2022届新教材北师大版导数及其运用单元测试含答案5

2022届新教材北师大版  导数及 其运用    单元测试

一、选择题

1、
函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，则a等于(　　)

A． ln 2－1    B． ln 2＋1

C． ln 2    D． 2ln 2

2、若质点A的运动方程是s=2t2，则在t=3秒时的瞬时速度为　(　　)

A.6        B.12       C.24        D.18

3、已知函数是偶函数, 当时,, 则曲线在点处切线的斜率为 (    )

A．                B．             C．                 D．

4、

已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程为

A．或    B．或

C．或    D．或

5、若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

6、曲线在点处的切线方程是，则下列说法正确的是（   ）

A．函数是偶函数且有最大值           B．函数是偶函数且有最小值

C. 函数 是奇函数且有最大值          D．函数 是奇函数且有最小值

7、曲线在点处切线的斜率等于(　　)

A．     B．     C． 2    D． 1

8、 若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝(　　)

A．－1  B．－2  C．2  D．0

9、函数y＝－在点x＝4处的导数是(　　)

A．     B． －     C．     D． －

10、如图是甲、乙两人的位移s与时间t关系图象，以下说法错误的是（    ）

A．甲、乙两人在［0，］内的平均速度相同

B．甲、乙两人在时刻的瞬时速度相同

C．甲做匀速运动，乙做变速运动

D．当时，在［］内任一时刻乙的瞬时速度大于甲的瞬时速度

11、已知函数是偶函数，当时，.若曲线在点处切线的斜率为-1，则实数的值为（   ）

A．                     B．                 

C.                       D．

12、若函数，则此函数图像在点处的切线的倾斜角为（    ）

A.     B. 0    C. 锐角    D. 钝角

二、填空题

13、曲线在点处的切线方程为__________．

14、函数在处的切线方程为_____________.

15、已知函数若对任意两个不相等的正实数、都有恒成立，则的取值范围是       ．

16、若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，则f（x）的最大值为           ．

三、解答题

17、（本小题满分10分）设点是曲线上的任意一点,P点处切线倾斜角的取值范围

18、（本小题满分12分）求证：在双曲线xy＝a2(a≠0)上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数(如图)．

19、（本小题满分12分）下列函数的导数：

①      ②     ③

20、（本小题满分12分）已知函数，若，求在处的切线方程.

参考答案

1、答案A

解析因为函数y＝ln x的导数y′＝，又函数y＝ln x(x>0)的图象与直线y＝x＋a相切，所以＝，即x＝2，所以切点P(2，ln 2)，所以ln 2＝1＋a，即a＝ln 2－1.选A.
 

2、答案B

解析.∵=

=2(Δt+6)=2Δt+12，

∴=12，即在t=3秒时的瞬时速度为12.

3、答案B

解析当时,，又是偶函数，所以在点处切线的斜率为，选B.

考点：导数几何意义

思路点睛(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.

(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.

4、答案B

解析

分析

设切点为，根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，写出切线方程，把点代入，列方程求出，代入切线方程化简即可.

详解

设切点为,切线斜率 ，

则切线方程是，又过点，

所以， ①

又，②

由①②解得， 或 ，代入切线方程化简可得：

切线方程为 或.

故选B.

点睛

本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.

5、答案D

解析根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.

详解：设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

点睛

本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题.

6、答案B

解析函数是偶函数且有最小值，故选B.

考点：1、导数的几何意义；2、函数的奇偶性；3、函数的最值.

方法点晴本题考查导数的几何意义、函数的奇偶性、函数的最值，涉及函数与方程思想、特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 函数是偶函数且有最小值.

7、答案C

解析求函数的导数，利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率

详解

，

当时，

即曲线在点处切线的斜率

故选

点睛

本题主要考查了导数的计算以及导数的几何意义，属于基础题。

8、答案B

解析

9、答案C

解析欲求函数在处的导数,先求出的导函数,然后把代入即可求出所求.

详解

令f(x)＝－，则f′(4)＝＝

＝＝＝.

答案：C

点睛

本题考查了导数的定义与计算，要求熟练掌握求导法则，属于基础题.

10、答案B

解析

11、答案B

解析当时，，函数是偶函数，∴，即，得.故选B.

考点：1、导数的几何意义；2、函数的奇偶性.

12、答案D

详解：因为，

所以，

则函数在点处的切线的斜率

为，

即该切线的倾斜角为钝角．

点睛：本题考查导数的几何意义、直线的斜率和倾斜角等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

13、答案y=2x–2

详解：由，得

则曲线在点处的切线的斜率为，

则所求切线方程为，即.

点睛：求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理.

14、答案

解析由可得，

∴，

又

∴曲线在处的切线方程为，

即

答案：

15、答案

解析由有,函数的图象上任何一点的切线斜率都大于或等于,故.且,由有,记,则对于时恒成立,所以,,而,当时,有最大值.故.

考点：1.导数的几何意义；2.恒成立问题；3.二次函数的最值.

方法点睛本题考查了导数的几何意义,恒成立问题的转化,属于中档题. 由于任意两个不相等的正实数、都有恒成立,所以函数的图象上任何一点的切线斜率都大于或等于,这是本题的突破口,利用导数的几何意义,得到,,,转化为求的最大值,而是开口向下的二次函数,在顶点处取最大值.

16、答案6

试题解析：解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣1对称，

∴f（0）=f（﹣2）=0且f（﹣4）=f（2）=0，

即b=0且（1﹣4）[（﹣4）2+a？（﹣4）+b]=0，

解之得a=4，b=0，

因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+4x）=﹣x4﹣x3+x2+4x，

求导数，得f′（x）=﹣x3﹣3x2+2x+4=﹣（x+1）（x+1+）（x+1﹣）

当x∈（﹣∞，﹣1﹣）∪（﹣1，﹣1+）时，f'（x）＞0，

当x∈（﹣1﹣，﹣1）∪（﹣1+，+∞）时，f'（x）＜0，

∴f（x）在（﹣∞，﹣1﹣）单调递增，在（﹣1﹣，﹣1）单调递减，在（﹣1，﹣1+）单调递增，在（﹣1+，+∞）单调递减，

故当x=﹣1﹣和x=﹣1+时取极大值，f（﹣1﹣）=f（﹣1+）=6.

故答案为：6.

考点：函数的最值及其几何意义；函数的图象．

17、答案C

解析因，故切线斜率，切线倾斜角的取值范围是．

考点：导数的应用．

18、答案

详解

证明：因为，所以，所以.

函数在图像上的任一点处的切线斜率，，

所以切线方程是，即．

令，得；令，得.

所以，为常数．

即在双曲线上任何一点处的切线与坐标轴构成的三角形的面积为常数.

点睛

本题考查关于导数的应用的证明，解题关键在掌握导数的几何意义.

解析

19、答案解：①法一： ∴

法二：=+

② ∴

③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx,

解析

20、答案.

详解：，

，.

在处的切线方程为：，即

点睛

本题主要考查了导数几何意义的应用，属于中档题.

解析