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专题08 空间直线、平面的垂直-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题08 空间直线、平面的垂直-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册），文件包含专题08空间直线平面的垂直解析版docx、专题08空间直线平面的垂直原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共61页， 欢迎下载使用。
专题08 空间直线、平面的垂直
知识点一
直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
3.特别提醒：如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交，就不能说明这条直线与此平面垂直.
知识点二
平面与平面垂直
1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
知识点三
常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点01 线面垂直的判定与证明
【典例1】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】由四边形为正方形，可得，结合正方体可得平面，进而得到，进而得证.
【详解】因为四边形为正方形，．
在正方体中，易知平面，
又平面，．
又，平面，
平面．
【典例2】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中．求证：面；
【答案】证明见解析
【分析】连接，证明平面，平面，可得，，再根据线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】如图，连接，则，
平面，平面，
所以，且平面，
所以平面，
由平面，所以，
因为平面平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CDAB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D﹣ABC的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：作出辅助线，得出AC⊥BC，由面面垂直，得线面垂直，即证．
方法二：得到AC⊥BC后，作出辅助线，由面面垂直得到DH⊥BC，从而证明BC⊥平面ACD.
（2）在第一问的基础上，由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．
【详解】（1）方法一：
在图1中，过点C作CE⊥AB于点E，
因为在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，，AB=4，AD=CD=2．
所以，
由勾股定理得：，
∴，
∴AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，
从而BC⊥平面ACD；
方法二：在图1中，过点C作CE⊥AB于点E，
因为在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，，AB=4，AD=CD=2．
所以，
由勾股定理得：，
∴，
∴AC⊥BC，
取AC的中点H，连接DH，
因为AD=DC，
所以DH⊥AC，
因为平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DH平面ACD，
从而DH⊥平面ABC；
因为BC平面ABC，
所以DH⊥BC，
因为，平面ACD，
从而BC⊥平面ACD；
（2）由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，，
，
所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，
由等积性知几何体D﹣ABC的体积为．
【总结提升】
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
考点02 线线垂直的判定与证明
【典例4】（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心．
【答案】证明见解析
【分析】由线面垂直的性质定理可得，又由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，同理可得，从而即可证明.
【详解】证明：如图，连接，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，所以同理可证平面，
因为平面，
所以，
所以为底面的垂心．
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三棱柱中，四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理得证；
（2）由三角形的边角关系得，再由面面垂直的性质定理求证；
【详解】（1）证明：设，连接，，
因为，分别为，的中点，则，，
因为为的中点，
所以，且，
所以，，
则四边形为平行四边形，
故，因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：因为，，，
所以；
所以，即，
因为平面平面，且平面底面，
平面
所以平面，又平面，
故.
【规律方法】
证明线线垂直的基本方法：
(1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法．
(2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法
考点03 面面垂直的判定与证明
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
【答案】证明见解析
【分析】证明PC⊥BD，AC⊥BD，结合面面垂直的判定证明即可.
【详解】∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得平面；
（2）通过证明平面来证得平面平面.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，.
为棱的中点，，且.
又为棱的中点，且底面为正方形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面.
（2）为棱的中点，，.
底面，平面，，
又，，平面，
平面，
平面，.
，平面，
平面.
平面，平面平面.
【总结提升】
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．证面面垂直的思路
(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．
(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．
考点04 面面垂直性质的应用
【典例8】（2022春·广西百色·高一校考期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定，构造平行四边形证明线线平行，即可证线面平行；
（2）根据面面垂直的性质得线面垂直，再根据线面垂直得线线垂直，结合（1）中结论，即可证明.
【详解】（1）证明：因为在四棱锥中，分别为的中点.
取的中点，连接，
所以，且，
因为四边形是矩形，所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，
所以平面；
（2）证明：平面平面，，
又在矩形中，，且面，
面，
面，
由（1）得，
.
【典例9】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1) 取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理可得：四边形是平行四边形，于是，再利用线面平行的判定定理可得出结论.
(2) 在中，由余弦定理可得：，因此，.利用面面垂直的性质定理可得出结论.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，
为的中点， ，且，
又，且，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2）证明：四边形是平行四边形，
，又，
在中，由余弦定理可得：
，，
， .
平面平面，平面平面，平面.
【总结提升】
1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．
2.垂直关系的转化：
3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点05 垂直关系的综合应用
【典例10】（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，
又，平面，
∴平面．
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线线垂直即可求证线面垂直，
（2）根据线面垂直即可求证面面垂直.
【详解】（1）∵底面ABCD为矩形，∴.
∵底面ABCD，底面ABCD ∴.
又∵，平面PAB，
∴平面PAB.
（2）∵平面PAB，平面PAB，
∴.
∵，E是PB的中点，∴.
又∵，平面PBC，
∴平面PBC.
又∵平面AEC，
∴平面平面PBC.
考点06 平行、垂直关系的综合问题
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；
（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.
【详解】（1）证明：，
∵设，∴，，,
∴，∴，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴．
（2）延长交于点M，连接,
∵，∴D为的中点，
∵的中点为E，∴，不在平面内,
∵平面，∴平面，
又平面，平面，
∴平面平面，即直线l为直线，
∴平面．
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；点是的中点
【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可得，结合AD⊥CD，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）取的中点为，的中点为，连接，，，根据中位线即可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）存在，当点是的中点时，平面，证明如下：
如图，设的中点为，连接，，，如图所示：
所以是的中位线，即，且，
因为，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
故当点是的中点时，平面.
【典例14】（2023·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
（2）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理及线面垂直的性定理，结合线面垂直的判定定理即可求解.
【详解】（1）连接，如图所示
因为是的中点，
所以为的中点， 又因为为的中点，
所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）在矩形，
所以.所以.
所以.所以.
在正三棱柱中， 底面平面.
因为为的中点， ， 所以.
因为平面平面， 所以平面.
因为平面， 所以.
又因为平面平面，
所以平面.
【总结提升】
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．
1．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
2. 【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
3.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；
（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．
【详解】
（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，所以，
从而，设，，
则，即，解得，所以．
因为底面，
故四棱锥的体积为．
一、单选题
1.（2023·全国·高一专题练习）若平面平面，直线平面，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】由直线与平面间的位置关系判断．
【详解】平面平面，直线平面，直线可以是平面内与两平面交线垂直的直线，即，
若不在平面内，，
故选：D．
2．（2023·高一课时练习）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据面面垂直的性质可证明平面ABD，从而可判断①；证明平面ACD可判断②③．
【详解】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】举特例可判断①；利用点线面的位置关系可判断②；利用线面平行的性质可判断④；利用面面垂直的判定定理可判断③
【详解】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，
对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，
对于④，若又，，所以，
又，且，所以，故④正确，
对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，
故，，与相交，则，
又，得到，故③正确，
综上可知三个命题正确，
故选：C．
4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理，性质定理逐项进行分析即可求解.
【详解】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；
若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；
因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；
若，，则或，故④不正确，
故选：.
二、多选题
5．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的性质定理判定定理可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的性质定理判定定理可判断C，利用面面平行的判定定理可判断D.
【详解】A选项：如图1，若平面，则，
又因为平面，平面，
则，连接，又，
所以平面，平面，则，
只有当时，才成立，故A不正确；
B选项：如图2，连接AC，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
若平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，显然不正确，故B不正确；
C选项：如图3，若平面，平面，
则，又易知平面，平面，
则，又，
所以平面，平面则，
显然不正确，故C不正确；
D选项：如图4，连接AC，CN，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
因为Q，N分别是BC，的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
平面，平面，
所以平面，且，
因此平面平面，平面，
所以平面，故D正确．
故选:ABC.
6．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体是中点，则（ ）
A．面 B．
C． D．平面
【答案】BC
【分析】与平面相交于点，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项D.
【详解】
与平面相交于点，故选项A错误；
,面
面
面
,故选项B正确；
连接,为等边三角形，
为中点，
,,则故选项C正确；
由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.
故选：BC.
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）“直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件．
【答案】必要非充分
【分析】根据直线与平面的位置关系分别判断充分性和必要性得到结果.
【详解】直线垂直平面内无数条直线，可能或或或与相交，故充分性不满足；
，则直线垂直于平面内所有直线，故直线垂直于平面内无数条直线，故必要性满足；
故答案为:必要非充分
8.（2023·高一课时练习）正方体中与对角线异面的棱有______条；与垂直的面对角线有______条．
【答案】 6 6
【分析】根据异面直线的定义，结合线面垂直的性质进行求解即可.
【详解】如图所示的正方体中，
与对角线异面的棱有，共6个，
与与垂直的面对角线有，共6个，
故答案为：6；6
四、解答题
9.（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【答案】证明见解析
【分析】由几何关系证明BC⊥AC，再由面面垂直的性质BC⊥平面ACD.
【详解】如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足，
∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
10．（2021春·陕西汉中·高一统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，平面ABCD．
(1)证明：平面平面BED；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知线面垂直得，再由菱形对角线垂直得线面垂直，从而可得证面面垂直；
（2），求出面积和高，再由棱锥体积公式计算．
【详解】（1）证明：四边形ABCD为菱形，．
平面ABCD，平面ABCD，
．
，平面BED，平面BED，
平面BED．
又平面AEC，
平面平面BED．
（2）在菱形ABCD中，由，，可得，．
，
在中，可得．
由平面ABCD，平面ABCD，得,
所以为直角三角形，
点E到平面AGD的距离．
，
．
11．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可证明，进而根据判定定理即可证明；
（2）证明平面，再结合即可证明结论；
（3）由题可求得，进而求得直角梯形ABCF的面积，然后利用棱锥的体积公式即求.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接.
因为分别是的中点，四边形是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为，的中点为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为底面是矩形，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为由（1）知，
所以平面.
（3）解：因为平面平面ABCD，
所以，
又，所以，
因为平面平面，
所以，
又E是PB的中点，
所以，
所以直角梯形的面积.
因为点到平面的距离，
所以.
12.（2023·全国·高一专题练习）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段AC上是否存在点M，使得∥平面？证明你的结论；
(3)求多面体EFABCD的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在；证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可；
（3）根据线面垂直的性质和判定定理，结合棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，
所以，因为，
所以，又因，、面，，
所以平面；
（2）存在，M为AC的中点，证明如下：
连接设，为则CE中点，连接，
在中，，平面，平面
所以∥平面；
（3）由（1）可知：平面，而平面，
所以，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
在等腰梯形中，，，，
所以有而，
所以，
等腰梯形的高为，则有，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为在平面内，到的距离为，平面平面，
所以到的距离为，
，
因此多面体EFABCD的体积为.
专题08 空间直线、平面的垂直
知识点一
直线与平面垂直
1.直线和平面垂直的定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.
2.直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
⇒a∥b
3.特别提醒：如果一条直线与平面内再多（即无数条）的直线垂直，但这些直线不相交，就不能说明这条直线与此平面垂直.
知识点二
平面与平面垂直
1.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
2. 平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
⇒l⊥α
知识点三
常用结论
直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点01 线面垂直的判定与证明
【典例1】（2023·高一课时练习）如图，已知正方体的棱长为1，与交于点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【分析】由四边形为正方形，可得，结合正方体可得平面，进而得到，进而得证.
【详解】因为四边形为正方形，．
在正方体中，易知平面，
又平面，．
又，平面，
平面．
【典例2】（2023春·全国·高一专题练习）在棱长为2的正方体中．求证：面；
【答案】证明见解析
【分析】连接，证明平面，平面，可得，，再根据线面垂直的判定定理即可得证.
【详解】如图，连接，则，
平面，平面，
所以，且平面，
所以平面，
由平面，所以，
因为平面平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
【典例3】（2023·全国·高一专题练习）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CDAB，AB=4，AD=CD=2．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
(1)求证：BC⊥平面ACD；
(2)求几何体D﹣ABC的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）方法一：作出辅助线，得出AC⊥BC，由面面垂直，得线面垂直，即证．
方法二：得到AC⊥BC后，作出辅助线，由面面垂直得到DH⊥BC，从而证明BC⊥平面ACD.
（2）在第一问的基础上，由高和底面积，求得三棱锥B﹣ACD的体积即是几何体D﹣ABC的体积．
【详解】（1）方法一：
在图1中，过点C作CE⊥AB于点E，
因为在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，，AB=4，AD=CD=2．
所以，
由勾股定理得：，
∴，
∴AC⊥BC，
又平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，BC平面ABC，
从而BC⊥平面ACD；
方法二：在图1中，过点C作CE⊥AB于点E，
因为在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，，AB=4，AD=CD=2．
所以，
由勾股定理得：，
∴，
∴AC⊥BC，
取AC的中点H，连接DH，
因为AD=DC，
所以DH⊥AC，
因为平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC平面ABC=AC，DH平面ACD，
从而DH⊥平面ABC；
因为BC平面ABC，
所以DH⊥BC，
因为，平面ACD，
从而BC⊥平面ACD；
（2）由（1）知，BC为三棱锥B﹣ACD的高，，
，
所以三棱锥B﹣ACD的体积为：，
由等积性知几何体D﹣ABC的体积为．
【总结提升】
证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；④面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
考点02 线线垂直的判定与证明
【典例4】（2023·高一课时练习）已知在平面外，满足，，平面，垂足为，求证：为底面的垂心．
【答案】证明见解析
【分析】由线面垂直的性质定理可得，又由线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，同理可得，从而即可证明.
【详解】证明：如图，连接，
因为平面，平面，
所以，又，，平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以，
因为，所以同理可证平面，
因为平面，
所以，
所以为底面的垂心．
【典例5】（2023·全国·高一专题练习）如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由三棱柱中，四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定定理得证；
（2）由三角形的边角关系得，再由面面垂直的性质定理求证；
【详解】（1）证明：设，连接，，
因为，分别为，的中点，则，，
因为为的中点，
所以，且，
所以，，
则四边形为平行四边形，
故，因为平面，平面，
故平面；
（2）证明：因为，，，
所以；
所以，即，
因为平面平面，且平面底面，
平面
所以平面，又平面，
故.
【规律方法】
证明线线垂直的基本方法：
(1)证明一条直线垂直于经过另一直线的平面，称之为线面垂直法．
(2)计算两条直线所成角等于90°，称之为计算角度法
考点03 面面垂直的判定与证明
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.
【答案】证明见解析
【分析】证明PC⊥BD，AC⊥BD，结合面面垂直的判定证明即可.
【详解】∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PDB，∴平面PDB⊥平面PAC.
【典例7】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得平面；
（2）通过证明平面来证得平面平面.
【详解】（1）如图，取的中点，连接，.
为棱的中点，，且.
又为棱的中点，且底面为正方形，
，且，
，且，
四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
平面.
（2）为棱的中点，，.
底面，平面，，
又，，平面，
平面，
平面，.
，平面，
平面.
平面，平面平面.
【总结提升】
1.面面垂直判定的两种方法与一个转化
(1)两种方法：
①面面垂直的定义；
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)一个转化：
在已知两个平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
2．证面面垂直的思路
(1)关键是考虑证哪条线垂直哪个面．这必须结合条件中各种垂直关系充分发挥空间想象综合考虑．
(2)条件中告诉我们某种位置关系，就要联系到相应的性质定理，如已知两平面互相垂直，我们就要联系到两平面互相垂直的性质定理．
考点04 面面垂直性质的应用
【典例8】（2022春·广西百色·高一校考期中）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，分别为的中点，平面平面.
(1)证明：平面；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线面平行的判定，构造平行四边形证明线线平行，即可证线面平行；
（2）根据面面垂直的性质得线面垂直，再根据线面垂直得线线垂直，结合（1）中结论，即可证明.
【详解】（1）证明：因为在四棱锥中，分别为的中点.
取的中点，连接，
所以，且，
因为四边形是矩形，所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为平面平面，
所以平面；
（2）证明：平面平面，，
又在矩形中，，且面，
面，
面，
由（1）得，
.
【典例9】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】(1) 取的中点，连接，，利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理可得：四边形是平行四边形，于是，再利用线面平行的判定定理可得出结论.
(2) 在中，由余弦定理可得：，因此，.利用面面垂直的性质定理可得出结论.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，如图，
为的中点， ，且，
又，且，，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面.
（2）证明：四边形是平行四边形，
，又，
在中，由余弦定理可得：
，，
， .
平面平面，平面平面，平面.
【总结提升】
1.在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式(如勾股定理)证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直．
2.垂直关系的转化：
3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．
4.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．
考点05 垂直关系的综合应用
【典例10】（2023·高一课时练习）如图，在正方体中，，，分别为三条面对角线，为一条体对角线.求证：
(1)；
(2)平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在正方体中，平面，
∵平面，∴，
又四边形为正方形，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴.
（2）与（1）中证明同理可证，
又，平面，
∴平面．
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据线线垂直即可求证线面垂直，
（2）根据线面垂直即可求证面面垂直.
【详解】（1）∵底面ABCD为矩形，∴.
∵底面ABCD，底面ABCD ∴.
又∵，平面PAB，
∴平面PAB.
（2）∵平面PAB，平面PAB，
∴.
∵，E是PB的中点，∴.
又∵，平面PBC，
∴平面PBC.
又∵平面AEC，
∴平面平面PBC.
考点06 平行、垂直关系的综合问题
【典例12】（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）证明，继而根据面面垂直的性质证明平面，根据线面垂直的性质即可证明结论；
（2）延长交于点M，连接,证明平面，继而说明直线l为直线，即可证明结论.
【详解】（1）证明：，
∵设，∴，，,
∴，∴，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，
∴．
（2）延长交于点M，连接,
∵，∴D为的中点，
∵的中点为E，∴，不在平面内,
∵平面，∴平面，
又平面，平面，
∴平面平面，即直线l为直线，
∴平面．
【典例13】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD⊥CD，，CD=2AB．
(1)求证：平面PAB⊥平面PAD；
(2)在侧棱PC上是否存在点M，使得平面PAD，若存在，确定点M位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在；点是的中点
【分析】（1）由PD⊥平面ABCD，根据线面垂直的性质定理可得，结合AD⊥CD，根据线面垂直的判定定理可得平面，根据面面垂直的判定定理即可证明；
（2）取的中点为，的中点为，连接，，，根据中位线即可证明，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）存在，当点是的中点时，平面，证明如下：
如图，设的中点为，连接，，，如图所示：
所以是的中位线，即，且，
因为，，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
故当点是的中点时，平面.
【典例14】（2023·全国·高一专题练习）在正三棱柱中，，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；
（2）利用等腰三角形的三线合一定理及面面垂直的性质定理及线面垂直的性定理，结合线面垂直的判定定理即可求解.
【详解】（1）连接，如图所示
因为是的中点，
所以为的中点， 又因为为的中点，
所以.
因为平面平面，
所以平面.
（2）在矩形，
所以.所以.
所以.所以.
在正三棱柱中， 底面平面.
因为为的中点， ， 所以.
因为平面平面， 所以平面.
因为平面， 所以.
又因为平面平面，
所以平面.
【总结提升】
(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设．
(2)对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在．
1．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
【答案】A
【分析】
由正方体间的垂直、平行关系，可证平面，即可得出结论.
【详解】
连，在正方体中，
M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，
平面平面，
所以平面.
因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，
平面，所以，
，所以平面，
平面，所以，
且直线是异面直线，
所以选项C错误，选项A正确.
故选：A.
2. 【多选题】（2021·全国·高考真题）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据线面垂直的判定定理可得BC的正误，平移直线构造所考虑的线线角后可判断AD的正误.
【详解】
设正方体的棱长为，
对于A，如图（1）所示，连接，则，
故（或其补角）为异面直线所成的角，
在直角三角形，，，故，
故不成立，故A错误.
对于B，如图（2）所示，取的中点为，连接，，则，，
由正方体可得平面，而平面，
故，而，故平面，
又平面，，而，
所以平面，而平面，故，故B正确.
对于C，如图（3），连接，则，由B的判断可得，
故，故C正确.
对于D，如图（4），取的中点，的中点，连接，
则，
因为，故，故，
所以或其补角为异面直线所成的角，
因为正方体的棱长为2，故，，
，，故不是直角，
故不垂直，故D错误.
故选：BC.
3.（2021·全国·高考真题（文））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；
（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再根据四棱锥的体积公式即可求出．
【详解】
（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）由（1）可知，平面，所以，
从而，设，，
则，即，解得，所以．
因为底面，
故四棱锥的体积为．
一、单选题
1.（2023·全国·高一专题练习）若平面平面，直线平面，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】D
【分析】由直线与平面间的位置关系判断．
【详解】平面平面，直线平面，直线可以是平面内与两平面交线垂直的直线，即，
若不在平面内，，
故选：D．
2．（2023·高一课时练习）如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
【答案】D
【分析】根据面面垂直的性质可证明平面ABD，从而可判断①；证明平面ACD可判断②③．
【详解】∵平面平面BCD，平面平面，，CD平面BCD,
∴平面ABD，又∵CD平面ACD，
∴平面平面ABD，故①正确；
∵平面平面ABD，平面平面，，AB平面ABD，
∴平面ACD，∵AC平面ACD，∴，故②正确；
∵平面ACD，AB平面ABC，∴平面平面ACD，故③正确；
故选：D
3．（2023·全国·高一专题练习）已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】举特例可判断①；利用点线面的位置关系可判断②；利用线面平行的性质可判断④；利用面面垂直的判定定理可判断③
【详解】对于①，当三条交线交于一点时，若，，则b，c夹角不确定，故①不正确，
对于②，若，则，，即，，所以，所以，故②正确，
对于④，若又，，所以，
又，且，所以，故④正确，
对于③，由④可同理得若，则，与矛盾，故不平行，
故，，与相交，则，
又，得到，故③正确，
综上可知三个命题正确，
故选：C．
4．（2023·全国·高一专题练习）设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（ ）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
【答案】C
【分析】根据线面，面面平行和垂直的判定定理，性质定理逐项进行分析即可求解.
【详解】若，，则根据面面平行的性质定理和判定定理可得，故①正确；
若，，则或与相交或在平面内，故②不正确；
因为，所以内有一直线与平行，而，则，根据面面垂直的判定定理可知：，故③正确；
若，，则或，故④不正确，
故选：.
二、多选题
5．（2023·全国·高一专题练习）已知长方体中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，，的中点，则下列结论不正确的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
【答案】ABC
【分析】根据线面垂直的性质定理判定定理可判断A，根据线面平行的判定定理可判断B，根据线面垂直的性质定理判定定理可判断C，利用面面平行的判定定理可判断D.
【详解】A选项：如图1，若平面，则，
又因为平面，平面，
则，连接，又，
所以平面，平面，则，
只有当时，才成立，故A不正确；
B选项：如图2，连接AC，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
若平面，则平面平面，
又平面平面，平面平面，
所以，显然不正确，故B不正确；
C选项：如图3，若平面，平面，
则，又易知平面，平面，
则，又，
所以平面，平面则，
显然不正确，故C不正确；
D选项：如图4，连接AC，CN，因为点P，Q分别是棱AB，BC的中点，
所以，平面，平面，
所以平面，
因为Q，N分别是BC，的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
平面，平面，
所以平面，且，
因此平面平面，平面，
所以平面，故D正确．
故选:ABC.
6．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体是中点，则（ ）
A．面 B．
C． D．平面
【答案】BC
【分析】与平面相交于点，判断选项A，体对角线与异面的面对角线相互垂直，判断选项B，等边三角形中为中点，判断选项C，不垂直于平面，判断选项D.
【详解】
与平面相交于点，故选项A错误；
,面
面
面
,故选项B正确；
连接,为等边三角形，
为中点，
,,则故选项C正确；
由于,故不垂直于，不垂直于平面，故选项D错误.
故选：BC.
三、填空题
7．（2023·高一课时练习）“直线垂直于平面内无数条直线”是“”的______条件．
【答案】必要非充分
【分析】根据直线与平面的位置关系分别判断充分性和必要性得到结果.
【详解】直线垂直平面内无数条直线，可能或或或与相交，故充分性不满足；
，则直线垂直于平面内所有直线，故直线垂直于平面内无数条直线，故必要性满足；
故答案为:必要非充分
8.（2023·高一课时练习）正方体中与对角线异面的棱有______条；与垂直的面对角线有______条．
【答案】 6 6
【分析】根据异面直线的定义，结合线面垂直的性质进行求解即可.
【详解】如图所示的正方体中，
与对角线异面的棱有，共6个，
与与垂直的面对角线有，共6个，
故答案为：6；6
四、解答题
9.（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
【答案】证明见解析
【分析】由几何关系证明BC⊥AC，再由面面垂直的性质BC⊥平面ACD.
【详解】如题图(1)，在梯形ABCD中，AD＝CD＝2，∠ADC＝90°，
过C作CE⊥AB，E为垂足，
∴四边形AECD为正方形，∴CE＝AE＝EB＝2，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
如题图(2)，平面ACD⊥平面ABC且平面ACD∩平面ABC＝AC，
又BC⊂平面ABC且BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACD.
10．（2021春·陕西汉中·高一统考期末）如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，平面ABCD．
(1)证明：平面平面BED；
(2)若，，，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由已知线面垂直得，再由菱形对角线垂直得线面垂直，从而可得证面面垂直；
（2），求出面积和高，再由棱锥体积公式计算．
【详解】（1）证明：四边形ABCD为菱形，．
平面ABCD，平面ABCD，
．
，平面BED，平面BED，
平面BED．
又平面AEC，
平面平面BED．
（2）在菱形ABCD中，由，，可得，．
，
在中，可得．
由平面ABCD，平面ABCD，得,
所以为直角三角形，
点E到平面AGD的距离．
，
．
11．（2023·全国·高一专题练习）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）取的中点为，连接，证明四边形为平行四边形即可证明，进而根据判定定理即可证明；
（2）证明平面，再结合即可证明结论；
（3）由题可求得，进而求得直角梯形ABCF的面积，然后利用棱锥的体积公式即求.
【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接.
因为分别是的中点，四边形是矩形，
所以，且，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为，的中点为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为底面是矩形，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，
所以平面，
因为由（1）知，
所以平面.
（3）解：因为平面平面ABCD，
所以，
又，所以，
因为平面平面，
所以，
又E是PB的中点，
所以，
所以直角梯形的面积.
因为点到平面的距离，
所以.
12.（2023·全国·高一专题练习）如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段AC上是否存在点M，使得∥平面？证明你的结论；
(3)求多面体EFABCD的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在；证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）根据正方形的性质，结合三角形中位线定理、线面平行的判定定理进行判断证明即可；
（3）根据线面垂直的性质和判定定理，结合棱锥的体积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为四边形ABCD为等腰梯形，
所以，因为，
所以，又因，、面，，
所以平面；
（2）存在，M为AC的中点，证明如下：
连接设，为则CE中点，连接，
在中，，平面，平面
所以∥平面；
（3）由（1）可知：平面，而平面，
所以，因为四边形为正方形，所以，
因为平面，
所以平面，
在等腰梯形中，，，，
所以有而，
所以，
等腰梯形的高为，则有，
所以，
因为平面，平面，
所以平面平面，
因为在平面内，到的距离为，平面平面，
所以到的距离为，
，
因此多面体EFABCD的体积为.
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