高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.4 函数的应用（一）综合训练题

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一、单变量不等式恒成立问题
一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
1、，
2、，
3、，
4、，
二、双变量不等式与等式
一般地，已知函数，
1、不等关系
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有成立，故．
2、相等关系
记的值域为A, 的值域为B,
（1）若，，有成立，则有；
（2）若，，有成立，则有；
（3）若，，有成立，故；
题型一 单变量不等式恒成立问题
【例1】已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围．
【变式1-1】已知定义在上的函数是奇函数．
（1）求实数的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【变式1-2】已知对任意恒成立，则实数的取值范围为_________.
【变式1-3】已知 ，其中为常数
（1）当 时，求的值；
（2）当时，关于的不等式恒成立，试求的取值范围；
【变式1-4】已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.
题型二 单变量不等式能成立问题
【例2】定义在上的奇函数，已知当时（）．
（1）求在上的解析式；
（2）若存在时，使不等式成立，求实数m的取值范围．
【变式2-1】已知函数的定义域为．
（1）求的定义域；
（2）对于（1）中的集合，若，使得成立，求实数的取值范围．
【变式2-2】已知函数，其中
（1）若的最小值为，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
【变式2-3】已知函数.
（1）当时，试判断并证明其单调性.
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
【变式2-4】已知1≤x≤27，函数(a＞0)的最大值为4，最小值为0．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式在上有解，求实数k的取值范围．
题型三 任意-任意型不等式成立问题
【例3】已知，若对任意，，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
（1）求函数的最小值；
（2）若对任意，恒成立，求的取值范围.
【变式3-2】已知函数，.
（1）求的值；
（2）试求出函数的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）
（3）若函数，且对，，都有成立，求实数的取值范围.
【变式3-3】已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）设，若对于任意的、都有，求的最小值.
题型四 任意-存在型不等式成立问题
【例4】已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是__________．
【变式4-1】已知是定义在上的奇函数，当时，，函数如果对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是__________．
【变式4-2】已知函数（a＞0且）是偶函数，函数（a＞0且）．
（1）求实数b的值；
（2）当a＝2时，若，，使得恒成立，求实数m的取值范围．
【变式4-3】已知函数为偶函数.
（1）求实数a的值；
（2）判断的单调性，并用定义法证明你的判断：
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围.
题型五 存在-存在型不等式成立问题
【例5】已知函数，，若存在，，使得，则实数的取值范围是 .
【变式5-1】已知函数，，若，，使得成立，求正实数的取值范围．
【变式5-2】已知，，对于，，成立．
【变式5-3】已知函数是上的偶函数，．
（1）求的值；
（2）若存在，，，使得成立，求的取值范围．
题型六 任意-存在型等式成立问题
【例6】已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知函数为R上的奇函数．
（1）求的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）求不等式的解集；
（3）设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围．
【变式6-2】已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ________.
【变式6-3】已知函数，且对任意的实数x，恒成立，函数，若对，，使，则正实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-4】定义在R上的函数满足，且当时，，，对，，使得，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．