人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系教学设计

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授课主题
空间点、直线、平面之间的位置关系
教学目标
1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.
2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.
3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
4.了解空间两直线间的位置关系.
5.理解空间直线与平面的位置关系.
6.掌握空间平面与平面的位置关系.
教学重难点
重点：掌握空间点、直线、平面之间的位置关系
教学内容
空间点、直线、平面之间的位置关系

爱思课堂——有趣
　柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交会。不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相等。并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体，但是，在这里，我们仍以柏拉图多面体称之，以免与其它有规则的多面体产生混淆。




知识点一　平面
1.平面的概念
几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.
2.平面的画法
我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.

3.平面的表示法
图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
思考　几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？



知识点二　点、线、面之间的位置关系
1.直线在平面内的概念
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
2.一些文字语言与符号语言的对应关系：
文字语言表达
符号语言表示
文字语言表达
符号语言表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A∉l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A∉α
直线l在平面α内
l⊂α
直线l在平面α外
l⊄α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α，β相交于直线l
α∩β＝l



知识点三　平面的基本性质及作用
1.
基本事实
内容
图形
符号
作用
基本事实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
基本事实2
如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
基本事实3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l
①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上

2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：
推论1　经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面.


知识点四　空间两直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.

(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.

2.空间两条直线的三种位置关系


知识点五　直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a⊂α
a∩α＝A
a∥α
图形表示




知识点六　平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示



思考　平面平行有传递性吗？







一、图形语言、文字语言、符号语言的相互转换
例1　(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________________.


(2)用符号表示下列语句，并画出图形.
①点A在平面α内但在平面β外；
②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；
③直线a在平面α内，也在平面β内.








反思感悟　三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
跟踪训练1　用符号表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.






二、点、线共面问题
例2　如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.



反思感悟　证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.
跟踪训练2　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.















证明点共线、线共点问题
典例　(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点.










(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.

求证：E，F，G，H四点必定共线.








[素养提升]　点共线与线共点的证明方法
(1)点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
三、两直线位置关系的判定
例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.

反思感悟　判断空间两条直线位置关系的决窍
(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.


跟踪训练3　若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面


四、直线与平面的位置关系
例4　(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)
A.直线上所有的点都在平面外
B.直线上有无数多个点都在平面外
C.直线上有无数多个点都在平面内
D.直线上至少有一个点在平面内
(2)下列命题中正确的个数是(　　)
①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；
②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；
③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.
A.0 B.1 C.2 D.3


反思感悟　在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.
跟踪训练4　下列说法：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中正确的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3


五、平面与平面的位置关系
例5　在以下三个命题中，正确的命题是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；
③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.
A.①② B.②③ C.③ D.①③

反思感悟　利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.

跟踪训练5　已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：
①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；
③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.
其中正确命题的个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4


1.下列有关平面的说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.圆和平行四边形都可以表示平面

2.(多选)下列命题中错误的是(　　)
A.空间三点可以确定一个平面
B.三角形一定是平面图形
C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D.四条边都相等的四边形是平面图形

3.若一直线a在平面α内，则正确的作图是(　　)




4.如图，用符号语言可表述为(　　)

A.α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A
B.α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C.α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D.α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
5.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A.l⊂α B.l⊄α
C.l∩α＝M D.l∩α＝N

6.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有(　　)
A.2对 B.3对 C.6对 D.12对


7.(多选)以下四个命题中正确的有(　　)
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面


8.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.


9.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线；
②必相交于一点；
③必相交于一条直线；
④必相交于三条平行线.


10.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)



11.空间不共线的四点可以确定平面的个数是(　　)
A.0 B.1 C.1或4 D.无法确定


12.如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行

13.设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.

14.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内

15.若平面α与β的公共点多于两个，则(　　)
A.α，β可能只有三个公共点
B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上
C.α，β一定有无数个公共点
D.以上均不正确

16.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.


17.已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；
②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；
④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.
其中正确的序号是____________.


18.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则(　　)
A.M一定在直线AC上
B.M一定在直线BD上
C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上
D.M不在直线AC上，也不在直线BD上
19.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.






1. 我需要努力的地方（错题）是：


2. 本章内容我学到了什么？