人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）课后练习题

函数专题：函数不等式恒成立与能成立

一、单变量不等式恒成立问题

一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

1、，

2、，

3、，

4、，

二、双变量不等式与等式

一般地，已知函数，

1、不等关系

（1）若，，总有成立，故；

（2）若，，有成立，故；

（3）若，，有成立，故；

（4）若，，有成立，故．

2、相等关系

记的值域为A, 的值域为B,

（1）若，，有成立，则有；

（2）若，，有成立，则有；

（3）若，，有成立，故；

题型一 单变量不等式恒成立问题

【例1】已知函数为奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．

【变式1-1】已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【变式1-2】已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.

【变式1-3】已知 ，其中为常数

（1）当 时，求的值；

（2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；

【变式1-4】已知函数.

（1）当时，求的定义域；

（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.

题型二 单变量不等式能成立问题

【例2】定义在上的奇函数，已知当时（）．

（1）求在上的解析式；

（2）若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围．

【变式2-1】已知函数的定义域为．

（1）求的定义域；

（2）对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．

【变式2-2】已知函数，其中

（1）若的最小值为，求的值；

（2）若存在，使成立，求的取值范围．

【变式2-3】已知函数.

（1）当时，试判断并证明其单调性.

（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.

【变式2-4】已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0．

（1）求a、b的值；

（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围．

题型三 任意-任意型不等式成立问题

【例3】已知，若对任意，，使得，则实数m的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式3-1】已知定义在区间上的两个函数和，其中，.

（1）求函数的最小值；

（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.

【变式3-2】已知函数，.

（1）求的值；

（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）

（3）若函数，且对，，都有成立，求实数的取值范围.

【变式3-3】已知函数，且的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.

题型四 任意-存在型不等式成立问题

【例4】已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________．

【变式4-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．

【变式4-2】已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．

（1）求实数b的值；

（2）当a＝2时，若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．

【变式4-3】已知函数为偶函数.

（1）求实数a的值；

（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断：

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.

题型五 存在-存在型不等式成立问题

【例5】已知函数，，若存在，，使得，则实数的取值范围是          .

【变式5-1】已知函数，，若，，使得成立，求正实数的取值范围．

【变式5-2】已知，，对于，，成立．

【变式5-3】已知函数是上的偶函数，．

（1）求的值；

（2）若存在，，，使得成立，求的取值范围．

题型六 任意-存在型等式成立问题

【例6】已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-1】已知函数为R上的奇函数．

（1）求的值，并用定义证明函数的单调性；

（2）求不等式的解集；

（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．

【变式6-2】已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.

【变式6-3】已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式6-4】定义在R上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数a的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．