辽宁省锦州市黑山县2021-2022学年八年级下学期期中数学试卷(含解析)

2021-2022学年辽宁省锦州市黑山县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共16分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图天平右盘中的每个砝码的质量都是，则物体的质量的取值范围在数轴上可表示为(    )

A.  B.
C.  D.

4. 不等式的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.
C.  D.

5. 如图，在已知的中，按以下步骤作图：
   分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；
   作直线交于点，连接．
   若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 直线：与直线：在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解为(    )

A.
B.
C.
D. 无法确定

7. 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语电子词典．他现在已存储元钱，计划从现在起以后每个月节省元钱，直到他至少存储元钱．设个月后他至少存储元钱．则应满足的不等式是(    )

A.  B.
C.  D.

8. 如图，将一个含角的直角三角板绕点旋转，得点，，，在同一条直线上，则旋转角的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

9. 的倍与的差大于表示为：______．
10. 已知：在中，，求证：若用反证法来证明这个结论，可以假设______ ．
11. 如图，在中，于请你再添加一个条件，就可以确定是等腰三角形．你添加的条件是______．

12. 下列命题中，其逆命题成立的是______只填写序号
    同旁内角互补，两直线平行；
    如果两个角是直角，那么它们相等；
    如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
    如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．
13. 若不等式的解集是，则的取值范围是______ ．
14. 如图，在中，，，，将沿射线方向平移个单位后得到，连接，则的长为______ ．
15. 如图，点的坐标是，若点在轴上，且是等腰三角形，则点的坐标可以是；；中的______填序号

16. 如图，已知中，，，垂直平分交于，垂足为，若，则______．

三、解答题（本大题共8小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解不等式：
    ，并把解集在数轴上表示出来．
    解不等式：，并写出其非负整数解．
18. 解不等式组：，并写出其整数解．
19. 在抗击新冠肺炎疫情期间，某社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民使用第一次分别购买酒精和消毒液若干瓶，已知酒精每瓶元，消毒液每瓶元，共花费了元；第二次又分别购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分别下降了和，只花费了元．
    求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？
    若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的倍，现有购买资金元，则最多能购买消毒液多少瓶？
20. 如图，，平分交于，于，的延长线交的延长线于求证：．

21. 在平面直角坐标系中，的位置如图所示每个小方格都是边长为个单位长度的正方形．
    将沿轴方向向左平移个单位，画出平移后得到的；
    将绕着点顺时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出点、的坐标．

22. 已知：如图，在中，，沿过点的一条直线折叠这个三角形，使点与边上的一点重合．点恰为的中点，，求的周长．

23. 如图，将等腰直角三角形的直角顶点置于直线上，且过，两点分别作直线的垂线，垂足分别为，．
    
    请你在图中找出一对全等三角形，并进行证明．
    如果将直线绕点进行旋转，其它条件不变，中的两个三角形还全等吗？请在备用图上画出图形并用斜线勾画出全等的两个三角形．
24. 数学课上，李老师出示了如下的题目．
    在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且，如图试确定线段与的大小关系，并说明理由．
    小明与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
    特殊情况，探索结论
    当点为的中点时，如图，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： ______填“”，“”或“”．
    一般情况，证明结论
    如图，过点作，交于点．
    请你继续完成对以上问题中所填写结论的证明
    证明：
     

答案和解析

1. 

解：、不等式两边都减去，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误；
B、不等式两边都加上，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误；
C、不等式两边都加上，得，恒成立，故本选项正确；
D、不等式两边都减去，得，所以当时不等式不成立，故本选项错误．
故选：．
根据不等式的基本性质对各选项变形后再作出判断．
本题主要考查不等式的基本性质的运用：不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变，熟练掌握性质是解题的关键．
 

2. 

解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3. 

解：由图示得，，
故选：．
根据图示，可得不等式组的解集，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，注意，不包括点、，用空心点表示．
 

4. 

解：移项得：，
系数化为得：，
即不等式的解集为：，
不等式的解集在数轴上表示如下：

故选A．  

5. 

解：，，
，
根据题意得：是线段的垂直平分线，
，
，
，
，
故选D．  

6. 

解：能使函数的图象在函数的上边时的自变量的取值范围是．
故关于的不等式的解集为：．
故选：．
求关于的不等式的解集就是求：能使函数的图象在函数的上边的自变量的取值范围．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．利用数形结合是解题的关键．
 

7. 

解：设个月后他至少有元，
根据题意得：．
故选：．
设个月后他至少有元，根据总钱数每月节省的钱数月份数结合总钱数不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

8. 

解：旋转角是．
故选：．
根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
本题考查的是旋转的性质，掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
 

9. 

解：的倍为，与的差为：，
的倍与的差大于表示为：．
故答案为：．
先求倍数，然后求差，最后大于即可．
本题考查列代数式，列代数式的关键是正确理解文字语言中的关键词，比如该题中的“倍”、“差”、“小于”等，从而明确其中的运算关系，正确地列出代数式．
 

10. 

解：的反面是．
故可以假设．
故答案为：．  

11. 

解：添加的条件是．
，，是公共边，
≌，
．
是等腰三角形．
证明三角全等的方法有很多，所以可添加的条件也有很多，答案不唯一．
故填．
已知给出了两线段垂直，只要有一条被平分，则有等腰三角形出现，于是答案可得．
本题考查了等腰三角形的判定及线段的垂直平分线的性质；本题是一道开放题，答案不唯一，只要学生写的符合要求即可．
 

12. 

解：两直线平行，同旁内角互补，正确；
如果两个角相等，那么它们是直角，错误；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，错误；
如果一个三角形是直角三角形，不一定是斜边，故不一定满足：，故逆命题不一定正确，
故答案为．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再分析逆命题是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题，难度适中．
 

13. 

解：根据题意得，
．
故答案为．
因为系数化为时不等号改变了方向，所以系数为负数，得到不等式求解．
此题考查不等式的性质：不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向发生改变．
 

14. 

解：沿射线方向平移个单位后得到，
，，，
是等边三角形，
，
故答案为．  

15. 

解：点的坐标是，
根据勾股定理可得：，
若，可得：，
若可得：，
若，可得：或，
，，，，
故答案为：．
先根据勾股定理求出的长，再根据；；分别算出点坐标即可．
此题主要考查了坐标与图形的性质，等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定：有两边相等的三角形是等腰三角形，再分情况讨论．
 

16. 

解：连接，
中，，，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
首先连接，由垂直平分，可得，由中，，，可求得，继而求得与的长，则可求得的长，继而求得答案．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及含角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.解：，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：

，
，
，
，
，
，
该不等式的非负整数解，，． 

按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答；
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
 

18.解：
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为：，． 

本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，属于基础题．
求出每个不等式的解，根据找不等式组解集的规律找出即可．
 

19.解：设每次购买酒精瓶，消毒液瓶，
依题意得：，
解得：．
答：每次购买酒精瓶，消毒液瓶．
设购买消毒液瓶，则购买酒精瓶，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以取的最大值．
答：最多能购买消毒液瓶． 

设每次购买酒精瓶，消毒液瓶，根据总价单价数量，结合两次购买所花费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买消毒液瓶，则购买酒精瓶，根据总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.证明：平分，，，
，
，
，
，
，
，，
≌，
． 

根据角平分线的性质可得，然后利用证明≌，从而利用全等三角形的性质即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解题的关键．
 

21.解：如图，即为所求；
如图，即为所求，点，．
 

利用点平移的规律写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出点、的对应点、，从而得到，再写出点、的坐标．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

22.解：沿过点的一条直线折叠这个三角形，使点与边上的一点重合．
，，，
，
，
，
点恰为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的周长． 

根据折叠的性质得到，，，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
 

23.解：结论：≌．
理由：，，
，
，，
，
在和中，
，
≌；

结论成立．图形如图所示：
 

结论：≌证明见解析部分；
根据要求，画出图形即可．
本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
 

24. 

解：结论：．
理由：如图中，过点作，交于点．


是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：；

证明：如图中，在等边中，，，
，
，且，
，
，即．
，
，，
，，
，
≌，
，
．
结论：如图中，过点作，交于点证明，即可解决问题；
结论：作交于证明≌，推出，推出．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质．等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．