高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教案

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授课主题
空间直线、平面的垂直
教学目标
1.了解直线与平面垂直的定义；了解直线与平面所成角的概念.
2.掌握直线与平面垂直的判定定理，并会用定理判定线面垂直.
3.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.
4.掌握面面垂直的性质定理，并能利用面面垂直的性质定理证明一些简单的问题.
教学重难点
重点：空间直线、平面垂直的判定及其性质定理
教学内容
空间直线、平面的垂直

爱思课堂——有趣


知识点一　回顾两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)画法：

2.两条直线的位置关系

3.两个定理
(1)基本事实4
①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b⇒a∥c.
③作用：证明空间两条直线平行.
(2)等角定理
①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②作用：证明两个角相等或互补.
4.平面内两直线的夹角
(1)定义：平面内两条直线相交成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角(或夹角)；规定两直线平行时夹角为0°，垂直时夹角为90°.
(2)范围：两条直线夹角α的取值范围是0°≤α≤90°.
知识点二　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).
2.范围：0°<θ≤90°.特别地，当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
知识点三　直线与平面垂直的定义
定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足
图示

画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直

注意：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
思考　空间两条直线垂直一定相交吗？
答案　不一定相交，空间两条直线垂直分为两种情况：一种是相交垂直，一种是异面垂直.
知识点四　直线与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言
l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α
图形语言


思考　若把定理中的“两条相交直线”改为“两条直线”，直线与平面一定垂直吗？
答案　当这两条直线平行时，直线可与平面平行或相交或在平面内，但不一定垂直.
知识点五　直线与平面所成的角
有关概念
对应图形
斜线
一条直线与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA

斜足
斜线和平面的交点，图中点A
射影
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO
直线与平面所成的角
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，图中∠PAO
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°
取值范围
设直线与平面所成的角为θ，0°≤θ≤90°

知识点六　直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
⇒a∥b
图形语言


注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
思考　垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
答案　共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面.
知识点七　二面角的概念
1.定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
2.相关概念：
(1)这条直线叫做二面角的棱；
(2)两个半平面叫做二面角的面.
3.画法：
　　　　
4.记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q.
5.二面角的平面角：(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是∠AOB.

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角.
知识点八　平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的定义
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：

(3)记作：α⊥β.


2.平面与平面垂直的判定定理
文字语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
图形语言


知识点九　平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号语言
α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
图形语言




一、异面直线所成的角
例1　如图，在正方体ABCD－EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：

(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
解　(1)∵CG∥FB，
∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.
在Rt△EFB中，EF＝FB，
∴∠EBF＝45°，
∴BE与CG所成的角为45°.
(2)连接FH，

∵FB∥AE，FB＝AE，AE∥HD，AE＝HD，
∴FB＝HD，FB∥HD，
∴四边形FBDH是平行四边形，
∴BD∥FH，
∴∠HFO或其补角是FO与BD所成的角，连接HA，AF，
则△AFH是等边三角形，
又O是AH的中点，∴∠HFO＝30°，
∴FO与BD所成的角为30°.
反思感悟　求两异面直线所成角的三个步骤
(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.
(2)证：证明作出的角就是要求的角.
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°.
跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，AE＝2.

(1)求直线BC和EG所成的角；
(2)求直线AE和BG所成的角.
解　(1)连接AC(图略).∵EG∥AC，∴∠ACB即是BC和EG所成的角.
∵在长方体ABCD－EFGH中，AB＝AD＝2，
∴tan∠ACB＝1，∴∠ACB＝45°，
∴直线BC和EG所成的角是45°.
(2)∵AE∥BF，∴∠FBG即是AE和BG所成的角.
易知tan∠FBG＝，
∴∠FBG＝60°，
∴直线AE和BG所成的角是60°.
二、直线与直线垂直
例2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.

证明　如图，∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成角即为直线AO与D1C所成角，
连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，
∴AO⊥A1B.
反思感悟　要证明两异面直线垂直，应先构造两异面直线所成的角.若能证明这个角是直角，即得到两直线垂直.
跟踪训练2如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.

证明　取CC′的中点F，连EF，BF，

∵E为AC的中点，F为CC′的中点，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角∠BEF
即为异面直线BE与AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2，∴EF＝.
在等边△ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，即BE⊥AC′.
三、直线与平面垂直的定义以及判定定理的理解
例3　下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
④过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
答案　③④
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以④正确.
反思感悟　对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事.
跟踪训练3　(1)若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
(2)如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是________.(填序号)
答案　(1)C　(2)①③④
解析　(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC⊂平面OBC，
∴OA⊥平面OBC.
(2)根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直，而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件.
四、直线与平面垂直的判定
例4　如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
证明　(1)因为SA＝SC，D是AC的中点，
所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
由已知SA＝SB，
所以△ADS≌△BDS，
所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，
所以SD⊥平面ABC.
(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，
所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又因为SD∩AC＝D，SD，AC⊂平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
反思感悟　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
(1)在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.
(2)确定这个平面内的两条直线是相交的直线.
(3)根据判定定理得出结论.
跟踪训练4　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.

(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM⊂平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM⊂平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM⊂平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ⊂平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.

五、直线与平面垂直的性质
例5　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.

证明　∵AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，∴AE⊥AB，
又AB∥CD，∴AE⊥CD.
∵AD＝AP，E是PD的中点，∴AE⊥PD.
又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴AE⊥平面PCD.
∵MN⊥AB，AB∥CD，∴MN⊥CD.
又∵MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD，∴AE∥MN.
反思感悟　证明线线平行的常用方法
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点.
(2)利用基本事实4：证两线同时平行于第三条直线.
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
跟踪训练5　如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.

证明　∵PA⊥α，l⊂α，∴PA⊥l.同理PB⊥l.
∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴l⊥平面PAB.
又∵PA⊥α，a⊂α，∴PA⊥a.
∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，
∴a⊥平面PAB.
∴a∥l.







求直线与平面所成的角
典例　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；
(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角.
解　(1)∵AB⊥平面AA1D1D，
∴∠AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，
在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°，AB＝AA1，
∴∠AA1B＝45°，
∴A1B与平面AA1D1D所成的角是45°.
(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.

∵A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，BB1∩B1D1＝B1，BB1，B1D1⊂平面BB1D1D，
∴A1O⊥平面BB1D1D，
∴∠A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角.
设正方体的棱长为1，则A1B＝，A1O＝.
又∵∠A1OB＝90°，
∴sin∠A1BO＝＝，又0°≤∠A1BO≤90°，
∴∠A1BO＝30°，
∴A1B与平面BB1D1D所成的角是30°.
[素养提升]　求直线与平面所成角的步骤
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线.
(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角.
(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
六、二面角的求法
例6　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小.

解　由已知PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴PA⊥BC.
∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，
∴AC⊥BC.
又∵PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.
又∵BC是二面角P－BC－A的棱，
∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角.
由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，
∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.
反思感悟　在二面角棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，即两射线夹角为所求二面角的平面角.
跟踪训练6　如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中：

①二面角D′－AB－D的大小为________.
②二面角A′－AB－D的大小为________.
答案　①45°　②90°
解析　①在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD′，AB⊥AD，因此∠D′AD为二面角D′－AB－D的平面角.在Rt△D′DA中，∠D′AD＝45°，所以二面角D′－AB－D的大小为45°.
②因为AB⊥平面AD′，所以AB⊥AD，AB⊥AA′，因此∠A′AD为二面角A′－AB－D的平面角，又∠A′AD＝90°，所以二面角A′－AB－D的大小为90°.
七、平面与平面垂直的判定
例7　在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

证明　∵PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD.
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
又PC∩AC＝C，PC，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC.
∵BD⊂平面PBD，∴平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟　证明平面与平面垂直的方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角.
(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.
跟踪训练7　如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，

求证：平面ABC⊥平面ASC.
证明　作SH⊥AC交AC于点H，连接BH，
∵SA＝SC，∴AH＝HC.
在Rt△ABC中，H是AC的中点，

∴BH＝AC＝AH，
又SH＝SH，SA＝SB，
∴△SAH≌△SBH(SSS)，
∴SH⊥BH，
又AC∩BH＝H，AC，BH⊂平面ABC，
∴SH⊥平面ABC，
又SH⊂平面ASC，∴平面ABC⊥平面ASC.
八、平面与平面垂直的性质定理
例8　如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.

证明　如图，在平面PAB内，

作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，
AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
跟踪训练8　如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M，AC⊥BC.

求证：AM⊥平面EBC.
证明　∵平面ACDE⊥平面ABC，平面ACDE∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，BC⊥AC，
∴BC⊥平面ACDE.
又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，BC，EC⊂平面EBC，
∴AM⊥平面EBC.







1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.以上都有可能
答案　D
解析　当两个平面平行时，这两条直线的位置关系为平行或异面，当两个平面相交时，这两条直线的位置关系有可能相交或异面或平行.
2.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是(　　)

A.l与AD平行
B.l与AB异面
C.l与CD所成的角为30°
D.l与BD垂直
答案　A
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行.
由于AD∥B1C1，∴l必与直线AD不平行.
3.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
答案　A
解析　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求.

4.如图所示，如果MC⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，那么MA与BD的位置关系是(　　)

A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
答案　C
解析　连接AC.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，AC，MC⊂平面AMC，所以BD⊥平面AMC.又MA⊂平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
5.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
答案　C
解析　∵AB⊥α，l⊂α，∴AB⊥l，
又∵BC⊥β，l⊂β，∴BC⊥l，
又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，
∴l⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.
6.已知直线l，a，b，平面α，若要得到结论l⊥α，则需要在条件a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b中另外添加的一个条件是________.
答案　a与b相交
7.二面角α－l－β的大小为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
答案　60°
解析　过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.
8.已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，给出下列结论：
①若m垂直于α内的两条相交直线，则m⊥α；
②若m∥α，则m平行于α内的所有直线；
③若m⊂α，n⊂β，且α∥β，则m∥n；
④若n⊂β，n⊥α，则α⊥β.
其中正确结论的序号是________.(把正确结论的序号都填上)
答案　①④
解析　①中的内容即为线面垂直的判定定理，故①正确；②中，若m∥α，则m与α内的直线平行或异面，故②错误；③中，两个平行平面内的直线平行或异面，所以③错误；④中的内容为面面垂直的判定定理，故④正确.
9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥BC，D为棱CC1上任一点.

(1)求证：直线A1B1∥平面ABD；
(2)求证：平面ABD⊥平面BCC1B1.
证明　(1)由直三棱柱ABC－A1B1C1，得A1B1∥AB.
因为A1B1⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以直线A1B1∥平面ABD.
(2)因为三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，所以AB⊥BB1.
又因为AB⊥BC，BB1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，且BB1∩BC＝B，所以AB⊥平面BCC1B1.
又因为AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面BCC1B1.

10.如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明　(1)在平面ABD内，
因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，
BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.



11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BC，BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是(　　)

A.直线AA1 B.直线A1B1
C.直线A1D1 D.直线B1C1
答案　D
解析　根据异面直线的概念可看出直线AA1，A1B1，A1D1都和直线EF为异面直线；B1C1和EF在同一平面内，且这两直线不平行.
∴直线B1C1和直线EF相交，即选项D正确.
12.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.

答案　5
解析　取AD的中点P，连接PM，PN，

则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，
PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，
∴MN＝5.
13.如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB∶BB1＝∶1，则AB1与平面BB1C1C所成角的大小为(　　)

A.45° B.60°
C.30° D.75°
答案　A
解析　取BC的中点D，连接AD，B1D，

∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCC1B1，
∴AD⊥平面BCC1B1，
∴∠AB1D即为AB1与平面BB1C1C所成的角.
设AB＝，则AA1＝1，AD＝，AB1＝，
∴sin∠AB1D＝＝，∴∠AB1D＝45°.
14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)

答案　∠A1C1B1＝90°
解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)




15.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

答案　DM⊥PC(或BM⊥PC等)
解析　由题意得BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，
而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.
16.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120°，平面PCD⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝a，E为PA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.

证明　设AC∩BD＝O，
连接EO，则EO∥PC.

∵PC＝CD＝a，PD＝a，
∴PC2＋CD2＝PD2，∴PC⊥CD.
∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，PC⊂平面PCD，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD.
又EO⊂平面EDB，故有平面EDB⊥平面ABCD.
17.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明　(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图.

又∵N是PC的中点，∴NE∥DC且NE＝DC.
又∵DC∥AB且DC＝AB，
AM＝AB，
∴AM∥CD且AM＝CD，∴NE∥AM，且NE＝AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PDA即为PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.
又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，
∴CD⊥平面PAD.
∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，
∴CD⊥MN.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，
∴MN⊥平面PCD.













1. 我需要努力的地方（错题）是：




2. 本章内容我学到了什么？