2021-2022学年辽宁省本溪市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省本溪市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20分）

1. 若，则下列各式正确的是

A.  B.
C.  D.

2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列因式分解正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

5. 在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移后得线段，若点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为

A.  B.  C.  D.

6. 等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为

A.  B.  C. 或 D. 或

7. 已知不等式的正整数解恰是，，，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，，，平分，点到的距离为，则的长为

A.
B.
C.
D.

9. 如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转后得到，点经过的路径为，则图中阴影部分的面积是

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 若点与点关于原点对称，则______．
12. 已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设______ ．
13. 计算：______．
14. 在中，的垂直平分线交边于点，若，，则______．

15. 如图，将周长为的三角形沿方向平移得到三角形，则四边形的周长为______．
     

16. 如图所示的平面直角坐标系中，是由绕点顺时针旋转得到的，则点的坐标是______．

17. 已知是完全平方式，则 ______ ．
18. 如图，在等腰中，，是斜边的中点，点、分别在直角边、上，且则下列结论中：图形中全等的三角形只有两对；的面积是四边形面积的倍；；；正确的是______填正确的序号．

三、解答题（本大题共7小题，共64分）

19. 解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．
20. 解不等式组．
21. 因式分解：
     
22. 如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为个单位长度，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出将向右平移个单位长度后得到；
    画出将绕原点逆时针方向旋转得到；
    在轴上是否存在一点，满足点到点与点距离之和最小，请直接写出点坐标．

23. 某商店销售每台型电脑的利润为元，销售每台型电脑的利润为元，该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元
    求关于的函数关系式；
    如果型电脑的进货量不超过型电脑的倍，那么该商店购进型型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？
24. 如图，是的平分线，点在射线上，，是直线上的两动点，点在点的右侧，且，作线段的垂直平分线，分别交直线，于点，点，连接，．
    如图，当，两点都在射线上时，则线段与的数量关系是______．
    如图，当，两点都在射线的反向延长线上时，线段，是否还存在中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；

25. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点为线段的中点，点是轴上一点，连接，交轴于点．
    如图，当轴时，则与的数量关系是______；
    如图，若点在轴负半轴上时，判断中的结论是否仍然成立．如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
    点在轴上运动，当是等腰三角形时，请直接写出符合条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、不等式两边都减去，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、不等式两边都除以，不等号的方向不变，即，原变形错误，故此选项符不合题意；
C、不等式两边都乘，再加上，不等号的方向不变，即，原变形正确，故此选项符合题意；
D、不等式两边都乘，不等号的方向改变，即，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质进行解答即可．
本题考查了不等式的性质．解题的关键是熟练掌握不等式的性质：不等式两边都加上或减去一个数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以或除以一个正数，不等号不改变方向；不等式两边都乘以或除以一个负数，不等号改变方向．
 

2.【答案】

【解析】解：既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

3.【答案】

【解析】解：、，不是因式分解，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，不是因式分解，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用提公因式法，公式法进行分解，逐一判断，即可解答；
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

4.【答案】

【解析】解：解不等式得：，
解不等式得：，
故不等式组的解集是：．
故选B．
先解不等式组中的每一个不等式，再把不等式的解集表示在数轴上即可．
此题考查不等式的解集问题，关键是根据不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，在表示解集时“，”要用实心圆点表示；“，”要用空心圆点表示．
 

5.【答案】

【解析】解：点的对应点的坐标为，
平移规律为向右平移个单位，向下平移个单位，
的对应点的坐标为．
故选：．
根据点、的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．
本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

6.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
因为题中没有指明该角是顶角还是底角，则应该分两种情况进行分析．
【解答】
解： 当顶角是 时，它的底角 ；
底角是 ．
所以底角是 或 ．
故选： ．   

7.【答案】

【解析】解：解不等式得到：，
正整数解为，，，
，
解得．
故选：．
先求出不等式的解集，再根据其正整数解列出不等式，解此不等式即可．
本题考查了一元一次不等式的整数解，根据的取值范围正确确定的范围是解题的关键．再解不等式时要根据不等式的基本性质．
 

8.【答案】

【解析】解：过点作于，如图，，
，，
，
，
平分，，，
，
．
故选：．
过点作于，如图，先计算出，利用含度的直角三角形三边的关系得到，接着根据角平分线的性质得到，然后计算即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

9.【答案】

【解析】解：，，
，，
和大小、形状完全相同，
，，
，
，
故选：．
根据勾股定理求出，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理计算．
本题考查的是勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

10.【答案】

【解析】解：，，
，
．
又绕点逆时针旋转后得到，
≌，
．
故选：．
先根据勾股定理得到，再根据扇形的面积公式计算出，由旋转的性质得到≌，于是．
本题主要考查的是旋转的性质、扇形的面积公式，勾股定理的应用，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
．
故答案为．
利用关于原点对称的点的坐标特征得到，，然后利用乘方的意义进行计算．
本题考查了关于原点对称的点的坐标：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点的对称点是也考查了乘方的意义．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了反证法的基本步骤，正确确定 的反面，是解决本题的关键．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【解答】
解： 的反面是 ．
故可以假设 ．
故答案为： ．   

13.【答案】

【解析】解：原式，
故答案为：．
利用提公因式法将原式变为再进行计算即可．
本题考查提公因式法分解因式，掌握提公因式的方法是正确应用的前提．
 

14.【答案】

【解析】解：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质，可求得，继而求得，则可求得的度数，然后由含的直角三角形的性质，求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含的直角三角形的性质．注意求得是关键．
 

15.【答案】

【解析】解：根据题意，将周长为的沿向右平移得到，
，，；
又，
四边形的周长．
故答案为：．
根据平移的基本性质，得出四边形的周长即可得出答案．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到，是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：如图，点即为所求，．
故答案为：．

对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变化旋转变换，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点是旋转中心．
 

17.【答案】或

【解析】

【分析】
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定 的值．
【解答】
解： ，
，
解得 或 ．
故答案为： 或 ．   

18.【答案】

【解析】解：图中全等的三角形有对，分别为≌，≌，≌，理由如下：
在等腰中，，，，
是斜边的中点，
，，，
在和中，
，
≌，
，，
，
在与中，
，
≌，
同理可证：≌，
故选项不符合题意；
≌，
的面积的面积，
四边形的面积的面积，
是斜边的中点，
的面积的面积的倍，
的面积是四边形面积的倍，
故选项符合题意；
≌，
，
，
，，
，
，
故选项符合题意；
≌，≌，
，，
又，
，
故选项符合题意；
综上，正确的有，
故答案为：．
根据三角形全等的判定可证≌，≌，≌，可判断选项；根据≌，可知四边形面积的面积，可判断选项；根据≌，可知，即可判断选项；根据≌，≌，可知，，再根据勾股定理即可判断选项．
本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：，
．

【解析】不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，求出解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

20.【答案】解：由，得：，
由，得：，
不等式组的解集为．

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

21.【答案】解：原式；
原式．

【解析】直接提取公因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，找准公因式是解决此题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求作．

如图，即为所求作．

作点关于轴的对称点，连接交轴于点，

，，
经过原点，此时点与重合，
．

【解析】利用点平移的坐标变换规律分别作出，，的对应点，，即可；
分别作出，，的对应点，，即可；
作点关于轴的对称点，连接交轴于点，从而得到点坐标．
本题考查作图平移变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，旋转变换的性质，也考查了最短路径问题．
 

23.【答案】解：由题意可得，
，
即与的函数关系式是；
由题意可得，
，解得，
，，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时，，
即商店购进型台、型电脑台，才能使销售总利润最大．

【解析】根据题意可以求得与的函数关系式，从而可以解答本题；
根据题意和型电脑的进货量不超过型电脑的倍，可以求得的取值范围，再根据一次函数的性质即可解答本题．
本题考查一次函数的应用、解一元一次不等式，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
 

24.【答案】

【解析】解：．
理由：如图中，连接．

垂直平分，
，
，
平分，
，
，
≌，
，
故答案为：．

存在，
理由：如图中，连接．

垂直平分，
，
，
平分，，
，
，
，
≌，
．
连接，只要证明≌即可解决问题；
存在．证明方法类似．
本题考查了线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

25.【答案】

【解析】解：轴，
，
点为线段的中点，
，
同理，，
，
故答案为：；
中的结论成立，
理由如下：如图，过点作轴于，轴于，
则四边形为矩形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
在中，，
则，
，
当点与点重合时，，此时点的坐标为，
当时时，，此时点的坐标为，
当，点在上时，点的坐标为，
当，点在的延长线上时，点的坐标为，
综上所述，当是等腰三角形时，点的坐标为，，，．
根据三角形中位线定理分别求出、，得到答案；
过点作轴于，轴于，证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
分四种情况、根据等腰三角形的概念解答即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．