高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积同步达标检测题

第八章　8.3　8.3.2

A组·素养自测

一、选择题

1．圆锥的轴截面是正三角形，那么，它的侧面积是底面积的(　D　)

A．4倍 B．3倍

C．倍 D．2倍

[解析]　设该圆锥轴截面正三角形的边长为2r，则圆锥的底面圆半径为r，母线长为2r，故S底＝πr2，S侧＝·2πr·2r＝2πr2，所以S侧＝2S底，即侧面积是底面积的2倍．故选D．

2．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面的周长为16，则该圆柱的体积为(　B　)

A．8π B．16π

C．27π D．36π

[解析]　设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则，解得．所以该圆柱的体积为V＝π×22×4＝16π．

3．圆锥的表面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为(　C　)

A．120° B．150°

C．180° D．240°

[解析]　设底面半径为r，母线长为l，则πrl＋πr2＝3πr2，∴l＝2r，∴θ＝＝π．

4．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为(　A　)

A．3 B．4

C．5 D．6

[解析]　由题可知V＝(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3．

5．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为(　C　)

A． B．

C．8π D．

[解析]　设球的半径为R，则截面圆的半径为，

∴截面圆的面积为S＝π()2＝(R2－1)π＝π，∴R2＝2，

∴球的表面积S＝4πR2＝8π．

二、填空题

6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是____．

[解析]　易知圆锥的母线长为2，设圆锥的底面半径为r，则2πr＝×2π×2，

∴r＝1，高h＝＝．

∴V圆锥＝πr2h＝π×＝．

7．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是____．

[解析]　设大球的半径为R，

则有πR3＝2×π×13，R3＝2，所以R＝．

8．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为__13__cm．

[解析]　如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12(cm)，

BC＝8－3＝5(cm)．

∴AB＝＝13(cm)．

三、解答题

9．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积．

[解析]　该组合体的表面积S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π．

该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝．

10．如图在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

[解析]　设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S．

则R＝OC＝2，AC＝4，

AO＝＝2．

如图所示易知△AEB∽△AOC，

∴＝，即＝，∴r＝1，

S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π．

∴S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π．

B组·素养提升

一、选择题

1．有粟若干，堆积在平地上，它底圆周长为12丈，高为1丈，问它的体积应为多少粟？如图，主人意欲卖掉该堆粟，已知圆周率约为3，一斛粟的体积约为2 700立方寸(单位换算：1立方丈＝106立方寸)，一斛粟米卖324钱，一两银子1 000钱，则主人卖后可得银子(　D　)

A．200两 B．400两

C．432两 D．480两

[解析]　由底面圆的周长为12丈，高为1丈，

得底面半径r＝≈＝2(丈)，

则体积V＝×πr2×h≈×3×22×1

＝4(立方丈)＝4×106(立方寸)，

故主人卖粟后可得银子为×＝480两．

2．已知各顶点都在一个球面上的正四棱锥的高为3，体积为6，则这个球的表面积为(　A　)

A．16π B．20π

C．24π D．32π

[解析]　设正四棱锥的高为h，底面边长为a，由V＝a2h＝a2＝6，得a＝．由题意知，球心在正四棱锥的高上，设球的半径为r，则(3－r)2＋()2＝r2，解得r＝2，则S球＝4πr2＝16π．故选A．

3．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若＝2，则＝(　C　)

A． B．2

C． D．

[解析]　设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，

则＝＝＝2，所以r1＝2r2，

又＋＝2π，则＝1，

所以r1＝l，r2＝l，

所以甲圆锥的高h1＝＝l，

乙圆锥的高h2＝＝l，

所以＝＝＝．

故选C．

4．如图所示的是一个封闭几何体的直观图，则该几何体的表面积为(　C　)

A．7π cm2 B．8π cm2

C．9π cm2 D．11π cm2

[解析]　由题图知该几何体是一个圆柱挖去一个半球所得的组合体，圆柱的底面直径与半球的直径均为2 cm，圆柱的高为3 cm，故圆柱一个底面的面积为π×2＝π(cm2)，圆柱的侧面积为2×π×3＝6π(cm2)，半球面面积为×4×π×2＝2π(cm2)，故该几何体的表面积为S＝π＋6π＋2π＝9π(cm2)．

二、填空题

5．(1)若一个正方体内接于表面积为4π的球，则正方体的表面积等于__8__．

(2)若一个球与棱长为a的正方体的各条棱相切，则球的表面积等于__2πa2__．

[解析]　(1)设正方体棱长为x，球半径为R，

则S球＝4πR2＝4π，

所以R＝1．

因为正方体内接于球，所以x＝2R＝2，

所以x＝，所以S正＝6x2＝6×2＝8．

(2)设球的半径为r，则2r＝a，

所以r＝，

所以球的表面积等于4π×2＝2πa2．

6．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为____．

[解析]　如图所示，在四棱锥V－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，也是圆柱下底面的中心，由四棱锥底面边长为，可得OC＝1．

设M为VC的中点，过点M作MO1∥OC交OV于点O1，则O1即为圆柱上底面的中心．

∴O1M＝OC＝，O1O＝VO．

∵VO＝＝2，∴O1O＝1．

可得V圆柱＝π·O1M2·O1O＝π×2×1＝．

三、解答题

7．盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？

[解析]　设取出小球后，容器中水面下降h cm，

两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，

此体积即等于它们的容器中排开水的体积V＝π×52×h，

所以＝π×52×h，

所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm．

8．已知四面体的各面都是棱长为a的正三角形，求它外接球的体积及内切球的半径．

[解析]　如图，设SO1是四面体S－ABC的高，则外接球的球心O在SO1上．

设外接球半径为R．

∵四面体的棱长为a，O1为正△ABC中心，

∴AO1＝×a＝a，

SO1＝＝＝a，

在Rt△OO1A中，R2＝AO＋OO＝AO＋(SO1－R)2，

即R2＝(a)2＋(a－R)2，解得R＝a，

∴所求外接球体积V球＝πR3＝πa3．

∴OO1即为内切球的半径，OO1＝a－a＝a，

∴内切球的半径为a．