辽宁省铁岭市2021-2022学年八年级下学期期中随堂练习数学试卷(含解析)

2021－2022学年度下学期随堂练习

八年数学  北师大Ⅰ

一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 下列是不等式的是（  ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列图形中，是中心对称图形的是（  ）

A. 等边三角形 B. 正五边形 C. 平行四边形 D. 等腰直角三角形

3. 若，则下列各式正确是（  ）

A  B.  

C.  D.

4. 如图，在中，是AC上一点，于点E，连接BD，若AC=8cm，则等于（  ）

A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm

5. 如果关于x的不等式 (a＋1)x>a＋1的解集为x<1，那么a的取值范围是(     )

A a>0 B. a<0 C. a>－1 D. a<－1

6 已知，如图，在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC分别交AB，AC于点D，E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（　　）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

7. 如图，一次函数与的图像相交于点，则关于x的不等式的解集是（  ）

A.  B.  C.  D.

8. 若不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）

A. a＜2 B. a≤2 C. a≥2 D. 无法确定

9. 把不等式组的解表示在数轴上，正确的是（    ）

A.  B.  

C.  D.

10. 如图，D、E是等边的BC边和AC边上的点，，AD与EE相交于P点，则的度数是（    ）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 75°

二、填空题（每题3分，共24分）

11. 用不等式表示：x与5的差不大于x的2倍：_____．

12. 若一次函数的图象经过点，则不等式的解集为______．

13. 如图，DE，MN分别垂直平分AB，AC，且cm，则的周长为______cm．

14. 如图，在中，是的角平分线，垂足为E，若CD=6，则________________．

15. 不等式组的解集是x＞4，那么m的取值范围是_____．

16. 若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是______．

17. 如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为______．

18. 如图，在中，，点M，N分别是AB，AC上的动点，沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点始终落在BC上，若为直角三角形，则BM的长为_____________________；

三、解答题（第17题6分，18、19题各8分，共22分）

19. 某开发区在两条河BA与CA所夹的角之间，M、N是两个工厂，现要在开发区内建一个货物中转站，要求它到两条河的距离相等，到两工厂的距离也相等，请找出货物中转站的位置P．（用尺规作图，不写作法，保留痕迹）

20. 解下列不等式：

（1）

（2）

21. 如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，CA上，且．

（1）求证：是等腰三角形；

（2）当，直接写出的面积；

四、解答题（22题、23题8分，共16分）

22. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，连接AP．

（1）求证：PA平分∠BAC外角∠CAM；

（2）过点C作CE⊥AP，E是垂足，并延长CE交BM于点D．求证：CE=ED．

23. 某单位要印刷一批宣传材料。在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费0.1元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过20时，每页收费0.12元，一次印刷页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，设该单位需要印刷宣传材料的页数为x（x>20且x是整数），在甲印刷厂实际付费为（元），在乙印刷厂实际收费为（元）

（1）分别写出与x的函数关系式；

（2）你认为选择哪家印刷厂印刷这些宣传材料较好？为什么？

五、（8分）

24. 某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买2个大地球仪和1个小地球仪需用132元．

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少钱？

（2）该中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过980元，那么至少要购买多少个小地球仪？

六、（8分）

25. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D．

（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF=90°．求证：BE=AF；

（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN=90°．如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN=AM；

七、（12分）

26. 如图，是的平分线，点E，M分别在射线上，作射线，以M为中心，将射线逆时针旋转，交所在直线于点F．

（1）按要求画图，并完成证明．

过点M作，交射线于点H，求证：是等边三角形．

（2）当点F落在射线上，请猜想线段三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）当点F落在射线的反向延长线上，请直接写出线段三者之间的数量关系．

答案

1. B

解：A、x+y是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；

B、3x＞7是不等式，故此选项符合题意；

C、2x+3=5是等式，故此选项不符合题意；

D、x3y2是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．

故选：B．

2. C

解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．

3. B

解：A、∵，∴，故本选项错误；

B、∵，∴，故本选项正确；

C、∵，∴，故本选项错误；

D、∵，∴，故本选项错误；

故选：B．

4. C

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴DC=DE，

又∵AC=8cm，

∴．

故答案选C．

5. D

解：(a＋1)x>a＋1的解集为x<1，

不等式两边同时除以(a＋1)，不等号方向改变，

∴a＋1<0，

解得：a<-1，

故选：D．

6. A

解：∵在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠OCB.

∵DE//BC，

∴∠DOB=∠OBC=∠DBO，∠EOC=∠OCB=∠ECO，

∴DB=DO，OE=EC.

∵DE=DO+OE，

∴DE=BD+CE=5．

故选：A.

7. B

解：当时，函数的图象都在函数图象的下方，

∴关于x的不等式的解集为，

故选：B．

8. C

解：    

由 ①得∶x<2．

由 ②得∶x<a，

因为不等式组 的解集是x＜2，
所以a≥2．

故选C

9. B

∵，

∴，

∴不等式组的解为；-1＜x≤1，

在数轴上表示如下：

．

故选B．

10. C

解：∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．

在△ABD和△BCE中，

，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴∠BAD＝∠DBE．

∵∠APE＝∠ABP+∠BAP，

∴∠APE＝∠ABP+∠DBE．

即∠APE＝∠ABD．

∴∠APE＝60°．

故选：C．

11. x-5≤2x

差不大于x的2倍：应最后算差，不大于的意思是小于或等于，据此列出不等式．

解：根据题意，得x-5≤2x；

故答案为x-5≤2x．

12.

解：把代入得，解得，

所以一次函数解析式为，

解不等式，

解得：．

故答案是：．

13. 10

∵DE，MN分别垂直平分AB，AC，

∴、，

∴的周长，

∵cm，

∴的周长为10cm，

故答案为：10．

14.

解：，

，，

是的角平分线，，

，，

，，

，

在中，由勾股定理得：，

，

，

故答案为：．

15. m≤4

不等式组的解集是x＞4，得：m≤4．

故答案为m≤4．

16.

解：解不等式，

得：，

由题意只有3个正整数解，则分别为：1，2，3，

故：，

解得：，

故答案是：．

17. 4

∵∠ABC=45°，AD⊥BC，

∴AD=BD．

∵∠1=∠3（同角的余角相等），

∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，

∴∠2=∠4．

在△ADC和△BDH中，

∵，

∴△ADC≌△BDH（AAS），

∴BH=AC=4

故答案为：4

18. 或

解：①如图1，

当，与重合，是的中点，

；

②如图2，当，

，，

，

是等腰直角三角形，

，

沿所在直线折叠，使点的对应点，

，

，

，

，

，

，

综上所述，若△为直角三角形，则的长为或，

故答案为：或．

19. （1）作∠BAC的平分线；
（2）作线段MN的垂直平分线，两直线相交于点P，则点P即为所求．
解：

20. （1）

解：   

由①得：

由②得：

把①②的解集在数轴上表示出来

不等式组的解集：

（2）

由①得：

由②得：

把①②的解集在数轴上表示出来

不等式组的解集：

21. 解：（1），

，

，，

，

，

是等腰三角形；

（2）．

，

，

，

，，

是等边三角形，

，

是等边三角形．

，

的面积为．

22. 解：证明：（1）过P作PT⊥BC于T，PS⊥AC于S，PQ⊥BA于Q，如图，

∵在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角的平分线相交于点P，
∴PQ=PT，PS=PT，
∴PQ=PS，
∴AP平分∠DAC，
即PA平分∠BAC的外角∠CAM；

（2）∵PA平分∠BAC的外角∠CAM，
∴∠DAE=∠CAE，
∵CE⊥AP，
∴∠AED=∠AEC=90°，
在△AED和△AEC中，

，

∴△AED≌△AEC（ASA），
∴CE=ED．

23. 解：（1）由题意得，,

，

（2）当时，

由得：，解得，，

由得：，解得，，

由得：，解得，，

综上所述，当时，甲、乙两个印刷厂收费相同，当时，甲印刷厂费用少，当 时，乙印刷厂费用少．

24. （1）

设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意得：

，

解得：，

答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元．

（2）

设小地球仪a个，则大地球仪为（30-a）个，根据题意得：

，

∴，

∵a为整数，

∴，

答：小地球仪至少购买25个．

25. 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠C=45°，

∵AD⊥BC，

∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=45°，

∴∠CAD=∠B，AD=BD，

∵∠EDF=∠ADC=90°，

∴∠BDE=∠ADF，

在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（ASA），

∴DE=DF；

（2）如图，过点M作MP⊥AM，交AB的延长线于点P，

∴∠AMP=90°．

∵∠PAM=45°，

∴∠P=∠PAM=45°，

∴AM=PM．

∵∠BMN=∠AMP=90°，

∴∠BMP=∠AMN．

∵∠DAC=∠P=45°，

在△AMN和△PMB

∴△AMN≌△PMB（ASA），

∴AN=PB，

∴AP=AB+BP=AB+AN，

在Rt△AMP中，∠AMP=90°，AM=MP，

∴AP=AM，

∴AB+AN=AM.

26. （1）

证明：过点M作MHOA，交射线OB于点H， 如图所示，

∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠AOC=∠COB=∠AOB=．

∵MHOA，

∴∠HMO=∠AOC=60°，

∴∠HMO=∠COB=∠MHO=60°，

∴△OMH是等边三角形 ．

（2）

OM=OF+OE ，理由如下：

∵△OMH是等边三角形 ，

∴OM=MH=OH．

∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，

∴∠EMF=∠HMO =60°，

∴∠EMF–∠OMF =∠HMO–∠OMF，       

即∠EMO=∠HMF ．                     

又∵∠MOE=∠MHF=60°，

∴△EMO≌△FMH（ASA），

∴OE=FH ．

∵OM=OH=OF+FH，

∴OM=OF+OE ．

（3）

OM =OE-OF，理由如下：

如图，∵△OMH是等边三角形 ，

∴OM=MH=OH．

∵以M为中心，将射线ME逆时针旋转60°，

∴∠EMF=∠HMO =60°，

∴∠EMF+∠OMF =∠HMO+∠OMF，       

即∠EMO=∠HMF ．

又∵∠MOE=∠MHF=60°，

∴△EMO≌△FMH（ASA），

∴OE=FH ．

∵OM=OH= FH -OF，

∴OM=OE-OF ．