微专题 函数不等式恒成立、能成立问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练

这是一份微专题 函数不等式恒成立、能成立问题 学案-2023届高考数学一轮《考点·题型·技巧》精讲与精练，共35页。
微专题：函数不等式恒成立、能成立问题
【考点梳理】
函数最值的重要结论
(1)设f(x)在某个集合D上有最小值，m为常数，则f(x)≥m在D上恒成立的充要条件是f(x)min≥m.
(2)设f(x)在某个集合D上有最大值，m为常数，则f(x)≤m在D上恒成立的充要条件是f(x)max≤m.


【题型归纳】
题型一：函数不等式恒成立问题
1．不等式恒成立，则实数k的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
2．若对任意的实数，不等（）恒成立，则实数m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．


题型二：函数不等式能成立（有解）问题
4．已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
5．若存在，使不等式成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
6．若关于x的方程有解，则实数的取值范围为(       )
A． B． C． D．




【双基达标】
7．已知函数，若∃∈R，使得成立，则实数m的取值范围为(       )
A． B． C． D．
8．已知向量，，，若，使不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
9．定义在上函数满足，且当时，.则使得在上恒成立的的最小值是（       ）
A． B． C． D．
10．已知函数，若恒成立．则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
11．已知函数，若对任意，，恒成立，则m的最大值为（       ）
A．－1 B．0 C．1 D．e
12．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（       ）．
A． B．
C． D．
13．定义在R上的函数满足，当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
14．已知函数，若，，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
15．已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A．或 B．或
C． D．
16．设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的最大值是（       ）
A． B． C． D．
17．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
18．函数满足，当有，且对任意的，不等式恒成立．则实的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
19．已知命题：函数，且在区间上恒成立，则该命题成立的充要条件为（       ）
A． B．
C． D．
20．已知函数，若对于任意的实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
21．当时，若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（       ）．
A． B． C． D．
22．定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（       ）
A．2 B． C． D．
23．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
24．已知函数.若对于任意的，都有，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
25．已知函数，若时，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．

【高分突破】
一、 单选题
26．若不等式（且）对任意都成立，则的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
27．设函数，，若对任意的，都存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
28．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
29．若至少存在一个,使得关于x的不等式成立,则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
30．已知函数，，若对任意，存在，使得，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
31．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
二、多选题
32．设，若对任意的，都有恒成立，则的值可以为（       ）
A．0 B．1 C．3 D．5
33．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．是周期函数 B．满足
C． D．在上有解，则k的最大值是
34．已知函数，则下列说法正确的是（       ）
A．
B．关于的方程有个不同的解
C．在上单调递减
D．当时，恒成立.
35．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（       ）
A．在上单调递减
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．，
三、填空题
36．若函数在上是减函数，则实数的取值范围为___________.
37．存在实数使不等式 在 成立，则的范围为__________．
38．已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为____________．
39．意大利著名画家、数学家、物理学家达·芬奇在他创作《抱银貂的女子》时思考过这样一个问题：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的悬链线问题，连接重庆和湖南的世界第一悬索桥——矮寨大桥就采用了这种方式设计．经过计算，悬链线的函数方程为，并称其为双曲余弦函数．若对恒成立，则实数的取值范围为______．
       
40．若，，则实数的取值范围为___________.
41．设是定义在上的奇函数，且时，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________.
四、解答题
42．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且．
（1）求函数，的解析式；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
43．已知函数.
（1）若，求的值；
（2）若，对于任意恒成立，求实数的取值范围.
44．已知函数=logax，=loga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式f[f(x)]对所有的x∈[-2，2]恒成立，求实数m的取值范围．
46．已知函数是定义域上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式，判断函数在上的单调性并证明；
（2）令，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围；
（3）令，若对，都有，求实数的取值范围．

参考答案
1．D
【解析】
【分析】
由题可得在区间上恒成立，然后求函数的最大值即得.
【详解】
由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以，
所以.
故选：D.
2．C
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性得到，参变分离后换元，得到，利用在上的单调性求出最大值，从而得到实数m的取值范围.
【详解】
当时，要使得不等式有意义，
需要在恒成立，可得，
此时不等式恒成立等价于恒成立，
即.令，则，且，
所以.
因为在上单调递减，
所以，当时，取得最大值为1，
所以实数m的取值范围是.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
不妨设，令，由题分析可得函数在上单调递减，讨论和时，要使在上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.
【详解】
不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立.令，
则恒成立，所以函数在上单调递减.
当时，在上单调递减，符合题意；
当时，要使在上单调递减，
则解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
故选：D.
4．C
【解析】
【分析】
将问题化为有且只有两个整数解，利用导数研究的性质，并画出与的图象，判断它们交点横坐标的范围，列不等式组求k的范围.
【详解】
由题设，定义域为，则可得，
令，则，
所以时，即递增，值域为；
时，即递减，值域为；
而恒过，函数图象如下：

要使有且只有两个整数解，则与必有两个交点，
若交点的横坐标为，则，
所以，即.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：首先转化为有且只有两个整数解，导数研究函数性质，再应用数形结合法判断、交点横坐标范围，即可求参数范围.
5．B
【解析】
【分析】
作出函数和函数的图象，在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，由此可得参数范围．
【详解】
作出函数和函数的示意图，其中的图象是过点的直线，是直线的斜率，的图象与轴交于点，
，
题意说明在轴右侧，的图象上存在点在图象下方，
由图象可知只要，即可满足题意．
故选：B．

6．C
【解析】
【分析】
将对数方程化为指数方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范围．
【详解】
，
，
当且仅当时取等号，
故．
故选：C．
7．B
【解析】
【分析】
问题等价于，求出解不等式即可.
【详解】
x＜2时，f(x)＝，
x＞2时，f(x)＝＞1，
故，∴，解得.
故选：B.
8．C
【解析】
【分析】
根据向量数量积的坐标表示可得，将问题转化为当时，结合二次函数的性质可知函数的单调性，进而求出即可.
【详解】
由题意知，
，
因为，所以，
若，恒成立，
则当时，，
又由二次函数的性质知，当时，，
所以，即的取值范围为.
故选：C
9．D
【解析】
【分析】
由题意可得，在区间上，，作函数的图象，如图所示，然后结合图像可求出的最小值
【详解】
根据题设可知，当时，，故，
同理可得：在区间上，，
所以当时，.
作函数的图象，如图所示.
在上，由，得.
由图象可知当时，.
故选：D.

【点睛】
此题考查函数在给定区间上恒成立问题，考查数形结合思想，属于中档题
10．B
【解析】
【分析】
在时，由二次函数的最小值大于等于0确定a范围，在时，分离参数构造函数，求函数最小值即可推理作答.
【详解】
依题意，当时，，当时，，
解得，当时，在上单调递减，成立，则有，
当时，，令，，
，当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，于是得，
综上得，，
所以a的取值范围为.
故选：B
11．C
【解析】
【分析】
对任意，恒成立等价于对任意，恒成立；可换元，设，令，则，即在恒成立，求导由单调性即可求出最值.
【详解】
由题知对任意，恒成立，
等价于，即，即对任意，恒成立，
不妨设，令，则，
则原式等价于，即在恒成立，
设，，则，
所以在上为增函数，所以，
所以，即m的最大值为，当且仅当，即时取得最大值，
故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
通过参变分离，利用导函数求函数的值域即可.
【详解】
原不等式可化为．
令，则．
令，则．
∵函数在区间上递增，∴，
∴．
，使得，即，，
，递减，，递增，
∴，
∴，恒有，在区间上递增，
∴，
∴．
故选：C.
13．D
【解析】
【分析】
由解析式得到函数的单调性和对称轴，结合条件可得，两边平方转为恒成立求解即可.
【详解】
当时，单调递减，；当时，单调递减，故在上单调递减：由，得的对称轴方程为．若对任意的，不等式恒成立，所以，即，即对任意的恒成立，所以解得．
故选：D．
14．C
【解析】
求出函数在时的值域，再根据题意求出m的取值范围.
【详解】
函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为.
由方程有解知，，因此，且，解得.故选：C
【点睛】
本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数在闭区间上的零点问题，考查了数学运算能力.
15．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式求x＋2y的最小值即可.
【详解】
因为，
所以．
当且仅当，即时取等号，
又因为恒成立，
所以，解得．
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
分别求得，，，，，，，时，的最小值，作出的简图，因为，解不等式可得所求范围．
【详解】
解：因为，所以，
当时，的最小值为；
当时，，，
由知，，
所以此时，其最小值为；
同理，当，时，，其最小值为；
当，时，的最小值为；
作出如简图，

因为，
要使，
则有．
解得或，
要使对任意，都有，
则实数的取值范围是．
故选：A．
17．D
【解析】
由题意可得对于恒成立，分离参数可得，即可求解.
【详解】
因为，所以；
又因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，只需要，
因为在单调递增，所以，
所以.
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是由函数单调递增可得恒成立，再利用分离参数法转化为最值求解.
18．B
【解析】
【分析】
首先由定义判断的奇偶性和单调性，可得在，恒成立，两边平方可得在，恒成立，构造函数，再根据二次函数的性质分类讨论，计算可得；
【详解】
解：由函数满足，可得为偶函数；
当，，有，可得在单调递减．
由即，
可得在，恒成立，
即在，恒成立，
即在，恒成立，
显然当时，不等式不成立，故舍去；
当时，函数对称轴为，
当，即或时，函数在上单调递增，只需，解得或，所以或；
当，即时，函数在上单调递减，只需，解得或，所以；
当，即时，只需，显然不成立，
综上可得，的取值范围是．
故选：．
19．C
【解析】
【分析】
由题知，通过求导可得在上是增函数，结合条件可得函数在上是增函数，进而，即求.
【详解】
∵，
∴，，，
令，则，
∵，即
∴时，，函数在上是增函数，
要使在区间上恒成立，又，
则应满足在区间上为增函数，
∴当时，，又函数在上是增函数，
∴，即.
故选：C.
20．A
【解析】
【分析】
根据分段函数解析式画出函数图象，易知单调递增且关于对称，再将不等式转化为结合单调性求参数范围.
【详解】
由题设，，图象如下：

所以，
又是R上的增函数，所以对恒成立，
所以，则，即．
故选：A．
21．A
【解析】
【分析】
本题首先可根据题意得出当时不等式有解，然后令，求出当时的取值范围，即可得出结果.
【详解】
不等式有解即不等式有解，
令，
当时，，
因为当时不等式有解，
所以，实数的取值范围是，
故选：A.
【点睛】
方法点睛：本题考查根据不等式有解求参数，可通过构造函数并通过求函数的值域的方式求解，考查二次函数的值域的求法，考查推理能力，是中档题.
22．B
【解析】
【分析】
依题意可得为偶函数，且在上单调递减，根据奇偶性及单调性可得对任意的恒成立，两边平方即可得到，再对分类讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解；
【详解】
解：因为定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，，则当时函数在定义域上单调递减，，当时，函数在上单调递减，且当时，所以函数在上单调递减，当时函数图象如下所示：

因为对任意的，不等式恒成立，即恒成立，即，平方可得；
①当，即时，即，对任意的，所以，即，所以；
②当，即时，显然符号题意；
③当，即时，即，对任意的，所以，即，与矛盾；
综上所述，，即实数的最大值为；
故选：B
23．D
【解析】
【分析】
由题设知在恒成立，结合正弦函数、对数函数性质可得，再根据正弦、对数函数的区间单调性及恒成立求参数范围.
【详解】
由题设，即在恒成立，
当时，上，不满足题设，
所以，此时在上递减，递增，
要使不等式恒成立，则，即，
综上.
故选：D
24．B
【解析】
根据对数函数性质把不等式变形为，即，设，问题转化为求二次函数的最小值即可得．
【详解】
本题考查对数型函数及其应用，以及利用分离变量法求参数的取值范围，考查数学转化思想.
由整理得，所以，即，令，则.令，其图像的对称轴为，所以，则.
故选：B．
【点睛】
方法点睛：本题考查对数不等式恒成立问题，解题方法利用对数运算法则和对数函数性质化去对数号，然后用分离参数得，再有换元法转化为求二次函数的最小值．解题关键是转化．
25．C
【解析】
【分析】
将不等式转化为，然后再求最值即可.
【详解】
不等式可化为，有，有，当时，（当且仅当时取等号），，故有．
故选：C
26．B
【解析】
【分析】
根据函数单调性先求出在的值域，进而数形结合得到不等关系，求出的取值范围.
【详解】
在上单调递增，且，，故在值域为，要想对任意都成立，则要满足，解得：；

故选：B
27．A
【解析】
【分析】
由题设可知值域为值域的子集，结合对数函数、二次函数的性质列不等式组，求参数范围.
【详解】
设的值域为A，而的值域为，由已知有，
所以是值域的子集，
当时，开口向下且对称轴，又，显然是值域上的子集，符合题设；
当时，，显然是值域上的子集，符合题设；
当时，开口向上且对称轴，此时只需，即时，是值域上的子集.
综上，.
故选：A.
28．A
【解析】
【分析】
由已知求得，将问题转化为存在使得成立，分离参数得需存在使得成立，由在上为增函数，可求得答案.
【详解】
解：因为，所以，
所以当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以函数在在当时，，
所以要使对，，使得，即是求实数的范围，使得存在使得成立，
即存在使得成立，
因此只需满足即可．又在上为增函数，因此．
故选：A．
29．D
【解析】
把不等式变形为，作出函数和的图象，由数形结合思想得出不等关系．
【详解】
原不等式可变形为，作出函数和的图象，由题意在时，至少有一点满足，

当与相切时，，，由得，
当过点时，，
∴．
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式有解问题．变形后转化两个函数图象的关系问题，利用数形结合思想得到解法．
30．A
【解析】
【分析】
本题先将条件转化为不等式，再根据不等式求解即可.
【详解】
解：∵对任意，存在，使得，
∴
∵，∴ ，
∵，∴
∴ ，解得，
故选：A.
【点睛】
本题考查恒成立问题与存在性问题，关键在于问题的转化，是中档题.
31．D
【解析】
【分析】
求出函数的导数，问题转化为在有解，进而求函数的最值，即可求出的范围.
【详解】
∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，则在单调递增，
，
故.
故选：D.
32．CD
【解析】
【分析】
根据给定条件可得，再分析函数式与的值的正负情况即可作答.
【详解】
显然，因对任意的不恒成立，
因对任意的，都有恒成立，则当时，，
当时，，必有，若，则，矛盾，若，当时，，矛盾，
因此，，当时，，当时，，
当时，若，则，此时，不符合题意，
因此，，当时，，当时，，
要恒成立，当且仅当，即，而，
从而得或，解得或，
所以或.
故选：CD
33．BCD
【解析】
【分析】
A选项，分子和分母分别考虑，看是否是周期函数，B选项，化简得到；CD选项，求出的值域进行判断.
【详解】
是周期函数，但不是周期函数，所以不是周期函数，A选项错误；
，故B选项正确；
因为，等号成立时，，所以，而，当时，，，此时，故，C选项正确；
当时，，故的最大值为，故在上有解，则k的最大值是，D选项正确
故选：BCD
34．ACD
【解析】
【分析】
求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D.
【详解】
选项A：.判断正确；
选项B：
画出部分图像如下：

当时，由，可得或
由，可得或；由，可得
即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误；
选项C：当时，，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
当时，
若即，则
则，为减函数；
综上，在上单调递减. 判断正确；
选项D：当时，可化为，
同一坐标系内做出与的图像如下：

等价于
即，而恒成立. 判断正确.
故选：ACD
【点睛】
(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
35．BCD
【解析】
【分析】
先判断时的单调性，再根据奇函数关于原点对称点区间单调性相同可判断A；求出的解析式作出图象可判断在上的单调性，根据单调性和奇函数解不等式可判断B；作出函数与的图象，由图象交点的个数可判断C，根据，可判断D，进而可得正确选项.
【详解】
对于A：当时，单调递增，
又因为是奇函数，所以当时，单调递增，故选项A不正确；
对于B：设，则， ，
当时，，所以 ，
作函数的图象如图所示，

由图可知函数在上单调递增，
不等式，即，
故不等式等价于，解得，所以不等式的解集为，故选项B正确；
对于C：在同一直角坐标性中作函数与的图象，如图：

由图知：两个函数图象有三个交点，所以方程有三个实数根，故选项C正确；
由函数的图象可知函数的值域为，故，，，
恒成立，故选项D正确；
故选：BCD.
36．
【解析】
【分析】
先求导，根据题意在上恒成立，整理得在上恒成立，即求.
【详解】
由知，
,
∵函数在上是减函数，
，又，
∴，即在上恒成立，
而，，
．
故答案为：．
37．##a≤4##{a|a≤4}
【解析】
【分析】
利用函数的单调性求出它在上的最大值即可.
【详解】
函数在R上单调递减，当时，，
因存在实数使不等式 在 成立，则.
所以的范围为.
故答案为：
38．
【解析】
【分析】
恒成立存在性共存的不等式问题，需要根据题意确定最值比大小解不等式即可.
【详解】
根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
39．
【解析】
【分析】
首先利用奇偶性、单调性定义可得为偶函数、在上递增， 上递减，可将题设不等关系化为在上恒成立，即可求参数范围.
【详解】
，故为偶函数，
令，则，
又，，故，
∴在上递增，故上递减，
∴在上恒成立，则且，故在上恒成立，
令，而
∴，故时，
，故时，
∴的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：利用的奇偶性、单调性将问题转化为在上恒成立求范围.
40．
【解析】
【分析】
利用基本不等式的最小值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】
，，则，
由基本不等式可得，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
因此实数的取值范围是.
故答案为：.
41．
【解析】
【分析】
由奇函数的对称性求出的解析式，确定的单调性，并得到，利用函数的单调性，将转化为自变量的不等量关系，即可得出结论.
【详解】
是定义在上的奇函数，且时，，
设，
，
在上单调递减，且，
对于任意的恒成立，
即对于任意的恒成立，
所以.
故答案为：.
42．（1），；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据函数的奇偶性构造方程组可解得结果；
（2）代入解析式，换元后化为对恒成立，利用基本不等式求出的最小值可得解.
【详解】
（1），用代替得，
则，
解方程组得：，．
（2）由题意可得对任意恒成立，
令，，因为在单调递增，故
则对恒成立
因为，当且仅当时，等号成立.
故，即实数的最大值为.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则.
43．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，，舍去；
当时，，即，．基础即可得出．
（2）当，时，，即，即．化简解出即可得出．
【详解】
解：（1）当时，，舍去；
当时，，即，．
解得，
（2）当，时，，即，
即．
因为，所以．
由，所以．
故的取值范围是．
44．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.
（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】
（1），，则，.
当时，，所以；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（2）要使在上有意义，则，解得.
由，即，又，
∴，即，得.
令，，记，对称轴，
∴，故.
综上，.
45．（1）调增区间为，单调减区间为(-∞，0)，；（2）.
【解析】
【分析】
(1)当a=1时，求得，根据二次函数的单调性求出x