2023版新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.2直线与平面垂直课时作业新人教A版必修第二册

8．6.2　直线与平面垂直

必备知识基础练　

1．已知直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，则下列结论一定成立的是(　　)

A．a与b相交    B．a与b异面

C．a⊥bD．a与b无公共点

2．过已知平面α外一点A作与α垂直的直线的条数有(　　)

A．0    B．1

C．2    D．无数

3．在正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有(　　)

A．1个    B．2个

C．3个    D．4个

4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面ABCD，则有(　　)

A．BB1⊥l

B．BB1∥l

C．BB1与l异面   

D．BB1与l相交

5．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于(　　)

A．150°    B．135°

C．90°    D．60°

6．(多选)下列条件中能推出l⊥α的有(　　)

A．直线l与平面α内一个三角形的两边垂直

B．直线l与平面α内一个梯形的两边垂直

C．直线l与平面α内无数条直线垂直

D．直线l与平面α内任意一条直线垂直

7．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成角为α，tan α＝________．

8．如图，在三棱锥P­ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC.求证：BC⊥平面PAC.

关键能力综合练　

1．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则(　　)

A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

B．若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α

C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n

D．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m

2．如图，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则△PBC是(　　)

A．直角三角形

B．锐角三角形

C．钝角三角形

D．以上都有可能

3．如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面   

B．平行

C．垂直   

D．不确定

4．若P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC，PB⊥AC，则点P在△ABC所在平面内的射影O是△ABC的(　　)

A．内心    B．外心

C．重心    D．垂心

5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，H为EF的中点，沿AE，EF，FA将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体A­OEF中，下列说法中正确的是(　　)

A．AH⊥平面OEF    B．AO⊥平面OEF

C．AE⊥平面OEF    D．AF⊥平面OEF

6．(多选)如图所示，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上异于AB的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的投影，则(　　)

A．AF⊥PB

B．EF⊥PB

C．AF⊥BC

D．AE⊥平面PBC

7．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是________．

8．已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是________.

9．如图①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点．如图②，将△ABE沿AE折起，使BM⊥平面AECD，其中M是AE的中点，连接BC，BD，F是CD的中点，P是棱BC的中点，连接DM，FM，连接CM，交EF于点N，连接PN.

(1)求证：AE⊥BD；

(2)求证：PN⊥平面AECD.

10．正三棱柱ABC­A1B1C1所有棱长为2，O为BC中点

(1)求证：AO⊥B1C；

(2)若在C1C上取点M，C1M＝C1C，求AM与平面BCC1B1所成的角的正切值．

核心素养升级练　

1．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(答案不唯一，填上你认为正确的一种条件即可).

2．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在线段BC上至少存在一个点Q满足PQ⊥DQ，则a的取值范围是________．

3．如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1，且∠BAD＝60°的菱形，侧棱长为2，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m.

(1)试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成的角为60°；

(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，有D1Q⊥AP，并证明你的结论．

8．6.2　直线与平面垂直

必备知识基础练

1．答案：C

解析：因为直线a⊥平面α，直线b⊂平面α，根据线面垂直的定义，所以a⊥b，其它选项不一定成立．

故选C.

2．答案：B

解析：由过一点垂直于一个平面的直线有且只有一条，故平面α外一点A作与α垂直的直线的条数有1条．

故选B.

3．答案：B

解析：在正方体中，侧棱都和底面垂直，故在正方体ABCD­A1B1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面有平面ABCD和平面A1B1C1D1，共两个．

故选B.

4．答案：B

解析：因为l⊥平面ABCD，且BB1⊥平面ABCD，直线l与直线BB1不重合，所以BB1∥l.

故选B.

5．答案：C

解析：依题意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直线与桌面α所成的角等于90°.

故选C.

6．答案：AD

解析：由线面垂直的判定定理知AD正确；

对于B，当梯形的两边平行时，不能推出l⊥α；

对于C，当无数条直线相互平行时，不能推出l⊥α.

故选AD.

7．答案：

解析：由CC1⊥平面ABCD，则AC1与平面ABCD所成角α＝∠CAC1，如图所示，

若正方体棱长为2，则tan α＝＝＝.

8．解析：∵在△AEB中，D是AB的中点，EB＝EA，

∴ED⊥AB，

∵E是PB的中点，D是AB的中点，

∴ED∥PA，

∴PA⊥AB，

又PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，

∴PA⊥平面ABC，

∵BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC，

又PC⊥BC，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，

∴BC⊥平面PAC.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：由α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，知：

若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，由于m，n不一定相交，

则l与α相交、平行或l⊂α，即l不一定垂直于α，故A错误；

若l∥m，m∥n，则l∥n，又因为l⊥α，故n⊥α，故B正确；

若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n，故C错误；

若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l与m相交、平行或异面，故D错误．

故选B.

2．答案：A

解析：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，

所以BC⊥PC，故△PBC是直角三角形．

故选A.

3．答案：C

解析：∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l⊂α，∴BA⊥l；

同理BC⊥l；

又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.

∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.

故选C.

4．答案：D

解析：

如图所示：

因为PA⊥BC，PO⊥BC，且PA∩PO＝P，

所以BC⊥平面PAO，则BC⊥OA，

同理得OB⊥AC，

所以O是△ABC的垂心．

故选D.

5．答案：B

解析：

如图：

因为∠AOE＝∠AOF＝，即AO⊥OE，AO⊥OF，又OE∩OF＝O，

所以AO⊥平面OEF，故B正确，

因为过A作平面OEF的垂线能作且只能作一条，

AE，AF，AH与平面OEF都不垂直．

所以A、C、D错误．

故选B.

6．答案：ABC

解析：因为PA⊥平面ABC，故PA⊥BC，又BC⊥AC，故BC⊥平面PAC，从而BC⊥AF，又AF⊥PC，故AF⊥平面PBC，所以AF⊥PB，AF⊥BC，故A，C正确；

由选项A知AF⊥PB，而AE⊥PB，从而PB⊥平面AEF，故EF⊥PB，故B正确；

由上面过程可知，AE与平面PBC不垂直，故D不正确．

故选ABC.

7．答案：

解析：不妨设PA＝a，PB＝b，PC＝c，且PA，PB，PC两两互相垂直，

∴S△PAB＝PA·PB＝ab，

又PC⊥PA，PC⊥PB，PA，PB⊂平面PAB，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，∴VP­ABC＝VC­PAB＝S△PAB·PC＝×ab×c＝.

8．答案：菱形

解析：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又PC⊥BD，PC∩PA＝P，PA，PC⊂平面PAC，

所以BD⊥平面PAC，

又AC⊂平面PAC，

所以BD⊥AC，

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以平行四边形ABCD一定是菱形．

9．证明：(1)因为在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中点，所以△ABE与△ADE都是等边三角形，则BM⊥AE，DM⊥AE，

因为BM∩DM＝M，BM，DM⊂平面BDM，所以AE⊥平面BDM，

又因为BD⊂平面BDM，所以AE⊥BD.

(2)因为ME∥FC且ME＝FC，所以四边形MECF是平行四边形，

所以N是线段CM的中点，

因为P是线段BC的中点，所以PN∥BM，

因为BM⊥平面AECD，所以PN⊥平面AECD.

10．解析：(1)证明：因为O为BC中点，AB＝AC，

所以AO⊥BC，

因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AO⊂平面ABC，

所以AO⊥平面BCC1B1，

因为B1C⊂平面BCC1B1，

所以AO⊥B1C.

(2)因为C1M＝C1C，所以点M为C1C上靠近C1的四等分点，

连接OM，AM，

因为AO⊥平面BCC1B1，

所以OM为AM在平面BCC1B1上的投影，

所以∠AMO为AM与平面BCC1B1所成的角，

因为正三棱柱ABC­A1B1C1所有棱长为2，

所以CM＝CC1＝，OC＝1，

所以AO＝＝，

OM＝＝＝，

在Rt△AOM中，tan ∠AMO＝＝＝，

所以AM与平面BCC1B1所成的角的正切值为.

核心素养升级练

1.

答案：A1C1⊥B1C1(答案不唯一)

解析：如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)

2．答案：a≥2

解析：∵PA⊥平面ABCD，DQ⊂平面ABCD，

∴PA⊥DQ，

又∵PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，

∴DQ⊥平面PAQ，又AQ⊂平面PAQ，

∴DQ⊥AQ，

所以点Q是以AD中点为圆心，AD为直径的圆与BC的交点，

∵AB＝1，BC＝a，在线段BC上至少存在一个点Q满足PQ⊥DQ，

∴a≥2.

3．解析：

(1)连接AC交BD于F，设A1C1交B1D1于E，连接EF，AP交EF于M，如图，

ABCD是菱形，则AC⊥BD，

又BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC，

BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D1D，所以AC⊥平面BB1D1D，

所以∠AMF是AP与平面BB1D1D所成的角，所以∠AMF＝60°，

在平行四边形ACC1A1中，E，F分别是A1C1，AC中点，所以EF∥CC1，

所以∠APC＝∠AMF＝60°，又同理可得CC1⊥AC，则∠PAC＝30°，

所以m＝PC＝AC tan 30°＝AC，

菱形ABCD边长为1，∠BAD＝60°，

所以AC＝2AF＝2×＝，

所以m＝×＝1.

(2)存在，当Q是A1C1中点，即是A1C1与B1D1的交点E时，对任意的m，有D1Q⊥AP.证明如下：

CC1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，

在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，A1C1∩CC1＝C1，A1C1，CC1⊂平面ACC1A1，

所以B1D1⊥平面ACC1A1，

AP⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥AP，即D1Q⊥AP.