4.3.1 等比数列的概念第2课时等比数列的性质及其应用
A级　基础巩固
1.在各项都为正数的等比数列{an}中,若首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5= (　　)
A.84 B.52C.26 D.13
解析:在各项都为正数的等比数列{an}中,设公比为q(q>0),由首项a1=3,前三项和为21,得3+3q+3q2=21,所以q=2(q=-3舍去),所以a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=21×22=84.
答案:A
2.已知数列{an}为等比数列,若a4+a6=10,则a7(a1+2a3)+a3a9的值为 (　　)
A.10 B.20C.100 D.200
解析:a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+==100.
答案:C
3.在正项等比数列{an}中, a510a511=,则 lg a1+lg a2+…+lg a1 020= (　　)
A.1 019 B.1 020C.-1 019 D.-1 020
解析:由正项等比数列{an}的性质可知a1a1 020=a2a1 019=…=a510a511=,
则lg a1+lg a2+…+lg a1 020=lg(a1a2·…·a1 020)=lg510=-1 020.
答案:D
4.若等比数列{an}中的a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,则a2a6a10=8.
解析:在等比数列{an}中,a4a8=a2a10=.因为a4,a8是方程x2-10x+4=0的两个实根,所以a4a8=4,a4+a8=10,所以a4>0,a8>0,所以a6=a4q2>0.因为=4,所以a6=2,所以a2a6a10==8.
5.若数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且满足a1+a2 019=π,
b1b2 019=2,函数f(x)=sin x,则f=.
解析:因为{an}是等差数列,所以a1 009+a1 011=a1+a2 019=π.因为{bn}是等比数列,所以b1 009·b1 011=b1b2 019=2,所以==,所以f=f=sin=.
6.设关于x的一元二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N*)有两个实根α,β,且满足6α-2αβ+6β=3.
(1)试用an表示an+1;
(2)当a1=时,求数列{an}的通项公式.
解:(1)由题意,可知-4an≥0,且α+β=,αβ=.
又因为6α-2αβ+6β=3,即6(α+β)-2αβ=3,
所以-=3,即an+1=an+.
(2)因为an+1=an+,
所以an+1-=.
又因为a1-=,故是首项为,公比为的等比数列,
所以an-=n,所以数列{an}的通项公式为an=+n.
B级　拓展提高
7.已知数列{an}为等比数列,若a4+a7=2,+=20,则a1a10的值为 (　　)
A.16 B.8 C.-8 D.-16
解析:因为a4+a7=2,+=20,
所以20=-2a4a7,解得a4a7=-8,
所以a1a10=a4a7=-8.
答案:C
8.已知光线每通过一块特制玻璃板,强度要减弱20%,要使通过玻璃板的光线的强度减弱到原来的以下,则至少需要重叠玻璃板的块数为(参考数据:lg 2≈0.301 0) (　　)
A.4 B.5 C.6 D.7
解析:设经过n块玻璃板后,光线的强度为an,
则数列{an}是以为首项,为公比的等比数列,
则an=n.
由题意可得<,
两边同时取对数,得nlg<-lg 4,
所以n>=≈6.2,
则n的最小值为7.
故选D.
答案:D
9.在等比数列{an}中,an>0,若a1+a2+…+a8=9,a1a2·…·a8=81,则++…+的值为 (　　)
A.3 B.6 C.9 D.27
解析:++…+=+++. ①
又因为a8a1=a7a2=a6a3=a5a4,所以①式可变形为=.
因为a1a2·…·a8=81,得=81,所以a4a5=3(负值舍去).
所以==3,即++…+=3.
答案:A
10.在正项等比数列{an}中,若a3a4a5=3π,则sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=.
解析:因为数列{an}是正项等比数列,所以a3a4a5==3π.
因为a1a2·…·a7===,
所以log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2·…·a7)=log3=,
所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=sin=sin=.
11.已知在数列{an}中,Sn=4an-1+1(n≥2),且 a1=1.
(1)若bn=an+1-2an,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)若cn=,求证:数列{cn}是等差数列.
证明:(1)当n≥2时,an+1=Sn+1-Sn=4an+1-(4an-1+1)=4(an-an-1),
所以an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1.
因为S2=4a1+1=5,且a1=1,所以a2=4,b1=a2-2a1=2.
所以{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.
(2)由(1)知bn=2n,所以an+1=2n+2an.
所以cn===+=+cn-1.
即cn-cn-1=.
又因为c1==,
所以{cn}是以为首项,为公差的等差数列.
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)设bn=,是否存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m,k的值;若不存在,请说明理由.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则Sn=na1+d.
由已知,得
即解得
所以an=a1+(n-1)d=n(n∈N*).
(2)假设存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列,则=b1bk.
因为bn==,
所以b1=,bm=,bk=,
所以2=·.整理得k=.
因为k∈N*,所以-m2+2m+1>0.
解得1- 因为m≥2,且m∈N*,所以m=2,此时k=8.
故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列.
C级　挑战创新
13.多空题设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列.若a1+a5+a9=π,则cos(a2+a8)=-;若b5b6+b4b7=4,则 b1b2·…·b10=32.
解析:因为数列{an}为等差数列,a1+a5+a9=π,所以3a5=π,得a5=,所以cos(a2+a8)=cos(2a5)=cos=-.
因为数列{bn}为等比数列,且b5b6+b4b7=4,所以2b5b6=4,得b5b6=2,所以b1b2·…·b10==25=32.