如下关系：
想一想：如何从导数的几何意义理解上述结论？提示：上述结论可以由导数的几何意义得到：如果f ′(x)>0，即函数f(x)图象的切线斜率为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋势，即函数f(x)单调递增；如果f ′(x)<0，即函数f(x)图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角为钝角，曲线呈下降趋势，即函数f(x)单调递减．
练一练：已知函数f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区间是______________________．[解析]　求函数f(x)的单调递增区间即求f ′(x)>0的解集，由图象可知，f ′(x)>0的解集为(－1，2)∪(4，＋∞)，所以函数f(x)的单调递增区间为(－1，2)，(4，＋∞)．
(－1，2)，(4，＋∞)　
2．函数值变化快慢与导数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得_______，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得_______，函数的图象就比较“平缓”．
想一想：函数值增长快慢与导数的关系有怎样的关系？提示：常见的对应情况如下表所示.
A．(－∞，－1)和(0，＋∞)　B．(0，＋∞)C．(－1，0)和(1，＋∞)　　D．(1，＋∞)
(1)f ′(x)是函数y＝f(x)的导函数，若y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　)
(2)设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数 f ′(x)的图象可能为(　　)
[解析]　(1)由导函数图象可知函数f(x)在(－∞，0)上增函数，排除A，C，在(0，2)上为减函数，排除B，故选D．(2)由f(x)的图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f ′(x)>0(即f ′(x)在(－∞，0)上的图象全部在x轴上方)，故排除A，C．从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上原函数是增函数，f ′(x)>0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f ′(x)<0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f ′(x)>0，故排除B．故选D．
[规律方法]　1．函数的图象与函数的导数关系的判断方法(1)对于原函数，要重点考查其图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减．(2)对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致．2．利用导数证明或判断函数单调性的思路求函数f(x)的导数f ′(x)：(1)若x∈[a，b)时f ′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；(2)若x∈(a，b)时f ′(x)<0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递减；(3)若恒有f ′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．
【对点训练】❶(1)已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则该函数的图象是(　　)
[解析]　(1)由导数的图象可得，导函数f ′(x)的值在[－1，0]上逐渐增大，故函数f(x)在[－1，0]上增长速度逐渐增大，故函数f(x)的图象是下凹型的．导函数f ′(x)的值在[0，1]上逐渐减小，故函数f(x)在[0，1]上增长速度逐渐减小，图象是上凸型的，故选B．
(1)函数f(x)＝xex＋1的单调递减区间是(　　)A．(－∞，1)　　B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)　　D．(－1，＋∞)(2)函数f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的单调递增区间是(　　)
[解析]　(1)f ′(x)＝(x＋1)ex，当x<－1时，f ′(x)<0，函数单调递减．(2)f(x)＝x－2sin x＋1，令f ′(x)＝1－2cs x>0，
[规律方法]　1．利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤为：(1)确定函数f(x)的定义域．(2)求导数f′(x)．(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2．若y＝f(x)在(a，b)内可导，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)内导数为0的点仅有有限个，则y＝f(x)在(a，b)内仍是单调函数，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上单调递增．
【对点训练】❷求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－3x＋1；[解析]　(1)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0.即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.∴函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)．
[分析]　根据函数的单调性与其导函数的正负关系进行求解．[解析]　f′(x)＝x2－ax＋a－1，由题意知f′(x)≤0在区间(1，4)上恒成立，且f′(x)≥0在区间(6，＋∞)上恒成立．由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，∴a≤7.经检验a＝5和a＝7都符合题意，∴a的取值范围是5≤a≤7.
[规律方法]　1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路：(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．(2)先令f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．2．恒成立问题的重要思路(1)m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max.(2)m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.
【对点训练】❸设函数 f(x)＝xekx(k≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k的取值范围．
方法二：∵f(x)在(－1，1)内单调递增，∴f′(x)≥0在(－1，1)内恒成立．令g(x)＝kx＋1，则g(x)≥0在(－1，1)内恒成立，若k>0，则g(－1)≥0，∴－k＋1≥0，∴k≤1，∴0[误区警示]　解答本题常常因为忽视f(x)的定义域而得到错误的单调区间．
[点评]　在利用导数判断函数的单调性和求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定义域，在定义域的范围之内解决问题．
1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)A．(－∞，2)　　　B．(0，3)C．(1，4)　　D．(2，＋∞)[解析]　∵f(x)＝(x－3)ex，∴f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex，由f′(x)>0得x>2，∴选D．
2．已知函数f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象是(　　)
[解析]　由f ′(x)图象知，第一部分f ′(x)>0，且f ′(x)是个常数，此时f(x)为增函数，且等速度增长，对应图象为直线，排除C、D，第二部分f ′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，第三部分，f ′(x)<0，此时函数f(x)为减函数，第四部分，f ′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，排除A，故选B．
A．－1≤a≤2　　B．－2≤a≤1C．a＞2或a＜－1　　D．a＞1或a＜－2[解析]　若函数f(x)有3个单调区间，则f ′(x)＝4x2－4ax－(a－2)有2个零点，故Δ＝16a2＋16(a－2)＞0，解得a＞1或a＜－2，故选D．
(　　)A．(－1，1)　　B．(－∞，1)C．(0，1)　　D．(1，＋∞)