2023版新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.1直线与直线垂直课时作业新人教A版必修第二册

8．6.1　直线与直线垂直

必备知识基础练　

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)

A．一定平行   

B．一定垂直

C．一定是异面直线   

D．一定相交

2．设a，b，c是三条直线，且c⊥a，c⊥b，则a和b(　　)

A．平行    B．相交

C．异面    D．以上都有可能

3．若a是空间中的一条直线，则在平面α内一定存在直线b与直线a(　　)

A．平行    B．相交

C．垂直    D．异面

4.如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有(　　)

A．2条

B．4条

C．6条

D．8条

5.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列直线与B1D1垂直的是(　　)

A．BC1

B．A1D

C．AC

D．BC

6.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是(　　)

A．平行   

B．相交

C．异面但不垂直   

D．异面且垂直

7．如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．

8.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有________．

关键能力综合练　

1．若空间中四条不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下面结论正确的是(　　)

A．l1⊥l4

B．l1∥l4

C．l1，l4既不垂直也不平行

D．l1，l4的位置关系不确定

2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是(　　)

A．梯形    B．矩形C．平行四边形    D．正方形

3．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为(　　)

A.90°    B．45°C．60°    D．30°

4．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BCA＝60°，M，N分别是A1C1，CC1的中点，BC＝CA＝CC1，则BN与AM所成角的余弦值为(　　)

A.　　　B．    C．　　　D．

5．(多选)四棱锥P­ABCD的所有棱长都相等，M、N分别为PA、CD的中点，下列说法正确的是(　　)

A．MN与PD是异面直线

B．MN∥平面PBC

C．MN∥AC

D．MN⊥PB

6．(多选)如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．直线CC1与直线B1E相交

B．CC1与AE共面

C．AE与B1C1是异面直线

D．AE与B1C1垂直

7．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________．

8．在正四面体ABCD中，E为BC的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为________．

9.

如图，已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．证明：CD1⊥EF.

10.

如图，四棱锥P­ABCD中，PD⊥DA，PD⊥DC，在底面ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，又CD＝6，AB＝AD＝PD＝3，E为PC的中点．

(1)求证：BE∥平面ADP；

(2)求异面直线PA与CB所成角的大小．

核心素养升级练　

1．(多选)如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个结论中，正确的是(　　)

A．BM与ED平行

B．CN与BE是异面直线

C．CN与BM成60°角

D．DM与BN是异面直线

2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，过点D作直线l与异面直线AC和BC1所成角均为θ，则θ的最小值为(　　)

A．15°    B．30°

C．45°    D．60°

3.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则直线AE与BC所成角的大小为________，直线A1B与AC1所成角的余弦值为________．

8．6.1　直线与直线垂直

必备知识基础练

1．答案：B

解析：∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.

故选B.

2．答案：D

解析：空间中垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面．故选D.

3．答案：C

解析：

如图所示的正方体中，取平面α为平面ABCD，

直线a与平面α的位置关系有三种，

(1)取直线AB为a，在平面α内，显然存在直线BC⊥a，但不存在直线与a异面；

(2)取直线A1B1为a，在平面α内，显然存在直线BC⊥a，但不存在直线与a相交；

(3)取直线AA1为a，在平面α内，显然存在直线BC⊥a，但不存在直线与a平行．

故选C.

4．答案：D

解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1的棱中，与棱AB垂直的棱有BC，B1C1，A1D1，AD，AA1，BB1，CC1，DD1，共8条．

故选D.

5．答案：C

解析：∵四边形ABCD为正方形，

∴AC⊥BD.

∵B1D1∥BD∴AC⊥B1D1.

故选C.

6．答案：D

解析：因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．

故选D.

7．答案：60°

解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.

8．答案：AB，A1B1

解析：由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：

如图：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，记DD1为l1，DC为l2，DA为l3，满足题中条件l1⊥l2，l2⊥l3，

若AA1为l4，满足l3⊥l4，此时l1∥l4；

若C1D为l4，满足l3⊥l4，此时l1与l4相交；

若AB为l4，满足l3⊥l4，此时l1与l4异面垂直；

若C1D1为l4，满足l3⊥l4，此时l1与l4相交垂直；

因此l1，l4的位置关系不确定，所以选项ABC都不正确，

故选D.

2.

答案：D

解析：∵E，F，G，H分别为中点，如图．

∴FG∥EH∥BD，且FG＝EH＝BD；

HG∥EF∥AC，且HG＝EF＝AC，

又∵BD⊥AC且BD＝AC，

∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．

故选D.

3.

答案：D

解析：设G为AD的中点，连接GF，GE，

则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中位线．

∴GF∥AB，且GF＝AB＝1，GE∥CD，且GE＝CD＝2，则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数．

又EF⊥AB，GF∥AB，

∴EF⊥GF，

则△GEF为直角三角形，GF＝1，GE＝2，∠GFE＝90°，

∴在直角△GEF中，sin ∠GEF＝，

∴∠GEF＝30°.

故选D.

4．答案：A

解析：

取BB1的中点Q，AC的中点P，

则BN∥C1Q，AM∥C1P，

∴∠QC1P为BN与AM所成角，

由题可知直三棱柱ABC­A1B1C1为正棱柱，

设BC＝2，则AM＝BN＝，PQ＝2，

在△PQC1中，可得cos ∠PC1Q＝＝，

∴BN与AM所成角的余弦值为.

故选A.

5．答案：ABD

解析：

由题意可知四棱锥P­ABCD所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，MN与PD是异面直线，A正确；

取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，所以MN∥平面PBC，B正确；若MN∥AC，因为CH∥MN，所以CH∥AC，事实上AC∩CH＝C，所以MN与AC不平行，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确；

故选ABD.

6．答案：ACD

解析：因为CE∥B1C1且CE＝B1C1，所以四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交．A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确．

故选ACD.

7．答案：5

解析：

取AD的中点P，连接PM，PN，

则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5.

8．答案：

解析：在正四面体ABCD中，取BD的中点F，连接EF，AF，如图，设AB＝2，

因E为BC的中点，则EF∥CD，EF＝CD＝1，即有∠AEF是异面直线AE与CD所成的角或其补角，

而AE＝AF＝，在等腰△AEF中，cos ∠AEF＝＝＝，

所以异面直线AE与CD所成角的余弦值为.

9．证明：

如图，取CD1的中点G，连接EG，DG.

∵E是BD1的中点，

∴EG∥BC，EG＝BC，

∵F是AD的中点，且AD∥BC，

AD＝BC，

∴DF∥BC，DF＝BC，

∴EG∥DF，EG＝DF，∴四边形EFDG是平行四边形，

∴EF∥DG，

∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．

又∵A1A＝AB，

∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形，

又G为CD1的中点，

∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°，

∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，

∴CD1⊥EF.

10．解析：(1)证明：取PD的中点为F，连接EF，AF，

则在△PCD中，EF∥CD且EF＝CD，

由已知AB∥CD且AB＝CD，

所以AB∥EF且AB＝EF，

所以四边形ABEF为平行四边形，

所以BE∥AF，而AF⊂平面ADP，BE⊄平面ADP，

所以BE∥平面ADP.

(2)取CD中点G，连接AG，PG，

所以AB∥GC且AB＝GC，

所以四边形ABCG为平行四边形，

所以BC∥AG，所以∠PAG(或其补角)为PA与CB所成角，由题意得PA＝AG＝PG＝3，

所以∠PAG＝60°，所以PA与CB所成角为60°.

核心素养升级练

1．答案：CD

解析：

根据展开图，画出立体图形，连接BE，BN，

BM与ED垂直，不平行，CN与BE是平行直线，CN与BM成60°角，DM与BN是异面直线．

故选CD.

2.

答案：B

解析：因为AC∥A1C1，

所以∠BC1A1为异面直线AC和BC1所成角，

因为A1C1＝BC1＝A1B，

所以△A1BC1是等边三角形，所以∠BC1A1＝60°，

过点B作直线l的平行线l′，则当l′与∠BC1A1的角平分线平行时，θ取得最小值为30°.

故选B.

3．答案：90°　

解析：连接AB1，由三棱柱的性质可得AC1＝AB1.

又因为E是B1C1的中点，所以AE⊥B1C1.

又BC∥B1C1，所以AE⊥BC，

即直线AE与BC所成的角为90°.

如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC­A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，

∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，

∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.

又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝a，

∴A1D1＝a，

∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°，

∴在Rt△BA1D1中，cos ∠A1BD1＝＝＝.