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专题05 空间图形及简单几何体的面积、体积-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题05 空间图形及简单几何体的面积、体积-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册），文件包含专题05空间图形及简单几何体的面积体积解析版docx、专题05空间图形及简单几何体的面积体积原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共46页， 欢迎下载使用。
专题05 空间图形及简单几何体的面积、体积
知识点一
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
（二）旋转体的形成
知识点二
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
知识点三
空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
知识点四
几何体的面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点五
几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
【拓广】
1．等积变换
(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD．
(2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC．
(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC．
2．割与补
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
3．与球有关的组合体问题
(1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)；
(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a．
考点01 空间几何体的结构特征
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
【典例2】（2023·高一课时练习）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【典例3】（2023·高一课时练习）若正四棱锥底面边长为，侧棱与底面成60°角，求正四棱锥的侧棱长和斜高．
【总结提升】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
1．关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
考点02 空间几何体的直观图
【典例4】（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是______.
【典例5】（2023·高一课时练习）如图所示是水平放置的(AD为BC边的中线)的直观图，试按此图判断原中最长边是______，最短边是______．
【特别提醒】
1.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．
3.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
考点03 空间几何体的面积
【典例6】（2023·高一课时练习）若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例7】（2022春·贵州贵阳·高一统考期末）如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）已知侧面积为27的正三棱柱的侧棱恰好是某个圆柱的三条母线，且这个圆柱的底面半径是2，则此圆柱的表面积为______。
【总结提升】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
考点04 空间几何体的体积
【典例9】（2023·高一课时练习）已知三棱柱的体积为1，、Q、R分别为侧棱、、上的点且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例10】（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为______.
【典例11】（2023·高一课时练习）在三棱台中，三棱锥体积为，三棱锥体积为，则该三棱台体积为______.
【典例12】（2023·高一课时练习）在球内有相距9cm的两个平行截面，截面圆的面积分别为和，求该球的体积.
【总结提升】
求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
考点05 几何体的展开、折叠、切、截、接问题
【典例13】（2022·高一单元测试）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【典例14】（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
【典例15】（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入______个．
【典例16】（2023·高一课时练习）圆锥的全面积为，侧面展开图是一个半圆．
(1)圆锥母线与底面所成的角；
(2)圆锥的体积．
【总结提升】
1.常见的切与接问题：
（1）球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．
（2）多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．
（3）球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．
2.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
（2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
（3）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
1．（2021·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·全国高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2015秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）正方体与其外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，若球的表面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中校考期末）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·高一课时练习）棱长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·高一课时练习）已知圆台上底面积，下底面积，体积，则圆台的高为______.
8.（2023·高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
9.（2023·高一课时练习）正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是______.
三、解答题
10．（2022·高一课时练习）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积是，母线与轴的夹角为，求圆台的高与母线长.
11．（2023·高一课时练习）已知一个圆锥底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.写出此圆柱侧面积表达式，并求最大值.
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
专题05 空间图形及简单几何体的面积、体积
知识点一
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
多面体
结构特征
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等
棱锥
有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形
棱台
棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分
（二）旋转体的形成
知识点二
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
任一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一条直角边所在的直线
圆台
直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线
球
半圆
直径所在的直线
知识点三
空间几何体的直观图
简单几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面
在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．
(2)画几何体的高
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
知识点四
几何体的面积
圆柱的侧面积
圆柱的表面积
圆锥的侧面积
圆锥的表面积
圆台的侧面积
圆台的表面积
球体的表面积
柱体、锥体、台体的侧面积，就是各个侧面面积之和；表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积之和.
把柱体、锥体、台体的面展开成一个平面图形，称为它的展开图，圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形它的表面积就是展开图的面积.
知识点五
几何体的体积
圆柱的体积
圆锥的体积
圆台的体积
球体的体积
正方体的体积
正方体的体积
【拓广】
1．等积变换
(1)直线a∥b(如图(1))，c是a上一点，则对于a上任一点D，有S△ABC＝S△ABD．
(2)若平面α∥平面ABC，且平面α经过点D，则对于平面α内任一点P，有VD－ABC＝VP－ABC．
(3)对于三棱锥A－BCD，有VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC．
2．割与补
当一个几何体的形状不规则时，无法直接运用体积公式求解，这时一般通过分割与补形，将原几何体分割或补形成较易计算体积的几何体，从而求出原几何体的体积，这种方法就称为割补法．
3．与球有关的组合体问题
(1)若一个长方体内接于一个半径为R的球，则2R＝ (a、b、c分别为长方体的长、宽、高)，若正方体内接于球，则2R＝a(a为正方体的棱长)；
(2)半径为R的球内切于棱长为a的正方体的每个面，则2R＝a．
考点01 空间几何体的结构特征
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为（ ）
A．4 B． C． D．
【典例2】（2023·高一课时练习）长、宽、高分别为3、4，5的两个相同的长方体，把它们某两个全等的面重合在一起，组成大长方体，则大长方体对角线最长为_____.
【典例3】（2023·高一课时练习）若正四棱锥底面边长为，侧棱与底面成60°角，求正四棱锥的侧棱长和斜高．
【总结提升】
解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
1．关于棱锥、棱台结构特征题目的判断方法：
(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．
(2)直接法
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
2．圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系．
3．既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略．
考点02 空间几何体的直观图
【典例4】（2023·高一课时练习）直角梯形ABCD，，，，，，则ABCD水平放置的直观图中的形状是______.
【典例5】（2023·高一课时练习）如图所示是水平放置的(AD为BC边的中线)的直观图，试按此图判断原中最长边是______，最短边是______．
【特别提醒】
1.用斜二测画法画直观图的技巧
在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，作出在直观图中的相应点后，用平滑的曲线连接而画出.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系：
S直观图＝S原图形，S原图形＝S直观图．
3.解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系.
考点03 空间几何体的面积
【典例6】（2023·高一课时练习）若圆柱轴截面周长C为定值，则表面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例7】（2022春·贵州贵阳·高一统考期末）如图①，普通蒙古包可近似看作是圆柱和圆锥的组合体；如图②，已知圆柱的底面直径米，母线长米，圆锥的高米，则该蒙古包的侧面积约为（ ）
A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米
【典例8】（2023·全国·高一专题练习）已知侧面积为27的正三棱柱的侧棱恰好是某个圆柱的三条母线，且这个圆柱的底面半径是2，则此圆柱的表面积为______。
【总结提升】
几类空间几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补．
(4)若以三视图形式给出，解题的关键是根据三视图，想象出原几何体及几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
考点04 空间几何体的体积
【典例9】（2023·高一课时练习）已知三棱柱的体积为1，、Q、R分别为侧棱、、上的点且，则（ ）
A． B． C． D．
【典例10】（2022·高一课时练习）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的体积为______.
【典例11】（2023·高一课时练习）在三棱台中，三棱锥体积为，三棱锥体积为，则该三棱台体积为______.
【典例12】（2023·高一课时练习）在球内有相距9cm的两个平行截面，截面圆的面积分别为和，求该球的体积.
【总结提升】
求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决.②等积法：等积法包括等面积法和等体积法.等体积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值.
考点05 几何体的展开、折叠、切、截、接问题
【典例13】（2022·高一单元测试）已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【典例14】（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知直三棱柱的底面为直角三角形，如图所示，，，，，则四面体的体积为__________，四棱锥的外接球的表面积为_________．
【典例15】（2022春·福建三明·高一统考期末）如图，在中空的圆台容器内有一个与之等高的实心圆柱，圆柱的底面与圆台的下底面重合．已知圆台的上底面半径与高均为40cm，下底面半径为10cm．现要在圆柱侧面和圆台侧面的间隙放置一些金属球，则能完全放入的金属球的最大半径为______cm，这样最大半径的金属球最多可完全放入______个．
【典例16】（2023·高一课时练习）圆锥的全面积为，侧面展开图是一个半圆．
(1)圆锥母线与底面所成的角；
(2)圆锥的体积．
【总结提升】
1.常见的切与接问题：
（1）球内切于旋转体(圆柱、圆锥、圆台)或旋转体内接于球，解题的关键是抓住轴截面中各几何量．
（2）多面体(长方体、正方体、正四面体、正三棱锥、正四棱锥、正三棱柱等)内接于球．关键抓住球大圆及球小圆与多面体的顶点位置关系．
（3）球内切于多面体，主要抓住球心到多面体各面的距离都等于球半径．
2.常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：
（1）与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
（2）若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
（3）处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．
1．（2021·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
3.（2020·全国高考真题（理））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2015秋·辽宁沈阳·高一东北育才学校校考阶段练习）正方体与其外接球的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的体积是圆锥体积的2倍，则圆柱的高是圆锥高的（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高一专题练习）在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，若球的表面积为，则圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·湖北恩施·高一恩施土家族苗族高中校考期末）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为a的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为（ ）.
A． B． C． D．
5．（2021秋·陕西咸阳·高一咸阳市实验中学校考阶段练习）“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为2，则其外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·高一课时练习）棱长为的正四面体内切球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2023·高一课时练习）已知圆台上底面积，下底面积，体积，则圆台的高为______.
8.（2023·高一课时练习）如果圆柱、圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积的比是______.
9.（2023·高一课时练习）正四棱锥的所有棱长均为1，则它的体积是______.
三、解答题
10．（2022·高一课时练习）圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积是，母线与轴的夹角为，求圆台的高与母线长.
11．（2023·高一课时练习）已知一个圆锥底面半径为2，高为2，且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.写出此圆柱侧面积表达式，并求最大值.
12．（2023·全国·高一专题练习）如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱筒组成，已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．
(1)这种“浮球”的体积是多少？(结果精确到0.1)
(2)要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶约多少克？（精确到克）
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