热点专测专练01 数量积、模、夹角-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）

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热点专测专练： 数量积、模、夹角


注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2022秋·青海海东·高二校考期中）若向量，，且，则（    ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示即得.
【详解】由，可得，
所以，，
.
故选：D.
2．（2023秋·北京西城·高一统考期末）正方形的边长为1，则（    ）
A．1 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】利用向量数量积的运算性质，结合正方形中垂直关系及边长即可求解.
【详解】在正方形中，如图所示,

，

故选：D.
3．（湖北省恩施州高中教育联盟2022-2023学年高二上学期期末数学试题）已知，，若，则（    ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算求出，代入两角差的正切计算可求出结果.
【详解】解：因为，所以有，即，
所以.
故选：D
4．（2023·高一课时练习）已知，．若向量满足且，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算及向量平行垂直的坐标表示，联立方程即可得解.
【详解】设，则，，
所以由与得，解得，
故.
故选：D.
5．（2022春·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）若，且，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将变为，由数量积定义及运算律、向量的模、向量夹角等概念进行运算即可.
【详解】∵，∴，，
设向量与夹角为，则，
∴



，
∵，∴当时，的最大值为.
故选：A.
6．（2021春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）已知是与向量方向相同的单位向量，向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义结合题意可得，即得，再利用数量积的定义即可求得答案.
【详解】由题意可知向量在向量上的投影向量为，
则，即，
而，故，
故选：D
7．（2023秋·北京·高一北京师大附中校考期末）已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（    ）
A．​ B．1 C．​ D．2
【答案】A
【分析】首先通过条件求得，然后根据数量积的运算公式求出，进而求解在方向上投影.
【详解】平面向量是非零向量，，
，则.
设与夹角为，则，
在方向上投影为.
故选：A
8．（2022春·重庆沙坪坝·高一重庆八中校考期中）如图所示，正六边形的边长为2，若P为该正六边形边上的动点，则的取值范围为（    ）

A．[2，6] B．[-2，6] C．[4，12] D．[-4，12]
【答案】B
【分析】以正六边形的中心为原点，所在的直线为轴，的中垂线所在的直线为轴，建立坐标系，利用的运算求解.
【详解】解：建立如图所示的坐标系：

因为正六边形的边长为2，
所以，，，
设，
则，
所以，
由题意可知，
所以，
所以，
即.
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）已知，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答.
【详解】
对于A，，，与不垂直，A不正确；
对于B，，有，B正确；
对于C，，有，C不正确；
对于D，，由选项C知，，D正确.
故选：BD
10．（2022春·黑龙江·高一哈九中校考期中）已知向量，，，，，则（    ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．的最小值为
【答案】ABD
【分析】对于A选项，根据平面向量平行的判定条件求解参数；
对于B选项，根据平面向量垂直的判定条件求解参数；
对于C选项，将向量，及代入等式，根据平面向量相等的判定条件求解参数与的关系；
对于D选项，根据向量的模长计算公式表示出向量的模长，然后根据二次函数求解最小值》
【详解】对于A选项，已知，则，解得，故A选择正确；
对于B选项，，由于，则，解得，故B选择正确；
对于C选项，由于，则，得，解得，故，故C选择不正确；
对于D选项，，
，
当时等号成立，即的最小值为，故D选项正确.
故选：ABD
11．（2022春·广东江门·高一台山市华侨中学校考期中）已知平面向量，，（    ）
A．若，则
B．若，则在方向上的投影向量是
C．与的夹角为锐角，则y的取值范围
D．若，的夹角为90°，则
【答案】AB
【分析】根据向量共线性质代入求出即可判断A；根据向量垂直性质代入求出，再由投影向量的定义即可判断B；根据向量夹角表达式，根据锐角所满足条件即可求出范围；即可判断C；根据垂直关系即可判断D．
【详解】对于A,若，则，解得，故A正确；
对于B,若，则，解得，所以，则，
所以在方向上的投影是，则在方向上的投影向量为，故B正确；
对于C,设与的夹角为，则，解得且，故C错误；
对于D，若，的夹角为90°，则，所以，解得，故D错误．
故选：AB
12．（2022春·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中）下列说法中正确的有（    ）
A．已知在上的投影向量为且，则；
B．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；
C．若非零向量满足，则与的夹角是.
D．在中，若，则为锐角；
【答案】AC
【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D选项.
【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即，所以，故A正确；
因为，则，又因为与夹角为锐角，
所以，且与不共线，即，解得，所以则的取值范围是，故B错误；
因为，两边同时平方得，即，所以，即，
因此
，又因为向量夹角的范围是，所以，故C正确；
因为，所以，
因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D错误，
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022春·浙江金华·高一统考期中）已知向量，，且，则__________.
【答案】5
【分析】由已知可得，，代入即可求出答案.
【详解】由可得，，即，解得，，
所以，
所以.
故答案为：5.
14．（2023·高一课时练习）己知向量，向量是垂直的单位向量，则________．
【答案】或
【分析】设，根据向量是垂直的单位向量，由求解.
【详解】解：设，
因为向量，且向量是垂直的单位向量，
所以，解得或，
所以或，
故答案为：或
15．（2023·全国·高一专题练习）在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】画出图形，建立平面直角坐标系，利用已知条件求出点的坐标，然后通过二次函数的性质求出数量积的范围.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，则，
因为，，所以，，
设，则
，
所以，
因为，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：

16．（2023秋·北京·高一校考期末）根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形按上述操作作图后，得如图所示的图形.若，则__________.

【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，标出各个点的坐标，利用平面向量的坐标运算即可得解.
【详解】如图，以A为原点，分别以为轴建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为，则正方形的边长为，正方形边长为
可知，，，
则，，即
又，
即，即，化简得

故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022春·广西贺州·高一平桂高中校考阶段练习）（1）若向量，求与的夹角；
（2）已知，求与夹角的余弦值.
【答案】（1）；（2）
【分析】(1)根据平面向量的数量积的坐标表示和几何意义求出和、，结合数量积的定义计算即可求解；
(2)由求出，结合数量积的定义计算即可求解.
【详解】（1），，
，
，，
设与的夹角为θ(0≤θ≤π)，则，
.
（2）由题意知，
，
所以，设的夹角为，
则.
18．（2023·高一课时练习）已知向量，，．
(1)若，求m的值；
(2)若，求m的值；
(3)若与夹角为锐角，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量平行坐标表示即可；
（2）由向量垂直坐标表示即可；
（3）由向量夹角为锐角可知且不同向，由此可构造不等式组求得的范围
【详解】（1）因为向量，，，
所以，解得；
（2）因为向量，，，
所以，解得；
（3）夹角为锐角，且不同向，，
解得：且，的取值范围为.
19．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）已知，，．
(1)求；
(2)求与的夹角；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积的运算律可求得，根据可求得结果；
（2）利用向量夹角公式可求得，进而确定夹角.
【详解】（1），，
.
（2）由（1）知：，，
，.
20．（2022春·广西柳州·高一校考阶段练习）在中，，，，为边中点．
(1)求的值；
(2)若点满足，求的最小值；
【答案】(1)
(2)最小值为
【分析】（1）以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系求出、的坐标，再由向量数量积的坐标运算可得答案；
（2）根据点在上，设，求出、的坐标，则，利用二次函数配方求最值可得答案.
【详解】（1）如图，以为坐标原点，边所在的直线为轴的正方向建立平面直角坐标系，
所以，，，
为边中点，所以，，，
则；

（2）若点满足，则点在上，
由（1），设，则，，
则，
所以当时的最小值为.
21．（2022春·云南文山·高一统考期末）如图，在菱形中，.

(1)若，求的值；
(2)若，求.
【答案】(1)1
(2)9
【分析】（1）利用向量的线性运算求，结合平面向量的基本定理求得，进而求得.
（2）先求得，然后利用转化法求得.
【详解】（1）因为，

所以，
所以，
所以，
故.
（2），
，
为菱形，，
所以，
.
22．（2022春·北京海淀·高一北京交通大学附属中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，，点是直线上的一个动点.
(1)求的值；
(2)若四边形是平行四边形，求点的坐标；
(3)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算出，然后用模的坐标公式即可求解；
（2）由点是直线上的一个动点可得到，接着利用即可求解；
（3）利用数量积的坐标公式和二次函数的性质即可求解
【详解】（1）因为，，，所以，
所以
所以
（2）由题意可得，
因为点是直线上的一个动点，所以，
所以，
因为四边形是平行四边形，所以即，
即，解得，所以
（3）由题意得，
所以当时，取得最小值