拓展4-2 函数不等式恒成立与能成立问题6种常见考法归类-2024-2025学年高一数学高频考点专题练（人教A版必修第一册）

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1、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解：
1、∀x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)min
2、∀x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)max
3、∃x∈D，m≤f(x)⇔m≤f(x)max
4、∃x∈D，m≥f(x)⇔m≥f(x)min
2、双变量不等式与等式
一般地，已知函数y=f(x),x∈[a,b]，y=g(x),x∈[c,d]
（1）不等关系
(1)若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，总有f(x1)(2)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)(3)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)(4)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)（2）相等关系
记y=f(x),x∈[a,b]的值域为A,y=g(x),x∈[c,d]的值域为B,
(1)若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊆B；
(2)若∃x1∈[a,b]，∀x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，则有A⊇B；
(3)若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c,d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠∅；
考点一单变量不等式恒成立问题
考点二单变量不等式能成立问题
考点三任意-任意型不等式成立问题
考点四任意-存在型不等式成立问题
考点五存在-存在型不等式成立问题
考点六任意-存在型等式成立问题
考点一单变量不等式恒成立问题
1．（2023上·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考期中）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为．
【答案】
【分析】令，则不等式在区间上恒成立，所以，再根据二次函数最值得求法，求解即可.
【详解】令，由题可得不等式在区间上恒成立，
所以，令，则，
所以.
故答案为：
2．（2023上·上海金山·高一校考期中）对任意实数x，若不等式恒成立，则实数a的取值范围 .
【答案】
【分析】根据题意，设，分类讨论，求得函数的最小值为，进而求得实数的范围，得到答案.
【详解】设函数，
当时，可得，此时为减函数，可得；
当时，可得；
当时，可得，此时为增函数，可得，
所以函数的最小值为，
要使得不等式恒成立，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
3．（2023上·浙江绍兴·高一浙江省上虞中学校考期中）已知函数，若对于都有成立，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用一元二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
【详解】解：由题意，对于都有成立，
∴，解得：，
即实数的取值范围是.
故选：D.
4．（2023上·浙江嘉兴·高一校考期中）已知函数．
(1)若，求不等式的解集；
(2)已知，且在上恒成立，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，求解即可得出答案；
（2）函数，可得二次函数图象的开口向上，且对称轴为，题意转化为，利用二次函数的图象与性质，即可得出答案.
【详解】（1）解：当时，，
所以，即，解得或，
所以不等式的解集为：；
（2）因为，且在上恒成立，
则二次函数图象的开口向上，且对称轴为，
所以在上单调递增，则，
又在上恒成立，转化为，
所以，解得，
故实数的取值范围为.
5．（2023上·江苏徐州·高一统考期中）已知函数
(1)若的解集为，求实数，的值；
(2)对于，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据不等式的解集得到，解得答案.
（2）变换得到，利用均值不等式计算最值即可.
【详解】（1），即，其解集为，
则，解得，；
（2），，即，
，当且仅当，即时等号成立，故，
即.
6．（2023上·山东·高一统考期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】画出函数图象，从而得到，求出方程的根，数形结合得到答案.
【详解】∵，
，
当时，，故
，
当时，，
当，时，
，
当，时，
，
依次类推，画出函数图象如下：

令，解得，，
所以要使对任意，都有，则，
.
故答案为：
7．（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知函数为奇函数．
(1)判断函数的单调性，并加以证明．
(2)若不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）先化简函数解析式，利用奇函数的定义求得的值，再判断单调性利用定义证明；
（2）根据的奇偶性和单调性解抽象不等式，转化为二次型不等式恒成立问题，再用分离参数法可求的取值范围.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
因为为奇函数，所以，
所以，
则
所以；
函数，在上单调递增.
下面用单调性定义证明：
任取，且，则
因为在上单调递增，且，所以，
又，所以，
所以函数在上单调递增.
（2）因为为奇函数，所以，
由得，
即，
由（1）可知,函数在上单调递增，
所以，
即不等式对一切恒成立,
则，
又，所以当时，取最大值，最大值为，
所以要使恒成立，则，
所以的取值范围为.
8．（2023上·广东惠州·高一校考期中）已知函数．
(1)解关于x的方程；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用指数函数的性质，直接解方程即可得解；
（2）将问题转化为恒成立，再利用指数函数的性质与二次函数的最值即可得解.
【详解】（1）根据题意得，，即，
解得或舍去，
所以；
（2）不等式对任意恒成立，即恒成立，
当时，有，
所以，
则，
所以实数的取值范围为．
9．（2023上·广西玉林·高一统考期中）已知是定义在上的函数，且，对任意的a，，都有，当时，都有成立．
(1)解不等式；
(2)若对任意的，恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）解法1：根据函数的单调性，结合，即可求解；解法2：根据函数的奇偶性，结合单调性求解.
（2）根据恒成立将问题转化为对任意的恒成立，构造函数，利用二次函数的性质，结合分类讨论即可求解.
【详解】（1）解法1：令，，，故，
由，根据题意得，．
又对任意的a，，当时，都有成立，
所以函数是区间上的增函数，
所以即，∴，
故不等式解集是．
解法2：已知是定义在上的函数，所以定义域关于原点对称，
令，，，故，
令，，，
即，即，所以函数是上的奇函数．
又对任意的a，，当时，都有成立，
所以函数是区间上的增函数，
∵，，即，
∴，∴，∴，
故不等式解集是．
（2）已知对任意的，恒成立，所以，
由（1）知函数是在区间上单调递增，∵，∴，，
即，对任意的恒成立．
设，即，
已知函数图象开口向上，对称轴，
当，即时，，解得，所以
当，即时，，
即整理得，
解得，所以；
当，即时，，解得，
所以
综上所述，实数m的取值范围是．
10．（2023上·河北石家庄·高一石家庄二中校考期中）已知二次函数满足，且.
(1)求的解析式；
(2)当时，函数的图象恒在函数的图象下方，试确定实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，依题意可得且，求出、的值，即可得解；
（2）依题意可得对任意的恒成立，令，，结合二次函数的性质求出，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）设，
∵，∴，又，
∴，
∴，
∴，∴，∴；
（2）当时，的图象恒在图象下方，
∴时，恒成立，即恒成立，
令，，对称轴为，故函数在上单调递减，
所以当时，，
故只要，即，所以实数的范围.
考点二单变量不等式能成立问题
11．（2023上·浙江·高一校联考期中）若关于的不等式在区间内有解，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】不等式在区间内有解，转化为，求出的最大值可得答案.
【详解】因为，所以由不等式得，
不等式在区间内有解，
只需，
因为在上单调递增，
所以的最大值为，可得，
解得.
故选：D.
12．（2023上·四川遂宁·高一射洪中学校考期中）已知函数，若，使得有解，则实数的取值范围为．
【答案】
【分析】根据题意先构造，可得为奇函数，
且在上单调递增，即可由得，
将看作为关于的一次函数，结合，
有解，根据一次函数的单调性分类可得的取值范围.
【详解】由得，
设则
故为奇函数，
由得，
即，
当时，，
根据在单调递增，在单调递增，
故在单调递增，又为奇函数，
故在上单调递增，
故由得即，
由题意使得有解，
当时，，不符合题意；
当即时，，解得或，故；
当即时，，解得或，故，
综上可得实数的取值范围为，
故答案为：
13．（2023上·山东菏泽·高一统考期中）已知函数若使得成立，则实数t的取值范围是．
【答案】
【分析】利用奇偶性、单调性定义判断是在定义域上递增的奇函数，利用奇函数及单调性，将问题化为使能成立，进而求范围.
【详解】由，则，则，
由，则，则，且，
所以为奇函数，
令，则
，而，
所以，即在上递增，
由奇函数的对称性知：在上递增，且在处连续，
综上，是在定义域上递增的奇函数，
由，
所以使能成立，即能成立，
故，即实数t的取值范围是.
故答案为：
14．（2023上·浙江宁波·高一校联考期中）已知二次函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若存在，使得不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，转换成二次函数求值域问题，求解即可..
（2）分离参数，转换成不等式能成立问题，求解即可.
【详解】（1）根据题意，函数，
∵，则，又由，
当时，有最小值4，
当时，有最大值13，
则有，即函数的值域为
（2）整理得
∵，
∴
令，设，且，
则，
因为，，
所以，即，
所以在单调递增，
所以当时，，
∴.
15．（2023上·辽宁·高一沈阳市第五十六中学校联考期中）已知定义域在R上的函数满足：，且当时，．
(1)证明函数在定义域上的单调性；
(2)证明函数在定义域上奇偶性；
(3)若，使得关于的不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)单调递减，证明过程见解析
(2)奇函数，证明过程见解析
(3)
【分析】（1）先令，得到，再令且，得到，得到答案；
（2）令得，得到答案；
（3）根据函数的奇偶性和单调性变形为在上有解，根据单调性求出的值域，从而求出实数的取值范围.
【详解】（1）在R上单调递减，理由如下：
中，令得，
解得，
故，即，
令且，
则，故在R上单调递减；
（2）为奇函数，理由如下：
因为，令得，
故为奇函数；
（3）因为，使得关于的不等式成立，
又由（2）知为奇函数，
所以，
又由（1）知在R上单调递减，
故在上有解，
即在上有解，
其中在上单调递增，
故，故只需，
实数的取值范围是
考点三任意-任意型不等式成立问题
16．（2023上·广东深圳·高一校考期中）已知函数，若对，都有，则的取值范围为
【答案】
【分析】由题意将问题转化为在上，再分和两种情况，结合对数函数的单调性，可求出的取值范围.
【详解】当时，在上递增，
因为对，都有，
所以，所以，
所以，解得；
当时，在上递减，
因为对，都有，
所以，所以，
所以，解得；
综上，或，
即的取值范围为，
故答案为：.
17．（2023上·福建厦门·高一福建省同安第一中学校考期中）已知，，其中，.
(1)当时，解不等式.
(2)设，若，，恒有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，解得答案.
（2）构造，，转化为，确定函数解析式，根据单调性计算最值得到，换元解不等式得到答案.
【详解】（1），所以，，
即，所以解集为，
（2）设，，依题意可知，
因为，
则，
当时，在上单调递增，，
设，则，
当时，单调递增，，在上单调递增，
故在上单调递增，
当时，单调递减，，在上单调递减，
故在上单调递增，
综上所述：在上单调递增，可得在上单调递减，
所以，
，
且在上单调递增，则在上单调递增，
可得在上单调递增，所以，
因此恒成立，
设，即，则，解得，
即，解得，
结合可知，可得，所以的取值范围.
18．（2023上·浙江·高一浙江省江山中学校联考期中）已知函数，其中．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若对任意的，且，都有成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）先化简的解析式，依据二次函数单调性即可求得的单调区间；
（2）构造新函数，将题给条件转化为在上单调递增，按a分类讨论即可求得实数的取值范围．
【详解】（1）当时，
则
又图像开口向上，对称轴为，单调递增，
的单调递增区间为和，单调递减区间为
（2）对任意的，且，都有成立
不妨令，则恒成立，
即恒成立，
令，，
则当，时，，
故在上单调递增，
又
当时，
图像开口向上，对称轴为
①若，即时，
当时，在上单调递增，
符合题意；
②若，即时，
当时，在上单调递增，
符合题意；
③若，即时，
（1）若，即时，
当时，，
在单调递减，在单调递增，不符合题意；
（2）若，即时，
当即时，
在上单调递增，此时．
综上所述：实数的取值范围为
【点睛】思路点睛：与分段函数有关的函数的单调性，应分别讨论各段的单调性，如果涉及到二次函数的单调性，则需讨论对称轴与范围端点之间的大小关系.
19．（2023上·福建福州·高一福建师大附中校考期中）已知函数．
(1)时，判断的奇偶性，并证明；
(2)若对任意，总有成立，其中，求的取值范围．
【答案】(1)奇函数，证明见详解
(2)
【分析】（1）由函数奇偶性定义可判断；
（2）分析可知当时，，对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，，
，
函数是奇函数.
（2）题意等价于，又，
任取，，且，则，
，
当，即时，有，即，
此时函数在R上单调递增，
所以，当时，，，
，解得，此时；
当，即时，，则有，满足题意；
当，即时，有，即，
此时函数在R上单调递减，
所以，当时，，，
，解得，此时；
综上，实数的取值范围为.
20．（2023上·山西临汾·高一统考期中）已知定义在上的偶函数与奇函数满足．
(1)求，的解析式；
(2)已知函数，若对于任意，都有，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】（1）利函数奇偶性定义即可求得，的解析式；
（2）先求得的表达式，再将转化为，按a分类讨论求得的最大值与最小值，进而求得实数的取值范围．
【详解】（1）由题意得，
则，
.
（2）．
令，，则
记，
由题意得当时，．
①当时，易知在上单调递增，
故，，
则，
解之得，又，．
②当时，对称轴，
在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，
，，
，符合题意；
（ii）当，即时，
，
，符合题意；
（iii）当，即时，
，，
，
解得，又，；
综上，a的取值范围是．
21．（2023上·安徽合肥·高一合肥一中校考期中）已知函数是奇函数，且．
(1)判断并根据定义证明函数在，上的单调性；
(2)设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，证明见解析
(2)
【分析】（1）由，，联立求解；然后利用函数的单调性定义证明；
（2）由，令，得到，从而得到，，根据对，都有恒成立，由求解.
【详解】（1）解：因为，且是奇幽数，所以，
所以，解得，
所以．
检验，由解析式可知，定义域，关于原点对称，
，所以是奇函数，满足要求；
函数在上单调递减，在上单调递增，
证明如下：任取，，且，
则，
因为，，且，所以，，所以，
所以，即，
所以函数在上单调递减；
同理可证明函数在上单调递增．
（2）由题意知，
令，，
由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为函数的对称轴方程为，
所以函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对，都有恒成立，
所以，即，
解得，
又因为，所以t的取值范围是．
22．（2023上·河北石家庄·高一鹿泉区第一中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．
(1)确定函数的解析式，并说明其在的单调性（不需要证明）；
(2)解关于的不等式；
(3)若对任意的，都有恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)函数的解析式为；在上是增函数．
(2)．
(3)．
【分析】（1）根据奇函数的性质和得到的解析式，然后根据解析式判断单调性即可；
（2）根据奇偶性和单调性解不等式即可；
（3）将对任意的，都有转化为在区间上，，然后根据单调性得到最值，最后解不等式即可.
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
则，即有，且，则，解得，
经检验符合题意，则函数的解析式为；
函数在上是增函数．
（2）由于奇函数在上是增函数，
则不等式，即为，
即有，解得，则有，
即等式的解集为．
（3）因为对任意的，都有，
等价于在区间上，，
又在区间（）是增函数，
得，，
从而由，
解得或．
所以的取值范围为．
考点四任意-存在型不等式成立问题
23．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.
【详解】由得，，当时，，
∴在单调递减，∴是函数的最小值，
当时，为增函数，∴是函数的最小值，
又∵，都，使得，
可得在的最小值不小于在的最小值，
即，解得，
故选：A．
24．（2023上·陕西西安·高一高新一中校考期中）已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】对任意，都存在，使得，只需即可.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
在R上单调递减，所以当时，.
因为对任意，都存在，使得，
所以只需即可，
即，解得，即m的取值范围是.
故答案为：
25．（2023上·河南郑州·高一郑州市第四十七高级中学校考期末）已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的范围为 .
【答案】/.
【分析】由题意可得.后通过讨论a可确定最大值，通过单调性可确定最大值，即可得答案.
【详解】任意的，总存在，使得，
等价于，，
则在上单调递减，则.
当，，因，则满足题意；
当，在上单调递增，则，
故；
当，在上单调递减，则，
故.
综上可得实数的范围为.
故答案为：.
26．（2023上·辽宁大连·高一校联考期中）已知定义在R上的函数
(1)判断函数的奇偶性；
(2)解不等式；
(3)设函数，若，，使得，求实数m的取值范围．
【答案】(1)是奇函数
(2)或
(3)
【分析】（1）根据奇函数的定义分析证明；
（2）根据单调性的性质可得是R上减函数，利用奇偶性结合单调性分析求解；
（3）根据指数函数性质结合不等式运算可得的值域，由恒成立问题可得，换元设，结合二次函数的最值运算求解.
【详解】（1）因为定义域是R，且，
所以是奇函数.
（2）设，则，
因为在R上递增，且在上递减，
所以是R上减函数，
又因为在R上是奇函数，
则可转化为，
且在R是减函数，则，整理得，
解得或，可得或，
所以不等式的解集为或.
（3）由题意可得：
因为，即，则，可得，
所以的值域是，
若，，使成立，只需，
设，，
则
可知在上单调递增，
可知：，即时，取到最大值为，
所以，解得，
所以实数m的取值范围.
27．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知函数，.
(1)若集合为单元素集，求实数的值；
(2)在（1）的条件下，对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知，关于的方程有两个相等的实根，可得出，即可解得实数的值；
（2）分析可知，存在，使得，求出函数在上的最小值，结合参变量分离法可得出，然后利用单调性求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由题意可知，集合为单元素集，且，
由，其中，整理可得，
所以，关于的方程有两个相等的实根，
所以，，解得，合乎题意，故.
（2）解：当时，，
因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数，
当时，，
对任意的，总存在，使成立，
则存在，使得，则，可得，
所以，，
令，其中，
因为函数、在上均为减函数，故函数在上为减函数，
当时，，故，
因此，实数的取值范围是.
28．（2023上·青海海南·高一海南藏族自治州高级中学校联考期中）已知函数，．
(1)若是关于的方程的一个实数根，求函数的值域；
(2)若对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入方程即可求得，利用二次函数性质即可得值域为；
（2）根据题意只需满足即可，对参数进行分类讨论即可求得实数的取值范围是.
【详解】（1）由是关于的方程的一个实数根，可得,
即，解得；
所以，由二次函数性质可得；
即可得函数的值域为；
（2）根据题意可知，需满足；
当时，由二次函数性质可知；
当时，若时，；
可得，解得，所以；
当时，，
可得，解得或，所以；
当时，，
可得，解得，所以；
综上可得实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：对于求解双变量不等式恒（能）成立问题时，关键在于将不等式转化为求解函数最大值或最小值的问题，再通过解不等式即可求出实数的取值范围．
29．（2023上·江苏南通·高一统考期中）已知函数为偶函数，且时，.
(1)求时，的解析式；
(2)若函数，对，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)或.
【分析】（1）由函数的奇偶性求出函数在上的解析式；
（2）换元法求出时函数的最值，结合函数的奇偶性得到在上的值域为，结合题目条件得到的值域是的值域的子集，分和，两种情况，结合的单调性得到相应的值域，从而得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，
所以，
因为为偶函数，所以，
则，；
（2）因为为偶函数，所以在和上的值域相同，
当时，，
令，则，，
所以函数化为，，
所以时，；时，，
即在上的值域为.
又对，，使得成立，
所以的值域是的值域的子集，
①当时，在上的值域为
则，解得
②当时，在上的值域为，
则，解得
综上所述，实数的取值范围为或.
30．（2023上·江苏宿迁·高一江苏省泗阳中学校考期中）已知函数．
(1)若方程的两根分别是，满足，求实数的值；
(2)若对，都存在，使得对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用韦达定理代入计算即可；
（2）将问题转化为对任意恒成立，求出得到关于的恒成立问题，继续转化为最值求解即可.
【详解】（1）若方程的两根分别是，得，得
又由韦达定理得，
因为
所以
所以，
解得；
（2）若对，都存在，使得对任意恒成立，
则对任意恒成立，
对于，，，
对称轴，
则，
对于，，
又，当且仅当时等号成立，
所以，
所以在时恒成立，
所以
又，当取最小值，且最小值为
所以，
解得.
31．（2023上·浙江温州·高一校联考期中）已知函数
(1)若在上单调递增，求m的取值范围．
(2)若，对任意的总存在使得成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析复合函数的单调性，由同增异减可求出.
（2）若，对任意的总存在使得成立，只需，再分别求出符合定义域条件的最大值比较即可.
【详解】（1）因为，设，
则，
所以函数在上单调递减，
函数开口向上，对称轴，在单调递减，在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以，
所以，
所以的取值范围为
（2）因为，对任意的总存在使得成立，
所以只需，
由（1）可知在单调递增，在上单调递减，
当时，，带入解析式可得
，
而开口向上，对称轴，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
，
所以，解得，舍去；
当时，在上单调递增，
所以解得，
因为，取交集，
所以
当时，
若，即时，
所以，解得，与假设不符合，舍去；
若，即时，
所以，解得，不符合，故舍去，
若，即时，
所以，解得与假设不符，故舍去；
综上所述，的取值范围为
32．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）已知函.
(1)求函数在的最小值；
(2)对于任意，总存在，使得恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可得，分类讨论求出在上的最小值即可得解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以在的最小值为2；
（2）因为对于任意，总存在，使得恒成立，
所以，
由（1）可得在的最小值为2，所以，
的对称轴为：，
①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
，即，解得，舍去；
②若，即，函数在上单调递增，则，
，解得，
此时；
③若，即，函数在上单调递减，则，
所以，该不等式无解，
综上所述，的取值范围是.
考点五存在-存在型不等式成立问题
33．（2023上·山东青岛·高一统考期中）已知函数．
(1)若，对任意的，都有成立，求实数k的最小值；
(2)存在不相等的实数，使得成立，求正实数a的取值范围．
【答案】(1)4
(2)
【分析】（1）转化为成立即可，再利用时的单调性可得答案；
（2）转化为在不单调即可，再分、讨论可得答案.
【详解】（1）由题意可得，只需满足成立即可，
又因为，当时，，
所以在上单调递减，
所以，，
可得，
所以实数k的最小值为4；
（2）由题意可得，若存在实数，使得成立，
则只需满足在不单调即可，
又因为，
若，则在上单调递减，不合题意，
若，则在上单调递减，在上单调递增，符合题意，
所以实数a的取值范围是.
34．（2023上·河北·高一校联考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断的单调性，并利用定义证明你的结论；
(3)设函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)在上是增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）由，，解方程求出，即可求出的解析式；
（2）在上是增函数，由单调性的定义证明即可；
（3）由题意可得存在，使得成立，求出代入分离常数可得且，分别求出和，即可得出答案.
【详解】（1）由在上是奇函数，所以，则，
则，由，得，
所以，经检验，符合题意.
（2）在上是增函数，证明如下：
设，且，则，
又，所以，因为，，所以，
所以，则，故在上是增函数.
（3）存在，使得成立，
即存在，使得成立，
即，
因为，
所以存在，使得成立，
存在，使得，
即，且，
即且，
当时，，，即且，
解得.
35．（2023上·广东深圳·高一深圳市高级中学校考期中）已知函数的单调增区间是，且图形经过点
(1)求的解析式；
(2)令函数，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由二次函数的性质可得，再将点代入，求出参数即可求解.
（2），利用对勾函数的单调性求出的最大值、最小值即可求解.
【详解】（1）由的单调增区间是，函数图象的对称轴，得，
解得，即，由函数图象过点，得，解得，
所以的解析式.
（2）当时，由（1）知，，
函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，，
因此，，有，
依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
36．（2023上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）设函数（a，b为常数且），且的最小值为0，当时，，且为R上的奇函数．
(1)求函数的解析式；
(2)，有成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由结合二次函数的性质得出，进而由奇偶性得出函数的解析式；
（2）可化为，即，再由对勾函数的单调性讨论即可.
【详解】（1）因为且的最小值为0，所以，解得
即.
当时，，
即.
故
（2）因为，所以.
所以可化为.
即.
令，构造函数，由对勾函数的单调性可知
该函数在上单调递减，在上单调递增，.
即的最小值为.
当时，函数在上单调递增，此时，不合题意；
当时，函数在上单调递增，此时，不合题意；
当时，令，构造函数，
①若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递增，即，，解得，不合题意；
②若，由对勾函数的单调性可知，该函数在上单调递减，
在上单调递增.
（i）当，即时，，
由，解得，不合题意；
（ii）当，即时，，
由，解得，即，满足题意；
③若，该函数在上单调递减，即，由，解得，即满足题意；
综上，
【点睛】关键点睛：解决问题二时，关键在于利用对勾函数的单调性得出，同时也将不等式的能成立问题转化为函数的最值问题进行解决.
考点六任意-存在型等式成立问题
37．（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）已知函数，，若对任意，存在，使得，则的取值范围．
【答案】
【分析】由题意可判断，由此求出，可得相应不等式恒成立，转化为函数最值问题，求解即可.
【详解】由题意知；
当时，，
故需同时满足以下两点：
①对时，
∴恒成立，
由于当时，为增函数，
∴；
②对时，，
∴恒成立，
由于，当且仅当，即时取得等号，
∴，
∴，
故答案为：
38．（2023上·河南·高一校联考期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.
(1)求，的解析式；
(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，分别是偶函数和奇函数列方程组求解；
（2）将问题转化为的值域是在区间上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解.
【详解】（1）因为，分别是偶函数和奇函数，
①，
所以，即②
①-②可得，即，
①+②可得，即.
所以，；
（2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为，
又容易得在区间上的值域为
由题可知，的值域是在区间上值域的子集.
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，.
所以，得.
当时，在区间上单调递减，
所以，.
所以，得，
所以实数的取值范围是.
39．（2023上·北京·高一校考期中）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有，若函数的图象关于点对称，且当时，
(1)求的值；
(2)设函数
①证明函数的图象关于点称；
②若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)4
(2)①证明见详解 ②
【分析】（1）计算，令，即求.
（2）①计算，由新定义即可证明. ②求出的值域，设在上的值域为，存在与恒成立思想可得是的值域的子集，再由二次函数的最值以及对称性求出，结合集合的包含关系即可求出范围.
【详解】（1）由题意可得，，令，可得.
（2）①由，，
，
所以函数的图象关于点对称.
②，函数在上单调递增，所以，
不妨设在上的值域为，则，
因为时，，
所以，即函数的图象过对称中心，
（i）当时，即，函数在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，
由，，所以，所以，
由，可得，解得；
（ii）当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
由对称性可知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
结合对称性可得，或，
因为，所以，，
易知，又，所以，
所以当时，成立；
（iii）当时，即时，函数在上单调递减，
由对称性可知，在上单调递减，所以函数在上单调递减，
又，，则，由得，
，解得.
综上可知，实数的取值范围为.
40．（2023上·湖北·高一校联考期中）已知函数（）．
(1)若的定义域和值域均是，求实数a的值；
(2)若在区间上是减函数，且对任意的，都有．求实数a的取值范围；
(3)若，且对任意的，都存在，使得成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
(3)
【分析】（1）先确定单调性，根据单调性列方程组求解；
（2）根据函数单调性求出在区间上的最大值，然后将恒成立问题转化为最值问题列不等式求解；
（3）求出函数和的值域，根据题意得到值域之间的包含关系，进而可列不等式求解.
【详解】（1）
在上单调递减，又，
在上单调递减，
，即，
解得；
（2）在区间上是减函数，
，
，
，
时，，
又对任意的，都有，
，
；
（3）∵，明显其在上单调递增，
当时，
又在上单调递减，
∵对任意的，都存在，使得成立
∴
∴
∴
即.
41．（2023上·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围 .
【答案】
【分析】即求的值域是值域的子集
【详解】当时，
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为，在上的值域为，
所以在上的值域为，
当时，为增函数，在上的值域为，所以，解得：,
当时，为减函数，在上的值域为，解得：,
当时，为常数函数，值域为，不符合题意；
综上：的取值范围是,
故答案为：