2021-2022学年辽宁省铁岭市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2021-2022学年辽宁省铁岭市八年级（下）期中数学试卷 一．选择题（本题共10小题，共30分）下列是不等式的是A.  B.  C.  D. 下列图形中，是中心对称图形的是A. 等边三角形 B. 正五边形
C. 平行四边形 D. 等腰直角三角形若，则下列各式中正确的是A.  B.  C.  D. 如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于A.
B.
C.
D. 如果关于的不等式的解集为，那么的取值范围是A.  B.  C.  D. 已知，如图，在中，和分别平分和，过作，分别交、于点、，若，则线段的长为A.  B.  C.  D. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是A.
B.
C.
D. 若不等式组的解集是，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 无法确定把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是A.  B.
C.  D. 如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数为
B.
C.
D. 二．填空题（本题共8小题，共24分）用不等式表示：与的差不大于的倍：______．若一次函数的图象经过点，则不等式的解集为______．如图，，分别垂直平分，，且，则的周长为______．
如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则______．

  不等式组的解集是，那么的取值范围是_____________．若关于的不等式只有个正整数解，则的取值范围是______ ．如图，已知中，，，是高和的交点，则线段的长度为______．
  如图，在中，，，，点，分别是边，上的动点，沿所在直线折叠，使点的对应点始终落在边上，若为直角三角形，则的长为______．

  三．解答题（本题共8小题，共66分）某开发区在两条河与所夹的角之间，、是两个工厂，现要在开发区内建一个货物中转站，要求它到两条河的距离相等，到两工厂的距离也相等，请找出货物中转站的位置用尺规作图，不写作法，保留痕迹
解下列不等式：
；
．如图，在中，，点，，分别在，，上，且，．
求证：是等腰三角形．
当，，直接写出的面积．

  如图，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，连接．
求证：平分的外角；
过点作，是垂足，并延长交于点求证：．
某单位要印刷一批宣传材料，在甲印刷厂不管一次印刷多少页，每页收费元，在乙印刷厂，一次印刷页数不超过时，每页收费元；一次印刷页数超过时，超过部分每页收费元．设该单位需要印刷宣传材料的页数为，且为整数，在甲印刷厂实际付费为元，在乙印刷厂实际付费为元．
分别求出，与的函数关系式．
你认为选择哪家印刷厂印刷这批宣传材料较好，为什么？某中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买个大地球仪和个小地球仪需用元；若购买个大地球仪和个小地球仪需用元．
求每个大地球仪和每个小地球仪各多少钱？
该中学决定购买以上两种地球仪共个，总费用不超过元，那么至少要购买多少个小地球仪？在中，，，于点．
如图，点，在，上，且，求证：；
如图，点，分别在直线，上，且，当点在的延长线上时，求证：．
如图，，是的平分线，点，分别在射线，上，作射线，以为中心，将射线逆时针旋转，交所在直线于点．
按要求画图，并完成证明．
过点作，交射线于点，求证：是等边三角形．
当点落在射线上，请猜想线段，，三者之间的数量关系，并说明理由；
当点落在射线的反向延长线上，请直接写出线段，，三者之间的数量关系．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意；
B、是不等式，故此选项符合题意；
C、是等式，故此选项不符合题意；
D、是代数式，不是不等式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据不等式的定义，逐项判断即可．
此题主要考查了不等式的定义．解题的关键是掌握不等式的定义．用”“或”“”“”或“表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式．
 2.【答案】【解析】解：、等边三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、正五边形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，故本选项符合题意；
D、等腰直角三角形不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 3.【答案】【解析】解：，
，，，．
故选：．
根据不等式的性质对各选项进行判断．
本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 4.【答案】【解析】解：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故选：．
证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出答案．
本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
 5.【答案】【解析】解：当时，原不等式变形为：；
当时，原不等式变形为：．
故选：．
本题可对，与的情况进行讨论．不等式两边同时除以一个正数，不等号方向不变，同时除以一个负数，不等号方向改变，据此可解本题．
本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意同除时是否要改变符号这一点而出错．
解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变．在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 6.【答案】【解析】解：在中，和分别平分和，
，，
，
，，
，，
，
．
故选A．
根据和分别平分和，和，利用两直线平行，内错角相等和等量代换，求证出，，然后即可得出答案．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定，平行线的性质的理解和掌握，此题关键是求证，，难度不大，是一道基础题．
 7.【答案】【解析】解：观察函数图象可知：当时，一次函数的图象在的图象的下方，
关于的不等式的解集是．
故选：．
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
 8.【答案】【解析】【分析】
本题是已知不等式组的解集，求不等式中另一未知数的问题．可以先将另一未知数当作已知处理，求出解集与已知解集比较，进而求得另一个未知数．解出不等式组的解集，与已知解集 比较，可以求出 的取值范围．
【解答】
解：由 ，得：
因为不等式组 的解集是
．
故选： ．   9.【答案】【解析】解：
有得：；
有得：；
所以不等式组的解集为：，
在数轴上表示为：

故选：．
先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
本题考查的是数轴上表示不等式组的解集，解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是此题的易错点．
 10.【答案】【解析】【分析】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质的应用，解此题的关键是求出 ≌ ．
根据等边三角形性质得出 ， ，证出 ≌ ，根据全等三角形的性质得出 ，根据三角形外角性质得出 ，即可得出答案．
【解答】 解： 是等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
≌ ，
，
．
故选 C ．  11.【答案】【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式，注意抓住关键词语，弄清不等关系． 与 的差为 ，不大于即小于等于， 的 倍为 ，据此列不等式．
【解答】
解：由题意得： ； 故答案为 ．  12.【答案】【解析】解：把代入得，解得，
所以一次函数解析式为，
解不等式得．
故答案是：．
先把代入中求出，然后解不等式即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围．
 13.【答案】【解析】解：，分别垂直平分，，
，，
的周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质是解答此题的关键．
 14.【答案】【解析】解：，
，，
是的角平分线，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
根据角平分线性质得出，求出，根据勾股定理求出，即可求出答案．
本题考查角平分线性质，等腰三角形性质，勾股定理的应用，主要考查学生的计算能力．
 15.【答案】【解析】【分析】
本题考查了不等式组解集，求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．根据不等式组解集的求法解答．求不等式组的解集．
【解答】 解：不等式组 的解集是 ，得 ．
故答案为 ．  16.【答案】【解析】解：解不等式得：，
根据题意得：，
即，
故答案是：．
首先解关于的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有个正整数解，即可得到一个关于的不等式组求得的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．
 17.【答案】【解析】解：，，
．
同角的余角相等，，，
．
在和中，
，
≌，
．
故答案是：．
由，是高，得出后，证≌后求解．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、等．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 18.【答案】或【解析】解：如图，

当，与重合，是的中点，
；
如图，当，

，，
，
是等腰直角三角形，
，
沿所在直线折叠，使点的对应点，
，
，
，
，
，
，
综上所述，若为直角三角形，则的长为或，
故答案为：或．
如图，当，与重合，是的中点，于是得到结论；如图，当，推出是等腰直角三角形，得到，列方程即可得到结论．
本题考查了翻折变换折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．
 19.【答案】解：【解析】作的平分线；
作线段的垂直平分线，两直线相交于点，则点即为所求．
本题需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质即可解决问题．
 20.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 21.【答案】解：，
，
，，
≌，
，
是等腰三角形；
≌，
，
，
，，
是等边三角形，
，
是等边三角形．
，
的面积为．【解析】首先根据条件证明≌，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形；
首先根据≌，再证明，可证明是等边三角形，则可得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明≌．
 22.【答案】证明：过作于，于，于，如图，

在中，的平分线与的外角的平分线相交于点，
，，
，
平分，
即平分的外角；
平分的外角，
，
，
，
在和中

≌，
．【解析】过作于，于，于，根据角平分线性质求出，根据角平分线性质得出即可；
根据求出≌即可．
本题考查了角平分线性质和全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线并进一步求出和≌，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
 23.【答案】解：由题意得，，，
，与的函数关系式分别为，；
当时，
由得，，解得，，
由得，，解得，，
由得    ，解得，，
当时，甲、乙两个印刷厂收费相同，当时，甲印刷厂费用少，当时，乙印刷厂费用少．【解析】根据题意列出，与的函数关系式；
根据题意列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是一次函数的应用，根据题意正确列出一次函数解析式是解题的关键．
 24.【答案】解：设每个大地球仪元，每个小地球仪元，
由题意可得：，
解得，
答：每个大地球仪元，每个小地球仪元；
设购买小地球仪个，则购买大地球仪个，
由题意可得：，
解得，
为整数，
的最小值为，
答：至少要购买个小地球仪．【解析】根据购买个大地球仪和个小地球仪需用元；若购买个大地球仪和个小地球仪需用元，可以列出相应的不等式组，然后求解即可；
根据中的结果和题目中的数据，可以写出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等关系，列出相应的不等式，找出等量关系，列出相应的方程组．
 25.【答案】解：，，
，
，
，，，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
；

如图，过点作，交的延长线于点，

，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
在中，，，
，
．【解析】先判断出，进而得出，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
先判断出，进而判断出，判断出≌，即可判断出，再判断出，即可得出结论．
此题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，判断出≌是解的关键，构造出全等三角形是解的关键．
 26.【答案】解：过点作，交射线于点，画图如下：

证明如下：
，是的平分线，
，
，
，
是等边三角形；
；理由如下：
点落在射线上，过作交于，如图：

由知：是等边三角形，
，，
，
，，
，
≌，
，
，
；
结论：，理由如下：
过点作，交射线于点，如图：

是等边三角形，
，
以为中心，将射线逆时针旋转，
，
，
即，
又，
≌，
，
，
．【解析】过点作，交射线于点证明是等边三角形即可解决问题．
结论：证明≌可得结论．
结论：证明方法类似．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．