高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示同步训练题

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

必备知识基础练　

1．已知向量a＝(2，1)，b＝(－3，4)，则2a－b＝(　　)

A．(7，－2)    B．(1，－2)

C．(1，－3)    D．(7，2)

2．已知＝(1，－1)，C(0，1)，若＝2，则点D的坐标为(　　)

A．(－2，3)    B．(2，－3)

C．(－2，1)    D．(2，－1)

3．已知＝(1，－1)，＝(2，1)，＝(k－1，k)，若存在实数λ，使＝λ成立，则实数k的值是(　　)

A．－5    B．－C．5    D．

4．已知平面向量a＝(1，2x)，b＝(－2，3)，若a与b共线，则x＝(　　)

A.－    B．－C．    D．

5．在平行四边形ABCD中，＝(2，－4)，＝(3，1)，若CD的中点为E，则＝(　　)

A．(5，－3)    B．(3，－5)

C．(1，－4)    D．(4，－1)

6．(多选)下列两个向量，不能作为平面中一组基底的是(　　)

A.e1＝(1，2)，e2＝(4，－2)   

B．e1＝(1，2)，e2＝(0，0)

C．e1＝(1，2)，e2＝(2，4)   

D．e1＝(1，2)，e2＝(2，1)

7．已知向量a＝(－1，1)，b＝(m，2)，若存在实数λ，使得a＝λb，则m＝________．

8．已知a＝(3，x)，b＝(－1，2)，若a∥b，则2a＋3b＝________．

关键能力综合练　

1．设向量a＝(1，x－1)，b＝(x＋1，3)，则“a与b同向”的充要条件是(　　)

A．x＝2    B．x＝－2

C．x＝±2    D．x＝

2．已知三点A(1，－1)，B(a，3)，C(4，5)在同一直线上，则实数a的值是(　　)

A．1    B．4

C．3    D．不确定

3．已知P1(2，3)，P2(－1，4)，且| |＝2||，点P在线段P1P2的延长线上，则P点的坐标为(　　)

A．(－5，4)    B．(－，)

C．(4，－5)    D．(－4，5)

4．已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－1)，若(λa＋b)∥(a－2b)，则实数λ＝(　　)

A.    B．－

C．2    D．－2

5．已知＝(1，－2)，＝(－3，8)，＝(1，－3)，则(　　)

A．A，B，C三点共线    B．A，B，D三点共线

C．B，C，D三点共线    D．A，C，D三点共线

6．若P1(2，4)，P2(5，1)，且P是线段P1P2靠近P1的一个三等分点，则点P的坐标为(　　)

A．(2，1)    B．(2，2)

C．(3，1)    D．(3，3)

7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，k).若a∥(b＋2c)，则k＝________．

8．已知＝(0，3)，＝(1，2k＋1)，＝(1－k，－5)，且A，B，C三点共线，则实数k＝________．

9．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).

(1)求满足a＝mb－nc的实数m，n；

(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．

10．已知A(1，1)，B(3，－1)，C(a，b).

(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；

(2)若＝2，求点C的坐标．

核心素养升级练　

1．设向量a，b满足a＝(a，1)，b＝(2－b，1)(a，b>0)，且a∥b，则＋的最小值为(　　)

A．    B．2C．4    D．1

2．已知0<θ<π，向量a＝(sin θ，2cos2)，b＝(1，sinθ)，且a∥b，则θ＝________．

3．如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，OA⊥OC，OA＝2BC＝2OC，M为AB上靠近B的三等分点，OM交AC于D，P为线段BC上的一个动点．

(1)用和表示；

(2)设＝λ＋μ，求λ，μ的取值范围．

6．3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

必备知识基础练

1．答案：A

解析：因为a＝(2，1)，b＝(－3，4)，所以2a－b＝2(2，1)－(－3，4)＝(7，－2).故选A.

2．答案：D

解析：设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，即，解得，所以点D的坐标为(2，－1).故选D.

3．答案：C

解析：＝－＝(k－2，k＋1)，＝(－1，－2)，由于＝λ，所以(k－2，k＋1)＝λ(－1，－2)＝(－λ，－2λ)，所以⇒k＝5.故选C.

4．答案：A

解析：∵a与b共线，∴1×3－2x×(－2)＝0，解得x＝－.故选A.

5．答案：D

解析：＝＋＝＋＝(3，1)＋(1，－2)＝(4，－1).故选D.

6．答案：BC

解析：A，D选项，e1，e2不平行，可以作为基底；B选项，零向量和任意向量平行，所以e1，e2不能作为基底；C选项，2e1＝e2，所以e1，e2平行，不能作为基底．故选BC.

7．答案：－2

解析：因为a＝λb，则a∥b，所以－1×2－m＝0，得m＝－2.

8．答案：(3，－6)

解析：因为a＝(3，x)，b＝(－1，2)，所以由a∥b，有3×2＝(－1)×x，解得x＝－6，所以2a＋3b＝(6，－12)＋(－3，6)＝(3，－6).

关键能力综合练

1．答案：A

解析：a∥b⇔(x＋1)·(x－1)＝3⇔x＝±2，当x＝2时，a＝(1，1)，b＝(3，3)，a，b同向；当x＝－2时，a＝(1，－3)，b＝(－1，3)，a，b反向．故选A.

2．答案：C

解析：由题意得，＝(a－1，4)，＝(3，6)，由A，B，C三点共线，可得∥，故6(a－1)＝12⇒a＝3，故选C.

3．答案：D

解析：由题意得，＝2，设P(x，y)，则(2－x，3－y)＝2(－1－x，4－y)，∴2－x＝－2－2x，3－y＝8－2y，解得x＝－4，y＝5，故选D.

4．答案：B

解析：由已知得λa＋b＝(λ＋2，λ－1)，a－2b＝(－3，3)，又因为(λa＋b)∥(a－2b)，所以有3(λ＋2)＝－3(λ－1)，解得λ＝－.故选B.

5．答案：D

解析：对于A，因为＝(1，－2)，＝(－3，8)，且≠，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误，对于B，因为＝(－3，8)，＝(1，－3)，所以＝＋＝(－2，5)，因为≠，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误，对于C，因为＝(－3，8)，＝(1，－3)，且≠，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误，对于D，因为＝(1，－2)，＝(－3，8)，所以＝＋＝(－2，6)，因为＝(1，－3)，所以＝－2，所以与共线，因为与有公共端点C，所以A，C，D三点共线，所以D正确．

6．答案：D

解析：∵P是线段P1P2靠近P1的一个三等分点，∴＝；设P(x，y)，则＝(x－2，y－4)，＝(3，－3)，∴，解得，∴P(3，3).故选D.

7．答案：5

解析：向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，k)，则b＋2c＝(4，2k－2)，因为a∥(b＋2c)，则有1×(2k－2)－2×4＝0，解得k＝5，所以k＝5.

8．答案：－1或3

解析：因为＝(0，3)，＝(1，2k＋1)，＝(1－k，－5)且点A，B，C三点共线，所以＝(1，2k－2)，＝(－k，－6－2k)，则1×(－6－2k)－(2k－2)×(－k)＝0，解得k＝－1或k＝3，经验证k＝－1或k＝3均满足题意．

9．解析：(1)因为a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，且a＝mb－nc，

(3，2)＝a＝mb－nc＝m(－1，2)－n(4，1)＝(－m－4n，2m－n).

∴，解得.

(2)a＋kc＝(3，2)＋k(4，1)＝(3＋4k，2＋k).

2b－a＝2(－1，2)－(3，2)＝(－5，2).

∴－5(2＋k)－2(3＋4k)＝0，解得k＝－.

10．解析：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，

因为A，B，C三点共线，所以∥.

所以2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.

(2)因为＝2，

所以(a－1，b－1)＝2(2，－2).

所以解得

所以点C的坐标为(5，－3).

核心素养升级练

1．答案：B

解析：因为a＝(a，1)，b＝(2－b，1)且a∥b，所以1×a＝1×(2－b)，即a＋b＝2，因为a>0、b>0，所以＋＝(＋)(a＋b)＝(2＋＋)≥(2＋2 )＝2，当且仅当＝，即a＝b＝1时取等号；故选B.

2．答案：

解析：因为a∥b，所以sin2θ＝2cos2，所以4sin2cos2＝2cos2，因为0<θ<π，cos≠0，所以sin2＝，sin＝，因为0<θ<π，所以＝，θ＝.

3．解析：(1)因为M为AB上靠近B的三等分点，故可得＝＝(－)，

又CB∥OA，且CB＝OA，故＝，

则＝－＝－(－)＝＋

＝＋(＋)

＝＋(＋)＝＋.

即＝＋.

(2)根据题意，因为OA⊥OC，故以O为坐标原点，

建立如图所示平面直角坐标系：

设OA＝2，则A(2，0)，C(0，1)，B(1，1)，O(0，0)，

因为点P在CB上运动，故可设其坐标为(m，1)，0≤m≤1，

则＝(1，1)，＝(2，－1)，＝(m，1)，

由＝λ＋μ可得1＝2λ＋μm，1＝－λ＋μ，

则μ＝，λ＝μ－1，因为m∈[0，1]，则m＋2∈[2，3]，

故μ∈[1，]，λ∈[0，].