高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列优秀复习练习题

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考点一 等差数列的通项公式及相关计算
【例1-1】（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，，求；
(2)已知，，，求；
(3)已知，，求；
(4)已知，，求．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】（1）由，，，则．
（2）由，，，则，解得．
（3）由，，则．
（4）由，，则．
【例1-2】（2023·上海 ）已知等差数列中，且，为方程的两个实根．
(1)求此数列的通项公式；
(2)268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
【答案】(1)；
(2)268是此数列的第136项.
【解析】（1）由已知条件得，，
又∵为等差数列，设首项为，公差为，
∴，，解得，．
∴．
∴数列的通项公式为．
（2）令，解得．
∴268是此数列的第136项．
【一隅三反】
1．（2023秋·高二课时练习）在等差数列中，
(1)已知，，求；
(2)已知，，求d；
(3)已知，，，求n.
(4)已知，，求，；
(5)已知，，求；
(6)已知，，求．
(7)已知，，求首项与公差；
(8)已知，，求通项．
【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)28；(6)17.(7)，；(8).
【解析】（1）由知：；
（2）因为，，所以，所以，解得；
（3）由知：，解得.
（4）在等差数列中，由，得：，解得，
所以.
（5）设等差数列的公差为，由，得：，解得，
所以.
（6）设等差数列的公差为，由，得：，解得，
所以.
（7）由已知可得，解得.
（8）由已知可得，解得.所以，.
2（2023云南）在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)判断96是不是数列中的项？
【答案】(1)；
(2)不是.
【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，，
所以数列的通项公式是.
（2）由（1）知，，由得：不是正整数，
所以96不是数列中的项.
3．（2023春·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求：
(1)原数列的第12项是新数列的第几项？
(2)新数列的第29项是原数列的第几项？
【答案】(1)第45项
(2)第8项．
【解析】（1）设新数列为，则，，
根据，有，即，
所以，所以．
又因为，所以．
即原数列的第n项为新数列的第项．
当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项．
（2）由(1) ，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项．
考点二 等差数列的判定与证明
【例2-1】（2023·全国·高二课堂例题）判断下列数列是否为等差数列：
(1)1，1，1，1，1；
(2)4，7，10，13，16；
(3)－3，－2，－1，1，2，3．
【答案】(1)是等差数列
(2)是等差数列
(3)不是等差数列
【解析】（1）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为1，公差为0的等差数列．
（2）根据等差数列的定义可知，所给数列是首项为4，公差为3的等差数列．
（3）因为，所以这个数列不是等差数列．
【例2-2】（2023秋·江苏南通 ）已知数列中，，.
(1)求的值，并猜想数列的通项公式；
(2)证明数列是等差数列.
【答案】(1)，；
(2)证明见解析.
【解析】（1）在数列中，，，
令，得；令，得；令，得；
所以，猜想数列的通项公式为.
（2）由，，得，，即，
所以数列是以为首项，为公差的是等差数列.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高二课堂例题）判断以下数列是否是等差数列？如果是，指出公差；如果不是，说明理由．
(1)7，13，19，25，31；
(2)2，4，7，11；
(3)．
【答案】(1)是，公差为6
(2)不是等差数列
(3)是，公差为
【解析】（1）因为，所以是等差数列，且公差为6．
（2）因为，所以，因此不是等差数列．
（3）因为，所以是等差数列，且公差为
2.（2023·黑龙江）在数列中，是1与的等差中项，求证：数列是等差数列.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为是1与的等差中项，
所以，即，
所以，
所以，
即，是常数，
故数列是等差数列.
3．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；
【答案】证明见解析
【解析】的两边同时除以，得2，
∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列
4．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）设数列的前n项和，满足，且
(1)证明：数列为等差数列
(2)求的通项公式
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】（1）数列的前n项和，，又，显然，因此，
所以数列为等差数列，首项，公差为2.
（2）由（1）知，，则
当时，，显然不满足上式，
所以的通项公式是.
考点三 等差中项及其应用
【例3-1】（2023春·安徽芜湖 ）已知数列是等差数列，，则（ ）
A．9B．0C．-3D．-6
【答案】B
【解析】数列是等差数列又故选：B.
【例3-2】（2023春·高二课时练习）在等差数列中，，则（ ）
A．36B．48C．60D．72
【答案】C
【解析】由题设，，则，所以.故选：C
【例3-3】（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为数列是等差数列，所以，即，
所以，故选：A
【例3-4】（2023北京）在等差数列中，若，则 .
【答案】24
【解析】因为在等差数列中，有，所以由，
得，，又，所以.
故答案为：24
【一隅三反】
1．（2023春·浙江杭州·高二校联考期中）在等差数列中，若，则（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】D
【解析】在等差数列中，，解得，
所以．
故选：D
2．（2023·全国·高二专题练习）等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
则②-①可得：，
所以.
故选：A.
3．（2023春·广西崇左·高二校考期中）若a是4+m，4-m的等差中项，则a=
【答案】4
【解析】a是4+m，4-m的等差中项，，解得，故答案为：4.
4．（2023春·西藏日喀则·高二统考期末）在等差数列中，若，则 .
【答案】24
【解析】因为在等差数列中，有，所以由，
得，，又，所以.故答案为：24
5．（2023·高二课时练习）若正项等差数列满足：，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，（当且仅当时取等号），
即，解得：，即的最小值为.
故答案为：.
6．（2023春·江西上饶·高二校联考期中）已知，成等差数列，则 .
【答案】2
【解析】由对数定义有：，
由成等差数列，
所以，即
，化简得：，
解得：或，由，所以：，故答案为：2.
考点四 等差数列的设法与求解
【例4-1】（2023高二课时练习）已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.
【答案】4，6，8
【解析】设这三个数为a－d，a，a＋d，由已知得
由①得a＝6，代入②得d＝±2.
∵该数列是递增数列，∴d>0，即d＝2，∴这三个数依次为4,6,8.
【例4-2】（2023春·高二课时练习）已知4个数成等差数列，它们的和为20，中间两项之积为24，求这个4个数．
【答案】2，4，6，8或8，6，4，2．
【解析】设此四个数分别为：，，，．
由题意可得：，．解得，．
∴这四数为2，4，6，8或8，6，4，2．
【一隅三反】
1．（2023湖北）（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为28，中间两项的积为40，则这四个数依次为（ ）
A．-2，4，10，16B．16，10，4，-2
C．2，5，8，11D．11，8，5，2
【答案】AB
【解析】设这四个数分别为，，，，
则解得或
所以这四个数依次为-2，4，10，16或16，10，4，-2.
故选：AB
2．（2023湖北）已知5个数成等差数列,它们的和为5,平方和为165,求这5个数.
【答案】见解析
【解析】根据题意设这5个数分别为,
则,即,
解得.
当时,这5个数分别为 ；
当时,这5个数分别为.
3．（2023·河南）已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数．
【答案】－，，1，，或，，1，，－
【解析】设第三个数为a，公差为d，则这5个数分别为，由已知有
，
整理得，所以.
当时,这5个数分别为－，，1，，；
当时,这5个数分别为，，1，，－.
综上，这5个数分别是－，，1，，或，，1，，－.
考点五 等差数列的实际应用
【例5-1】（2023春·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4km）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往16km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付的车费为（ ）
A．23.2B．24.4C．25.6D．26.8
【答案】C
【解析】根据题意，当出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，车费增加1.2元，可知车费构成等差数列，记表示走4km的车费，公差，
那么，当出租车行驶至16km时，，所以.故选：C.
【例5-2】（2023春·安徽宿州·高二江西省泰和中学校联考期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”，后来南宋数学家秦九韶在《算书九章·大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”属于现代数论中的一次同余式组问题，后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道同余式组问题：将正整数中，被4除余3且被6除余1的数，按由小到大的顺序排成一列数，则（ ）
A．115B．117C．119D．121
【答案】A
【解析】被4除余3的正整数为，
被6除余1的正整数为，
令，得，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
【一隅三反】
1．（2023春·湖北武汉·高二校联考期中）《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（ ）
A．尺B．13尺C．尺D．尺
【答案】D
【解析】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为，
则由题意可得，，，
则小满当日日影长．
故选：D．
2．（2023春·河南驻马店·高二河南省驻马店高级中学校考期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于同余的问题．现有这样一个问题：将正整数中能被3除余1且被2除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）
A．55B．49C．43D．37
【答案】A
【解析】正整数中既能被3除余1且被2除余1的数，即被6除余1，那么
，有.
故选：A
3．（2023·全国·高二专题练习）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，若冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5寸，问大雪、寒露的日影长之和为（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
【答案】A
【解析】因为从冬至到夏至的日影长等量减少，
所以日影长可构成等差数列，
因为冬至、立冬、秋分三个节气的日影长之和为31.5，
所以，则，得，
所以大雪、寒露的日影长之和为（寸），
故选：A