新教材2023版高中数学章末复习课2第二章导数及其应用学案北师大版选择性必修第二册

这是一份新教材2023版高中数学章末复习课2第二章导数及其应用学案北师大版选择性必修第二册，共8页。

章末复习课考点一　导数几何意义的应用1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)，明确“过点P(x0，y0)的曲线y＝f(x)的切线方程”与“在点P(x0，y0)处的曲线y＝f(x)的切线方程”的异同点．2．通过对求切线方程的考查，提升学生的数学抽象、数学运算素养．例1　已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．跟踪训练1　设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直线l是曲线y＝f(x)的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．(1)求a的值；(2)求f(x)在x＝3处的切线方程．考点二　利用导数研究函数的单调性1．借助导数研究函数的单调性，尤其是研究含有ln x，ex，－x3等线性函数(或复合函数)的单调性，是近几年高考的一个重点．其特点是导数f′(x)的符号一般由二次函数来确定；经常同一元二次方程、一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．2．通过对函数单调性的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．例2　设函数f(x)＝a ln x＋，a为常数，讨论函数f(x)的单调性．跟踪训练2　已知a∈R，求函数f(x)＝2x2eax的单调区间．考点三　利用导数研究函数的极值和最值1．函数的极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质；函数的最值是个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必是整个区间上的所有函数值中的最小值．2．利用导数求极值和最值主要有两类题型：一类是给出具体的函数，直接利用求极值或最值的步骤进行求解；另一类是已知极值或最值，求参数的值．3．通过对函数极值和最值的考查，提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算素养．例3　设a>0且a≠1，函数f(x)＝x2－(a＋1)x＋a ln x.(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率；(2)求函数f(x)的极值点．跟踪训练3　已知函数f(x)＝ln x－(m∈R)．(1)当m＝－2时，求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若函数f(x)在区间[1，e]上取得最小值4，求m的值．考点四　利用导数研究方程、不等式等综合问题1．用导数解决不等式问题主要是指运用导数求解不等式、比较大小、证明不等式等；用导数研究方程问题，主要是指根据方程构造函数，然后利用导数，研究得到函数的单调性、极值、最值，从而结合函数图象来研究方程的根的个数、大小等问题．这是导数的重要应用之一，也是高考的重点和热点内容．2．通过对以上知识的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．例4　设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f(x)的极值点；(2)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围；(3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围．跟踪训练4　已知函数f(x)＝ex＋，a∈R，试讨论函数f(x)的零点个数．章末复习课考点聚集·分类突破例1　解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一　设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝∴直线l的方程为(x－x0)＋＋x0－16.又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(－x0)＋＋x0－16.整理得＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二　设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，又∵k＝f′(x0)＝＝＋1.解得，x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．跟踪训练1　解析：(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9，f′(x)min＝－a2－9，由题意知－a2－9＝－10，∴a＝1或a＝－1(舍去)．故a＝1.(2)由(1)得a＝1，∴f′(x)＝x2＋2x－9，则k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10.∴f(x)在x＝3处的切线方程为y＋10＝6(x－3)，即6x－y－28＝0.例2　解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝＝.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于Δ＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当a＝－时，Δ＝0，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．②当a<－时，Δ<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．③当－0.设x1，x2(x10，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤－时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－0，则f′(x)>0.所以当a＝0时，函数y＝f(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．(2)当a>0时，由2x＋ax2>0，解得x<－或x>0；由2x＋ax2<0，解得－0时，函数y＝f(x)在区间上为增函数，在区间上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数．(3)当a<0时，由ax2＋2x>0，解得0－.所以当a<0时，函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上为减函数，在区间上为增函数，在区间上为减函数．例3　解析：(1)由已知得x>0.当a＝2时，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲线y＝f(x)在(3，f(3))处切线的斜率为.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①当00，函数f(x)是递增的；当x∈(a，1)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．此时x＝a是f(x)的极大值点，x＝1是f(x)的极小值点．②当a>1时，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的；当x∈(1，a)时，f′(x)<0，函数f(x)是递减的；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，函数f(x)是递增的．此时x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．综上，当01时，x＝1是f(x)的极大值点，x＝a是f(x)的极小值点．跟踪训练3　解析：(1)当m＝－2时，f(x)＝ln x＋(x>0)，则f′(x)＝，当x∈(0，2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0，2)，极小值为f(2)＝ln 2＋1，无极大值．(2)f′(x)＝，①当m≥－1时，f′(x)≥0，x∈[1，e]，f(x)在[1，e]上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－m＝4，解得m＝－4，不满足m≥－1，故舍去．②当－e0，f(x)单调递增，f(x)min＝f(－m)＝ln (－m)＋1＝4，解得m＝－e3，不满足－e