人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品导学案，共13页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。

1.1.1 空间向量及其线性运算
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.理解空间向量的概念.(难点)
2.掌握空间向量的线性运算.(重点)
3.掌握共线向量定理、共面向量定理的应用.(重点、难点)
1、逻辑推理
2、数学运算
【自主学习】
一．空间向量的概念及几类特殊向量
名称
定义
空间向量
在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的_
_____
单位向量
长度或模为______的向量
零向量
______的向量
相等向量
方向______且模______的向量
相反向量
______相反且______相等的向量
解读：(1)单位向量方向不确定；
(2)零向量方向任意，与任何向量都平行；
(3)向量不能比较大小，但是向量的模可以比较大小；关于两个向量的比较，我们仅研究是否相等。
二．空间向量的表示
空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的 表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为 .
三．空间向量的线性运算
空间向量的线性运算
加法
三角形法则:a＋b＝＋＝ 　
平行四边形法则:a＋b＝＋＝ 　

减法
a－b＝－＝　
数乘
运算
当λ>0时，λa（λa的长度为a的|λ|a倍）＝λ＝（与a同向）

当λ<0时，λa＝λ＝（与a反向）
当λ＝0时，λa＝0
运算律
交换律
a＋b＝ 　
结合律
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)，λ(μ a)＝ 　
分配律
(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝ 　
思考：空间两个向量的加减法与平面内两个向量的加减法有没有区别？

四．共线向量
(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.
(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.
五．方向向量
在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的 成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。
六．共面向量
定义：平行于________________的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法：
(1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则向量a，b，c共面；
(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.
2.对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥，或∥).
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)零向量没有方向．( )
(2)平面内所有的单位向量是相等的．( )
(3)两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同．(　　)
(4)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量．(　　)
(5)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件．(　　)
2.已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)
A.a＋b－c B.－a－b＋c
C.－a＋b＋c D.－a＋b－c
【经典例题】
题型一 空间向量概念
点拨：在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致．
例1 下列命题中正确的个数是(　　)
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．0 B．1 C．2 D．3
【跟踪训练】1 如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，下列四对向量：
①与；②与；③与；④与．其中互为相反向量的有n对，则n等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1

题型二 空间向量的线性运算
点拨：运用法则进行向量的线性运算时注意的关键要素
(1)向量加法的三角形法则：“首尾相接，指向终点”；
(2)向量减法的三角形法则：“起点重合，指向被减向量”；
(3)平行四边形法则：“起点重合”；
(4)多边形法则：“首尾相接，指向终点”．
例2 在如图所示的平行六面体中，求证：＋＋＝2.


【跟踪训练】2 如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.
(1)＝x＋y＋z；
(2)＝x＋y＋z.


题型三 向量的共线及判定
例3 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝，求证：E，F，B三点共线.
点拨：要证E，F，B三点共线，只需证明下面结论中的一个成立即可：
(1)＝m；(2)＝＋λ；(3)＝n＋(1－n).





【跟踪训练】3在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，请判断与＋是否共线．






题型四 向量共面
例4如图,四边形ABCD,四边形ADEF均是平行四边形,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=13BD,AN=13AE.求证:向量MN,CD,DE共面.

点拨：DE和DC不共线，要证明MN,CD,DE共面，只要证明存在唯一的有序实数对(x,y),使MN=xDE+yDC即可。


【跟踪训练】4已知向量a，b，c不共面，且p＝3a＋2b＋c，m＝a－b＋c，n＝a＋b－c，试判断p，m，n是否共面．




【当堂达标】
1.(多选)下列说法：其中错误的是(　　)
A.若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；
B.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞；
C.若两个非零向量与满足＋＝0，则，为相反向量；
D.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合.
2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　)
A．a＝b B．a＋b为实数0 C．a与b方向相同 D．|a|＝3
3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝，若＝x＋y(＋)，则(　　)
A．x＝1，y＝ B．x＝，y＝1 C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
4.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：
①单位向量共有多少个？②试写出模为的所有向量．
③试写出与向量相等的所有向量．④试写出向量的所有相反向量．




5.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量.




6.已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝＋＋.
(1)判断，，三个向量是否共面；
(2)判断点M是否在平面ABC内.





【课堂小结】
一．概念：
1.空间向量的概念及特殊空间向量；2.空间向量的表示；
3.空间向量的加、减法运算、数乘运算；4.共线向量；
5.方向向量；6.共面向量。
二．证明：
1.三点共线；
2.四点共面。



【参考答案】
【自主学习】
一．大小　方向　长度或模　1　长度为0　相同　相等　方向　模
二．长度 |a|或||
三． b＋a (λμ)a λa＋λb
思考：没有区别．
四．(1)互相平行或重合　共线向量　(2) a＝λb
五．非零向量
六．同一个平面
【小试牛刀】
1、× × √ × √
2、C 解析：＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.
【经典例题】
例1 A 解析：①中b＝0时，则a与c不一定共线；②中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；③中，当b＝0，a≠0时λ不存在，故①②③均错．
【跟踪训练】1 C 解析：对于①与，③与中的两向量，长度相等，方向相反，均为互为相反向量；对于②与长度相等，方向不相反；对于④与长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．
例2 证明　∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴＝＋，＝＋，＝＋，
∴＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝2(＋＋)．
又∵＝，＝，
∴＋＋＝＋＋＝＋＝.
∴＋＋＝2.
【跟踪训练】2解：(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，
又＝x＋y＋z，
所以x＝1，y＝－1，z＝1.
(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝1.
例3 【证明】　设＝a，＝b，＝c.
∵＝2，＝，
∴＝，＝.
∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
∴＝－＝a－b－c＝(a－b－c)．
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
∴＝，所以E，F，B三点共线．
【跟踪训练】3 解：连接AC，取AC的中点G，连接EG、FG，
∵E、F分别为AB、CD的中点．
∴＝，＝.
又∵E、F、G三点共面，
∴＝＋＝(＋)，即与＋共线．
例4 证明：由题图知,MN=DN-DM=23DA+13DE-23DB=23DA+13DE-23(DA+DC)=13DE-23DC,所以向量MN,CD,DE共面.
【跟踪训练】4 解：设p＝xm＋yn，
即3a＋2b＋c＝x(a－b＋c)＋y(a＋b－c)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b＋(x－y)c.
因为a，b，c不共面，所以
而此方程组无解，所以p不能用m，n表示，
即p，m，n不共面．
【当堂达标】
1.ABD 解析：A错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.
B错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.
C正确.＋＝0，得＝－，且，为非零向量，所以，为相反向量.
D错误.由＝，知||＝||，且与同向，但A与C，B与D不一定重合.
2.D 解析：向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.
3.D 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)．所以x＝1，y＝．
4.解　①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量，，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．
②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.
③与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及.
④向量的相反向量有，，，.
5.解：＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝＋＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.
6.解：如图：

(1)由已知，得＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋＝－－.∴向量，，共面.
(2)由(1)知，向量，，共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，
∴M，A，B，C四点共面，∴点M在平面ABC内.