北师大版 (2019)选择性必修 第二册第二章 导数及其应用1 平均变化率与瞬时变化率1.2 瞬时变化率学案及答案

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[教材要点]
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为________．通常我们把自变量的变化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化________称作函数值y的________，记作________．这样，函数的平均变化率就可以表示为________的改变量与________的改变量之比，即＝____________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的________．
状元随笔 函数的平均变化率可正可负，反映函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变化得越快．
要点二 瞬时变化率
对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0), 则函数的平均变化率是＝________＝________．
当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在________的瞬时变化率．瞬时变化率刻画的是函数在________变化的快慢．
状元随笔 平均速度和瞬时速度都是反映运动物体的位移随时间变化而变化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移的改变量与这段时间的比值，而瞬时速度是运动物体在某一时刻的速度，当一个时间段趋于0时的平均速度就是瞬时速度．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)Δx趋近于0表示Δx＝0.( )
(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )
(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )
(4)一物体的运动方程是S＝at2(a为常数)，则该物体在t＝t0时的瞬时速度是at0.( )
2．质点运动规律s(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( )
A．6.3 B．36.3
C．3.3 D．9.3
3．如果质点M按照规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )
A．6 B．18
C．54 D．81
4．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．
题型一 求函数的平均变化率
例1 已知函数f(x)＝2x2＋1，
(1)求函数f(x)在[2，2.01]上的平均变化率；
(2)求函数f(x)在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．
方法归纳
1．求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.
第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1).
第三步，求平均变化率＝.
2．求平均变化率的一个关注点
求点x0附近的平均变化率，可用的形式．
跟踪训练1 函数y＝x2＋1在[1，1＋Δx]上的平均变化率是( )
A．2 B．2x
C．2＋Δx D．2＋(Δx)2
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？
方法归纳
平均变化率的意义
1．本题中比较两人的速度，其实就是比较两人走过的路程对时间的平均变化率，通过比较平均变化率的大小关系得出结论．
2．平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化越慢．
跟踪训练2 某手机配件生产流水线共有甲、乙两条，产量s(单位：个)与时间t(单位：天)的关系如图所示，则接近t0天时，下列结论中正确的是( )
A．甲的日生产量大于乙的日生产量
B．甲的日生产量小于乙的日生产量
C．甲的日生产量等于乙的日生产量
D．无法判定甲的日生产量与乙的日生产量的大小
题型三 运动物体的平均速度与瞬时速度
例3 已知s(t)＝5t2，
(1)求t从3秒到3.01秒的平均速度；
(2)求t＝3秒时的瞬时速度．
方法归纳
求函数f(x)在点x＝x0处的瞬时变化率的步骤
1．求Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
2．计算，并化简，直到当Δx＝0时有意义为止；
3．将Δx＝0代入化简后的即得瞬时变化率．
跟踪训练3 一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.
易错辨析 不能正确识图致误
例4 A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有( )
A．两机关单位节能效果一样好
B．A机关单位比B机关单位节能效果好
C．A机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关单位的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大
解析：由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好．故选B.
答案：B
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1 100＋，其中x为产量数，生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
4．在F1赛车中，赛车位移s与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位为m，t的单位为s)，求：
(1)t＝20，Δt＝0.1时Δs与；
(2)t＝20时的瞬时速度．
§1 平均变化率与瞬时变化率
新知初探·课前预习
要点一
x2－x1 改变量 Δx f(x2)－f(x1) 改变量 Δy 函数值 自变量 快慢
要点二
x0点 一点处
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．解析：s(3)＝12，s(3.3)＝13.89
∴＝＝＝6.3，故选A.
答案：A
3．解析：＝＝18＋3Δt，
s′＝＝＝18，故选B.
答案：B
4．解析：平均变化率为＝＝8.
答案：8
题型探究·课堂解透
题型一
例1 解析：(1)由f(x)＝2x2＋1
得Δy＝f(2.01)－f(2)＝0.080 2
Δx＝2.01－2＝0.01
∴＝＝8.02.
(2)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－1＝2Δx(2x0＋Δx)
∴＝＝4x0＋2Δx.
跟踪训练1 解析：∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，
∴＝＝2＋Δx.
故选C.
答案：C
题型二
例2 解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
但s1(t0－Δt)>s2(t0－Δt)，
故<.
所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如题图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．
跟踪训练2 解析：由平均变化率的几何意义可知，当接近于t0时，曲线乙割线的斜率大于曲线甲割线的斜率，故乙的日产量大于甲的日产量．
故选B.
答案：B
题型三
例3 解析：(1)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01
Δs＝s(3.01)－s(3)＝5×3.012－5×32
＝5×(3.01－3)×(3.01＋3)
∴＝＝30.05 (m/s)．
(2)在t＝3附近取一个小时间段Δt，
即3≤t≤3＋Δt(Δt>0)
∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)
＝5×(3＋Δt)2－5×32
＝5×Δt×(6＋Δt)
∴＝＝30＋5Δt，
当Δt趋于0时，趋于30，
∴在t＝3时的瞬时速度为30 m/s.
跟踪训练3 解析：∵s＝at2＋1，
∴s(2＋Δt)＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1.
于是Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝4a＋4a·Δt＋a·(Δt)2＋1－(4a＋1)－4a·Δt＋a·(Δt)2，
∴＝＝4a＋a·Δt，
当Δt趋于0时，趋于4a.
依据题意有4a＝12.
∴a＝3.
[课堂十分钟]
1．解析：平均变化率为＝－1.
故选B.
答案：B
2．解析：＝＝－6－3Δt.
故选D.
答案：D
3．解析：＝＝.
答案：
4．解析：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
＝＝210.5(m/s)．
(2)∵＝
＝5Δt＋210，
当Δt趋于0时，趋于210，
所以在t＝20时的瞬时速度为210 m/s.
最新课程标准
学科核心素养
1.通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程．
2．了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．
3．体会极限思想．
1.了解平均变化率、瞬时变化率．(数学抽象)
2．会求平均变化率．(数学运算)
3．会求函数在某点处的瞬时变化率．(数学运算)
出错原因
纠错心得
两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值，平均变化率比较大小易错，易错选C.
识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢要弄清．