专题04 复数-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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专题04 复数



知识点一
数系的扩充和复数的概念

1.复数的定义：形如a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.
全体复数构成的集合叫做复数集.
2.复数的代数表示：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的实部与虚部.
3.复数相等的充要条件
设a、b、c、d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.
4.复数z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要条件是a＝0且b＝0，a＝0是z为纯虚数的必要不充分条件.
5.复数的分类
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，z为实数⇔b＝0，z为虚数⇔b≠0，z为纯虚数⇔.
(2)集合表示：

6.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作．

知识点二
复数的几何意义

1.复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
(1)每一个复数都由它的实部和虚部唯一确定，当把实部和虚部作为一个有序数对时，就和点的坐标一样，从而可以用点表示复数，因此复数与复平面内的点是一一对应关系.
(2)若复数z＝a＋bi(a、b∈R)，则其对应的点的坐标是 (a，b)，不是(a，bi).
(3)复数与复平面内以原点为始点的向量也可以建立一一对应关系.
如图，在复平面内，复数z＝a＋bi(a、b∈R)可以用点Z(a，b)或向量 O　表示.

复数z＝a＋bi(a、b∈R)与点Z(a，b)和向量O的一一对应关系如下：

3.复数的模
复数z＝a＋bi(a、b∈R)对应的向量为O，则O的模叫做复数z的模，记作|z|且|z|＝ 　
当b＝0时，z的模就是实数a的绝对值.
4.复数模的几何意义
复数模的几何意义就是复数z＝a＋bi所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离.
由向量的几何意义知，|z1－z2|表示在复平面内复数z1与z2对应的两点之间的距离.
知识点三
复数的四则运算

1.复数的加、减、乘、除的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i；
(2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(3)＝＋i (z2≠0)．
2. 复数的加、减法几何意义及运算律
z1、z1、z3∈C，设、分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)相对应，且、不共线

加法
减法
几何
意义

复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应

复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应
运算律
交换律
z1＋z2＝z2＋z1

结合律
(z1＋z2)＋z3
＝z1＋(z2＋z3)
3．复数乘法的运算律
对任意复数z1、z2、z3∈C，有
交换律
z1·z2＝z2·z1
结合律
(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律
z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
【点拨】复数的有关性质
1．in(n∈N*)的性质
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝i，
从而对于任何n∈N*，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N*，那么有
i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，
＝－i，＝i，＝－i.
2．1的三次虚根的性质
由方程x3－1＝0，得
x1＝1，x2＝，x3＝.
若取ω＝，则＝，有如下关系：
(1)ω3＝3＝1；(2)1＋ω＋ω2＝0；
(3)ω2＝；(4)ω·＝1；(5)＝，ω＝；
(6)ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝.
3．共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6).
知识点四
复数的三角形式及其运算

1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z．r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)=
r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]
(2)＝
＝ [cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和．
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.



考点01 复数的概念
【典例1】（2023·高一课时练习）已知，下列关于复数的描述中，不正确的是（    ）
A．不可能是实数 B．不可能是纯虚数
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的概念依次判断即可得出答案.
【详解】对A，，即无实数解，故不可能是实数，故A正确；
对B，，故不可能是纯虚数，故B正确；
对C，，故C正确；
对D，，当时，，故D错误，
综上，不正确的是D选项.
故选：D.
【典例2】（2023·高一课时练习）已知复数（）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由实部和虚部互为相反数，结合二倍角公式可构造关于cosα的一元二次方程，解方程求得cosα，根据特殊角三角函数值和α的范围可求得结果.
【详解】由题意可得，
,
或

·
故选：B．
【总结提升】
(1)复数的代数形式：
若z＝a＋bi，只有当a、b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分.学习本章必须准确理解复数的概念.
(3)虚数单位i的性质
①i2＝－1.
②i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律.
③由于i2<0与实数集中a2≥0(a∈R)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立.
例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小.
考点02 复数的分类
【典例3】【多选题】（2022·全国·高一假期作业）下列说法中正确的有（    ）
A．若，则是纯虚数
B．若是纯虚数，则实数
C．若，则为实数
D．若，且，则
【答案】CD
【分析】根据复数的基本概念与分类，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当，可得的不是纯虚数，故A错误；
对于B中，当，可得，此时不是纯虚数，所以B错误；
对于C中，当时，可得，所以为实数，所以C正确；
对于D中，由，且，所以，所以D正确．
故选：CD
【典例4】（2022春·山东临沂·高一校考阶段练习）已知复数，其中为虚数单位.若满足下列条件，求实数的值：
(1)为实数；
(2)为纯虚数；
(3)在复平面内对应的点在直线上.
【答案】(1)；
(2)；
(3)或.
【分析】根据复数为实数其虚部为0；复数为纯虚数其实部为0，虚部不为0；点在直线上，其实部与虚部相等；
（1）为实数，，解得：；
（2）为纯虚数，；
（3）在复平面内对应的点在直线上，
或.
【总结提升】
1.判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先要保证参数值使虚数表达式有意义，其次要注意复数代数形式的条件，另外对参数值的取舍，是取“并”还是“交”，非常关键，解答后进行验算是很必要的.
2.形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R 且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数.
考点03 复数相等
【典例5】（2023·高一课时练习）若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解．
【答案】4
【分析】待定系数法，再利用复数相等的条件可得方程组，解出答案即可.
【详解】设，则，
∵,
∴,
∴,∴,
∴或或 或
∴共有4组解.
故答案为：4.
【总结提升】
复数相等的充要条件是“化复为实”的主要依据，多用来求解参数的值.步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与虚部分别相等列方程组求解.
考点04 复数的几何意义
【典例6】（2022·高一单元测试）已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】由复数的几何意义即可求出答案.
【详解】在复平面所对应的点为，位于第二象限.
故选：B.
【典例7】（2023·高一课时练习）在正方形OMNP中，若对应的复数为，则对应的复数为______．
【答案】
【分析】在正方形OMNP中，，根据向量与复数的关系即可求出结果．
【详解】因为对应的复数为，所以
在正方形OMNP中，
则对应的复数为
故答案为：
【总结提升】
1.复数的几何意义包含两种：
(1)复数与复平面内点的对应关系：每一个复数和复平面内的一个点对应，复数的实部、虚部分别是对应点的横坐标、纵坐标.
(2)复数与复平面内向量的对应关系：当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系，借助平面向量的有关知识，可以更好的理解复数的相关知识.
2.有关复数在复平面内的对应点位置(在实轴上、虚轴上、某个象限内、某条已知直线上等)的题目，先找出复数的实部、虚部，再按点所在的位置列方程或不等式(组)求解.
考点05 复数模的计算
【典例8】（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知为虚数单位，复数，则下列命题不正确的是（    ）
A．的共轭复数为 B．的虚部为
C．在复平面内对应的点在第一象限 D．
【答案】B
【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.
【详解】由题知，复数的共轭复数为，虚部为1，在复平面内对应的点为在第一象限，，故B错误
故选：B
【典例9】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
【答案】
【解析】设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用复数相等的充要条件求出a，b.
解法一：设z＝a＋bi(a、b∈R)，则|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴，解得.∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化为z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的实部，于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
【总结提升】
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后利用模的公式进行计算.两个虚数不能比较大小 ，但它们的模可以比较大小.
考点06 复数的四则运算
【典例10】（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）设，则复数（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意结合复数的除法运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
【典例11】（2023·高一课时练习）若（，为虚数单位），则______．
【答案】73
【分析】根据复数乘法运算及复数相等求出得解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
则.
故答案为：73
【总结提升】
复数四则运算的解题策略
(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算．
(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化．
(3)在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z.
（4）注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i.
考点07 共轭复数
【典例12】（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）设复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得，从而求得，进而求得结果.
【详解】复数，故，对应点的坐标为，位于第二象限.
故选：B.
【典例13】（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知是虚数单位，复数的共轭复数的虚部为（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】利用复数乘方运算得到，从而得到的共轭复数及其虚部.
【详解】，
故复数的共轭复数为，故共轭复数的虚部为4.
故选：C
【总结提升】
1.由比较复杂的复数运算给出的复数，求其共轭复数，可先按复数的四则运算法则进行运算，将复数写成代数形式，再写出其共轭复数.
2.注意共轭复数的简单性质的运用.
考点08 复数加减运算的几何意义
【典例14】（2023·高一课时练习）复平面上给定四个点可以构成一个平行四边形，其中四个点对应的复数分别为，，，则______．
【答案】或或
【分析】根据复数求对应点,再应用构成平行四边形,分情况计算即可.
【详解】因为，，,又因为可以构成一个平行四边形,分情况可得
当为平行四边形,则;
当为平行四边形,则,即
当为平行四边形,则,即
故答案为: 或或
【典例15】已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
【答案】
【解析】设出z1、z2，将复数问题转化为实数问题或利用复数运算的几何意义求解.
解法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1，②
由①②得2ac＋2bd＝1.
∴=
解法二：作出z1、z2对应的向量、，
则z1－z2对应，
∵|z1|＝|z2|＝1，若、共线，
则|z1－z2|＝||＝2或0，与已知矛盾.
∵与不共线.
又|z1|＝|z2|＝|z1－z2|，
∴△OZ1Z2为等边三角形.
∴∠Z1OZ2＝60°，
设z1＋z2对应向量，则∠OZ1Z＝120°，
∴在△OZ1Z2中，由余弦定理得：
＝＝.
【总结提升】
1.对于一些较复杂的复数运算问题，特别是与复数的模有关的问题可将复数与复平面内以原点为起点的向量加以转化，利用几何意义给予几何解释，数形结合解决.
2.若几何图形的变换可以坐标化，可利用向量、点与复数的关系转化为数的运算处理.
例如关系式|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形.,
考点09 复数的三角形式及运算
【典例16】（2021·全国·高一课时练习）将复数z=-2+2i化成三角形式是_____.
【答案】4
【分析】
由概念求出模长和辐角，再根据即可求解
【详解】
模长|z|==4，设辐角为θ，，且点(-2，2)在第二象限，得辐角主值为π，故z=4.
故答案为：4
【典例17】（2021·全国·高一课时练习）________.
【答案】i
【分析】
根据复数的三角形式的运算法则，准确计算，即可求解.
【详解】
根据复数的三角形式的运算法则，可得：

.
故答案为：
【总结提升】
1.复数的代数形式化为三角形式的步骤
（1）先求复数的模.
（2）决定辐角所在的象限.
（3）根据象限求出辐角.
（4）求出复数的三角形式.
2.提醒：
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
（5）一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值，这使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值.
3.三角形式称、除法：
（1）乘法法则：模相乘，辐角相加．
（2）除法法则：模相除，辐角相减．
（3）复数的n次幂，等于模的n次幂，辐角为n倍．
拓广：
(1)有限个复数相乘，结论亦成立．
即z1·z2…zn＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)…rn(cos θn＋isin θn)＝r1·r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)]．
(2)当z1＝z2＝…＝zn＝z时，即r1＝r2＝…＝rn＝r，θ1＝θ2＝…＝θn＝θ，有zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，这就是复数三角形式的乘方法则，即：模数乘方，辐角n倍．
考点10 复数的三角形式运算的几何意义
【典例18】在复平面内，把复数3－i对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．
【答案】-2i.
【解析】因为3－i＝2＝2，
所以2×
＝2
＝2
＝2
＝3＋i
2×
＝2＝2＝－2i.
故把复数3－i对应的向量按逆时针旋转得到的复数为3＋i，按顺时针旋转得到的复数为－2i.
【规律方法】
两个复数z1，z2相乘时，先分别画出与z1，z2对应的向量，，然后把向量绕点O按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2＜0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2.
考点11 复数的综合问题
【典例19】（2023·高一课时练习）已知复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则的取值不可能为（    ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得到，解出，对选项逐一验证即可.
【详解】由已知可得，即，
解得或
计算选项中的三角函数可得，
，，，
故选：B.
【典例20】（2023·高一课时练习）已知、，且，若，则的最大值是（    ）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】设，得到，，计算得到，根据范围得到最值.
【详解】设，，故，，则，
，
，当时，有最大值为4.
故选：C
【典例21】（2023·高一课时练习）在复平面上的单位圆上有三个点，，，其对应的复数为，，．若，则的面积S＝______．
【答案】或
【分析】由题意可知，根据复数的加减法法则的几何意义及余弦定理求出、，进而分类讨论当与反向、线段在的内部时的面积，即可求解.
【详解】由题意知，，
由复数的加减法法则的几何意义及余弦定理，得
，即，
，即，

当与反向，；

当线段在的内部时，，
所以的面积为或.
故答案为：或.
【典例22】（2023·高一课时练习）设复数是方程的一个根．
(1)求；
(2)设（其中i是虚数单位，），若的共轭复数满足，求．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）利用实系数一元二次方程的求根公式解得；
（2）根据复数的乘法运算及复数的模的运算可得，进而即得.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，
所以或；
（2）由，可得，
当时，，
所以，解得，
当时，，
当时，.

1．（2022·全国·统考高考真题）若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】

故选 ：C
2.（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】

由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:

一、单选题
1．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）复数z满足，则它的虚部为（    ）.
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】先求出复数，在分析它的虚部即可.
【详解】由，
所以，
所以复数的虚部为：，
故选：A.
2．（辽宁省营口市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）复数z满足（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点在复平面内位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的运算求复数的代数形式，根据共轭复数的定义求，根据复数的几何意义确定在复平面上的对应点的坐标，由此确定其象限.
【详解】因为，
所以，
所以在复平面上的对应点的坐标为，点位于第三象限.
故选：C.
二、多选题
3．（2022春·广西百色·高一校考期中）若复数，且满足，则的值可为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据复数的加减运算结合复数的模列方程，整理可得，分析选项即可得答案.
【详解】解：，
，
，

的值符合条件的只有选项A，D.
故选：AD.
4．（2023·吉林·统考二模）已知复数，则下列说法正确的是（    ）
A．的共轭复数是
B．的虚部是
C．
D．若复数满足，则的最大值是
【答案】AD
【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的除法可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为，则，A对；
对于B选项，复数的虚部为，B错；
对于C选项，，C错；
对于D选项，令，则，
即在圆心为半径为1的圆上，而表示圆上点到原点的距离，
由圆心到原点的距离为，结合圆上点到定点距离范围易知：的最大值为，D对.
故选：AD.
三、填空题
5．（2023·高一课时练习）若，则a＝______，b＝______．（其中i是虚数单位）
【答案】     1     0
【分析】先化简题给条件，再利用复数相等列关于a、b的方程组，解之即可求得a、b的值
【详解】
则，解之得
故答案为：1；0
6.（2023·高一课时练习）已知顶点的直角坐标分别为，，，若虚数是实系数一元二次方程的根，且是钝角，则实数b的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据条件求出的值，然后由可得答案，注意排除共线的情况.
【详解】由已知，虚数也是实系数一元二次方程的根，
所以，解得，，
则、的坐标为，，
所以，，因是钝角，故，解得，
又当，共线时有，即．
所以的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
7．（2023·高一课时练习）已知复数、满足，且．求的值．
【答案】
【分析】由题意求出和，再对平方代入即可得出答案.
【详解】因为，所以．又，
所以，
所以，所以．
因为，
所以．
故答案为：.
8．（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）已知复数满足，，其中为虚数单位，，若，求的值.
【答案】1或7.
【分析】化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数即可得到，根据模长之间的关系，得到关于的方程，解出的值即可.
【详解】解：，，，
所以，
又因为，，
所以，
所以，解得或.
所以的值是1或7.
9．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）已知a，bR，i是虚数单位，若复数与=2+bi互为共轭复数.
(1)判断复平面内对应的点在第几象限;
(2)计算.
【答案】(1)在第一象限
(2)3+4i
【分析】（1）根据共轭复数的定义求得，得复数，再得其对应点的坐标，从而得其所在象限；
（2）由复数的乘方法则计算．
【详解】（1）因为复数与=2+bi互为共轭复数，
则a=2，b=1，=2+i，其对应的点为，
故在第一象限;
（2）．
10．（2023·高一课时练习）棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立．指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则．已知的辐角主值为，的辐角主值为，利用棣莫弗定理猜测的辐角，并证明．
【答案】；证明见解析
【分析】利用复数的代数形式的四则运算，结合三角函数的平方关系与和差公式进行证明即可.
【详解】猜想的辐角为，证明如下：
依题意，得，，
所以



，
故的辐角主值为，则其辐角为.
11．（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，由其对应点的坐标列不等式求解；
（2）也是方程的根，根据韦达定理先求得，再求得．
【详解】（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，
解得，所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，
所以，
所以，所以.
12．（2022春·河南洛阳·高一校考阶段练习）（1）求的值；
（2）若关于x的一元二次方程的一个根是，其中，i是虚数单位，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由复数的乘法和除法运算化简复数即可得出答案.
（2）将代入方程，根据实部、虚部为0求得的值，即可得出答案.
【详解】（1）， ，
，
所以.
（2）因为为方程的一根，
所以，即 ，
所以且 ，故 ，
所以