高中数学6.2 平面向量的运算复习练习题

6．2.4　向量的数量积

必备知识基础练　

1．在边长为2的正三角形ABC中，·＝(　　)

A．1    B．－1

C．2    D．－2

2．已知a与b均为单位向量，且a与b的夹角为120°，则|a＋b|＝(　　)

A．2    B．C．    D．1

3．已知e1，e2是同一平面内互相垂直的两单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a与b夹角的余弦值为(　　)

A．    B．C．    D．

4．已知向量a，b均为单位向量，且a⊥b，则(a＋5b)·(3a－2b)＝(　　)

A．－7    B．7C．－13    D．13

5(多选)已知m，n是实数，a，b，c为向量，则下列运算中正确的有(　　)

A．(m－n)a＝ma－na

B．若ma＝mb，则a＝b

C．(a·b)·c＝a·(b·c)

D．(a＋b)·c＝a·c＋b·c

6．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，a＝2e1－e2，则|a|＝________．

7．在正方形ABCD中，E是AD的中点，则(＋)·＝________．

8．已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为60°.

(1)计算a·(a＋b)的值；

(2)若a·(a－kb)＝0，求实数k的值．

关键能力综合练　

1．已知a，b是两个互相垂直的单位向量，则向量a－2b在向量b上的投影向量为(　　)

A．b    B．－2bC．－b    D．－b

2．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a－3b|＝5，则a·b＝(　　)

A．2    B．－2C．1    D．－1

3．已知|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则|a＋2b|＝(　　)

A．    B．

C．    D．5

4．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝5，且|a＋b|＝6，则|a－b|＝(　　)

A．6    B．8C．36    D．64

5．(多选)设向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝1，则(　　)

A．a与b的夹角为60°

B．|a|2＋|b|2＝1

C．(a＋2b)·(2a＋b)＝2

D．a⊥b

6．已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a＋b)⊥b，则a与b的夹角为________．

7．已知A，B，C是单位圆O上的三点，且＝＋，则·＝________.

8．已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的最小值是__________，最大值是________.

9．已知平面向量a，b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝4.

(1)求|2a－b|；

(2)若a＋b与2a－kb垂直，求实数k的值．

10.已知|a|＝1，|b|＝2，且(2a＋b)·(4a－3b)＝－6.

(1)求a与b的夹角θ；

(2)求|2a－b|.

核心素养升级练　

1．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角．若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|＝(　　)

A．6    B．－6C．－8    D．8

2．设非零向量a和b的夹角是，且|b|＝|a＋b|，若t∈R，则的最小值为________．

3．已知两个不共线的向量a，b的夹角为θ，且|a|＝3，|b|＝1.

(1)若a－2b与a＋4b垂直，求tan θ；

(2)若θ＝，求|xa＋b|的最小值及对应的x的值，并指出此时向量a与xa＋b的位置关系．

6．2.4　向量的数量积

必备知识基础练

1．答案：C

解析：·＝||·||cos A＝2×2×cos ＝2.故选C.

2．答案：D

解析：因为a与b均为单位向量，且a与b的夹角为120°，所以|a＋b|＝＝＝＝1.故选D.

3．答案：D

解析：由题意，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，故a与b夹角的余弦值cos 〈a，b〉＝＝＝.故选D.

4．答案：A

解析：因为向量a，b均为单位向量，且a⊥b，所以|a|＝|b|＝1，a·b＝0，则(a＋5b)·(3a－2b)＝3a2－10b2＋13a·b＝3－10＝－7.故选A.

5．答案：AD

解析：A选项：(m－n)a＝ma－na，满足向量的运算法则，所以A正确；B选项：当m＝0时，ma＝mb，但是a，b不一定相等，所以B不正确；C选项：(a·b)·c表示与c共线的向量，a·(b·c)表示与a共线的向量，所以两个向量不一定相等，所以C不正确；D选项：(a＋b)·c＝a·c＋b·c，满足向量的数量积的运算法则，所以D正确．故选AD.

6．答案：

解析：因为e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，

所以|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝|e1|·|e2|cos 60°＝1×1×＝，

所以|a|＝＝＝ ＝ ＝.

7．答案：0

解析：

如图(＋)·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝2－2，因为||＝||，所以(＋)·＝0.

8．解析：(1)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝4＋2×4×cos 60°＝8.

(2)a·(a－kb)＝0，即a2－ka·b＝4－k×2×4×cos 60°＝4－4k＝0，∴k＝1.

关键能力综合练

1．答案：B

解析：因为a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a·b＝0，且|a|＝|b|＝1，所以(a－2b)·b＝a·b－2b2＝a·b－2|b|2＝－2，所以向量a－2b在向量b上的投影向量为·＝－2b.故选B.

2．答案：A

解析：因为|a|＝1，|b|＝2，|a－3b|＝5，所以|a－3b|2＝a2＋9b2－6a·b＝1＋36－6a·b＝25，解得a·b＝2.故选A.

3．答案：C

解析：由|a＋b|＝，可得(a＋b)2＝3，则|a|2＋2a·b＋|b|2＝3，将|a|＝1，|b|＝2代入可得：1＋2a·b＋4＝3，可得：a·b＝－1，则|a＋2b|＝ ＝＝＝，故选C.

4．答案：B

解析：因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝50＋2a·b＝36，所以a·b＝－7.因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝50＋2×7＝64，所以|a－b|＝8.故选B.

5．答案：BCD

解析：对AD，因为|a＋b|＝|a－b|，故(a＋b)2＝(a－b)2，即a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，故a·b＝0，故a与b的夹角为90°，故A错误，D正确；对B，因为|a＋b|＝1，故a2＋2a·b＋b2＝1，因为a·b＝0故|a|2＋|b|2＝1，故B正确；对C，(a＋2b)·(2a＋b)＝2a2＋5a·b＋2b2＝2(a2＋b2)＝2，故C正确；故选BCD.

6．答案：

解析：设a与b的夹角为θ，(a＋b)·b＝a·b＋b·b＝|a|×|b|cos θ＋|b|×|b|＝2|b|×|b|cos θ＋|b|×|b|＝0，cos θ＝－，又θ∈[0，π]，故θ＝.

7．答案：－

解析：因为＝＋，故2＝2＋2＋2||·||·cos ∠BOC，解得cos ∠BOC＝－，又∠BOC∈[0，π]，故∠BOC＝.故△OAB，△OBC均为边长为1的正三角形．所以·＝1×1×cos ＝－.

8．答案：－2　6

解析：

根据数量积的几何意义，·可以看作||和在上的投影向量的模的乘积，因为||＝2，所以当点P在点F处时数量积最小，最小为2×(－1)＝－2；当点P在点C处时数量积最大，最大为2×3＝6.

9．解析：(1)由题意a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×4×cos 120°＝－4，

|2a－b|＝ ＝＝＝4.

(2)由题意得，a·b＝|a|·|b|cos 〈a，b〉＝2×4×cos 120°＝－4，

因为a＋b与2a－kb垂直，

所以(a＋b)·(2a－kb)＝0，

所以2|a|2－ka·b＋2a·b－k|b|2＝0，

即8－k(－4)＋2×(－4)－k×42＝0，解得k＝0.

10．解析：(1)∵|a|＝1，|b|＝2，

由(2a＋b)·(4a－3b)＝－6化简得，

a·b＝＝1，

∴cos θ＝＝＝，

∵0≤θ≤π，∴θ＝.

(2)|2a－b|＝

＝

＝

＝2.

核心素养升级练

1．答案：D

解析：∵a·b＝|a||b|cos θ＝10cos θ＝－6，∴cos θ＝－，又θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴|a×b|＝|a||b|sin θ＝10sin θ＝10×＝8.

故选D.

2．答案：

解析：∵|b|＝|a＋b|，∴|b|2＝(a＋b)2，∴a2＝－2a·b，又∵向量a和b的夹角是，∴|a|2＝－2|a|·|b|·cos ，整理得：|b|＝|a|.∵()2＝＝＝＝，∴()2的最小值为，∴的最小值为.

3．解析：(1)∵a－2b与a＋4b垂直，

∴(a－2b)·(a＋4b)＝0，

∴a2＋2a·b－8b2＝0，

即|a|2＋2a·b－8|b|2＝0.

∵|a|＝3，|b|＝1，∴9＋6cos θ－8＝0，∴cos θ＝－.

∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝，∴tan θ＝＝－.

(2)当θ＝时，a·b＝|a|·|b|cos θ＝1×3×＝，

所以|xa＋b|2＝x2a2＋2xa·b＋b2＝x2|a|2＋2xa·b＋|b|2＝9x2＋2x×3×＋1＝9x2＋3x＋1，

∴x＝－＝－时，|xa＋b|的最小值为，

此时a·(xa＋b)＝xa2＋a·b＝x|a|2＋a·b＝9x＋3×＝0，

∴a与xa＋b垂直．