2023版新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3平面与平面垂直课时作业新人教A版必修第二册

8．6.3　平面与平面垂直

必备知识基础练　

1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则(　　)

A．α∥γ

B．α⊥γ

C．α与γ相交但不垂直

D．以上都有可能

2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是(　　)

A．互为余角    B．相等

C．其和为周角    D．互为补角

3．设α，β为两个平面，“α内存在一条直线垂直于β”是“α⊥β”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

4．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么有(　　)

A．平面ABC⊥平面ADC

B．平面ABC⊥平面ADB

C．平面ABC⊥平面DBC

D．平面ADC⊥平面DBC

5．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)

A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α

B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α

C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α

D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α

6．(多选)下列能确定两个平面垂直的是(　　)

A．两个平面相交，所成二面角是直二面角

B．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C．一个平面经过另一个平面的一条垂线

D．平面α内的直线a垂直于平面β内的直线b

7．平面α⊥平面β，a⊂α，b⊂β，且b∥α，a⊥b，则a和β的位置关系是________．

8．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，过点A分别作AE⊥PB，AF⊥PC，E，F分别为垂足．

(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；

(2)求证：EF⊥PB.

关键能力综合练　

1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有(　　)

A．0个    B．1个

C．无数个    D．1个或无数个

2．设α，β是两个不同的平面，m，n，l为三条不同的直线，则下列说法正确的是(　　)

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊂α，n⊥m，则m⊥β

B．若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

C．若m⊂β，n⊂α，α⊥β，则m⊥n

D．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m⊥n

3．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形是等边三角形，且AB＝，AA1＝，则二面角A1­BC­A的大小为(　　)

A．30°    B．45°

C．60°    D．90°

4．如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，则互相垂直的面共有(　　)

A．2对    B．3对

C．4对    D．5对

5．已知AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(　　)

A．平面ABC⊥平面BCD

B．平面BCD⊥平面ACD

C．平面ABD⊥平面ACD

D．平面BCD⊥平面ABD

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A­BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列结论正确的是(　　)

A.平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

7．如图，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A­BCDE，则平面ABC与平面ACD的关系是________．

8．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________．

9．如图所示，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.

10．三棱柱ABC­A1B1C1，侧棱AA1⊥底面ABC.

(1)若AB⊥BC，求证平面A1BC⊥平面A1ABB1；

(2)若平面A1BC⊥平面A1ABB1，求证AB⊥BC.

核心素养升级练　

1．如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，AC∩BD＝O，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)

2．在平行四边形ABCD中，AB⊥BD，2AB2＋BD2＝1，将此平行四边形沿对角线BD折叠，使平面ABD⊥平面CBD，则三棱锥A­BCD外接球的体积是________．

3．如图，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ(0<λ<1).

(1)求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

8．6.3　平面与平面垂直

必备知识基础练

1．答案：D

解析：在正方体中，相邻两侧面都与底面垂直；相对的两侧面都与底面垂直；一侧面和一对角面都与底面垂直．

故选D.

2．答案：D

解析：画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角．

故选D.

3．答案：C

解析：α内存在一条直线垂直于β，根据面面垂直的判定定理可得α⊥β，

若α⊥β，根据面面垂直的性质定理，则在α内存在一条直线垂直于两个平面的交线的直线，垂直于另一个平面β，所以“α内存在一条直线垂直于β”是“α⊥β”的充要条件．

故选C.

4．答案：D

解析：∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，BC，BD⊂平面BDC，

∴AD⊥平面BDC.

又∵AD⊂平面ADC，

∴平面ADC⊥平面DBC.

故选D.

5．答案：C

解析：由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，故A错误；由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故B错误；由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故C正确；由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m⊂α，故D错误．故选C.

6．答案：ABC

解析：两个平面所成二面角是直二面角，两个平面垂直，故A正确；一个平面垂直于另一个平面内的一条直线，即这条直线垂直于一个平面，所以经过这条直线的平面与另一个平面垂直，故B正确；一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，故C正确；

如图所示，

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1DCB1内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1DCB1与平面ABCD显然不垂直，故D不正确．故选ABC.

7．答案：a⊥β

解析：设α∩β＝m，

⇒b∥m，又因为a⊥b，所以a⊥m，

所以⇒a⊥β.

8．证明：(1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.

又BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC.

(2)由(1)可知，BC⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，

所以BC⊥AF.又AF⊥PC，PC∩BC＝C，所以AF⊥平面PBC.

又PB⊂平面PBC，所以AF⊥PB.

又AE⊥PB，AE∩AF＝A，所以PB⊥平面AEF.

又EF⊂平面AEF，所以EF⊥PB.

关键能力综合练

1．答案：D

解析：(1)设平面ABCD为平面α，点A1为平面α外一点，点A为平面α内一点，

此时，直线AA1垂直底面，过直线AA1的平面有无数多个与底面垂直．

(2)设平面ABCD为平面α，点B1为平面α外一点，点A为平面α内一点，此时，直线AB1与底面不垂直，过直线AB1的平面，只有平面ABB1A1垂直底面．

综上，过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有1个或无数个，故选D.

2．答案：A

解析：由面面垂直的性质定理易知选项A正确；若m∥α，n∥α，l⊥m，l⊥n，则直线l可能与平面α垂直，也可能与平面α平行，还有可能在平面α内，故B错误；根据m⊂β，n⊂α，α⊥β不能确定直线m，n的位置关系，故C错误；若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n，故D错误．

故选A.

3．答案：B

解析：取BC的中点D，连接AD，A1D，如图所示：

由题知：A1B＝A1C＝ ＝，又因为D为BC的中点，

所以A1D⊥BC，且A1D＝ ＝.

又因为AD⊥BC，所以∠ADA1为二面角A1­BC­A平面角．

因为sin ∠ADA1＝＝，∠ADA1为锐角，

所以∠ADA1＝45°.

故选B.

4．答案：D

解析：由PA⊥平面ABCD，因为PA⊂平面PAB，且PA⊂平面PAD，

所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，

又由BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC，

因为ABCD为矩形，所以AB⊥BC，且PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，

又因为BC⊂平面PBC，所以PBC⊥平面PAB，

同理可得CD⊥平面PAD，且CD⊥平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，

由ABCD为矩形，所以AB⊥AD，AB⊥PA且PA∩AD＝A，

可得AB⊥平面PAD，

又由AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

综上可得，共有5对相互垂直的平面．

故选D.

5．答案：B

解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC.又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC.因为AC∩AD＝A，所以BC⊥平面ACD.又BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD.

故选B.

6．答案：D

解析：如图所示：

因为AD∥BC，∠BAD＝90°，AD＝AB，所以四边形ABCD为直角梯形．

所以∠ABD＝∠ADB＝∠DBC＝45°.

又因为∠BCD＝45°，所以∠CDB＝90°，即CD⊥BD.

又因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD⊂平面BCD，CD⊥BD，

所以CD⊥平面ABD，

若平面ABC⊥平面ABD，那么CD⊂平面ABC，显然不成立，故A错误；

∵CD⊥平面ABD，

又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ADC，所以AB⊥平面ADC.

又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故D正确；

∵平面ABD⊥平面BCD，过点A作平面BCD的垂线AE，垂足落在BD上，显然垂线不在平面ABC内，所以平面ABC与平面BDC不垂直，故C错误，同理B也错误．

故选D.

7．答案：垂直

解析：因为AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，所以AD⊥平面BCDE.

因为BC⊂平面BCDE，所以AD⊥BC.

又BC⊥CD，CD∩AD＝D，所以BC⊥平面ACD.

又BC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ACD.

8．答案：45°

解析：

过A作AO⊥BD于点O.

∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角．

∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.

9．证明：由四边形ABCD为正方形，可得CD⊥AD.

又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥CD，PD⊥AD.

又∵PD∩AD＝D，∴CD⊥平面AQPD.

∴CD⊥PQ.

如图，取PD的中点E，连接QE.

∵PD∥QA，且QA＝PD，

∴DE∥AQ，且DE＝AQ.

∴四边形AQED是平行四边形．

∴QE∥AD.∴QE⊥PD.∴DQ＝QP.

设QA＝1，则在△DQP中，DQ＝QP＝，PD＝2.

∴DQ2＋QP2＝PD2.

∴∠PQD＝90°，即DQ⊥PQ.又CD⊥PQ，

又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.

∵PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.

10．证明：(1)∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴AA1⊥BC，

又∵AB⊥BC，AA1∩AB＝A，

∴BC⊥平面AA1B1B，又∵BC⊂平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面AA1B1B.

(2)过A作AD⊥A1B于D，

∵平面A1BC⊥平面AA1B1B，又平面A1BC∩平面AA1B1B＝A1B，AD⊂平面AA1B1B，

∴AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，

∴AD⊥BC，

又∵AA1⊥BC，AD⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，AA1∩AD＝A，

∴BC⊥平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，

∴AB⊥BC.

核心素养升级练

1．答案：DM⊥PC(或BM⊥PC，OM⊥PC等都可)

解析：可填DM⊥PC，

由ABCD为菱形，则AC⊥BD，

∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

又PA∩AC＝A，

∴BD⊥平面PAC，

又PC⊂平面PAC，

∴BD⊥PC，

又DM⊥PC，BD∩DM＝D，

所以PC⊥平面MBD，

又因PC⊂平面PCD，

所以平面MBD⊥平面PCD.

2．答案：

解析：如图所示，因为平面BDC⊥平面ABD，所以AB⊥平面BDC，CD⊥平面ABD，

可得AB⊥BC，CD⊥AD，取AC的中点O，则OA＝OB＝OC＝OD，

于是外接球的球心是O，OA＝AC，则OA2＝AC2.

又由AC2＝AB2＋BC2＝2AB2＋BD2＝1，

所以半径OA＝AC＝，

所以外接球的体积为V＝.

3．解析：(1)证明：∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.

又＝＝λ(0<λ<1)，

∴不论λ为何值，总有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.

又EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC.

(2)由(1)知，EF⊥BE.又平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD.

∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，

∴BD＝，AB＝tan 60°＝.

∴AC＝＝.

由AB2＝AE·AC得AE＝，

∴λ＝＝，

故当λ＝时，平面BEF⊥平面ACD.