高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第2课时复习练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算第2课时复习练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

A 组·素养自测
一、选择题
1．已知正方形ABCD的边长为2，则eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝( C )
A．2eq \r(2) B．3
C．4 D．3eq \r(3)
[解析] eq \(AB,\s\up6(→))·(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝2×2eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝4，故选C．
2．已知e1、e2是两个单位向量，且夹角为eq \f(π,3)，则(e1－2e2)·(－2e1＋e2)＝( A )
A．－eq \f(3,2) B．－eq \f(\r(3),6)
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
[解析] e1、e2是两个单位向量，且夹角为eq \f(π,3)，
则(e1－2e2)·(－2e1＋e2)＝－2e12＋5e1·e2－2e22
＝－4＋5×1×1×eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2).
故选A．
3．(多选题)已知a，b，c是三个非零向量，则下列命题中，真命题是( ABC )
A．|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b
B．a，b反向⇔a·b＝－|a|·|b|
C．a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|
D．|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|
[解析] 需对四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．∵a·b＝|a|·|b|·cs θ，∴由|a·b|＝|a|·|b|及a，b为非零向量可得|cs θ|＝1，∴θ＝0或π，∴a∥b且以上各步均可逆，故命题A是真命题；若a，b反向，则a，b的夹角为π，∴a·b＝|a|·|b|cs π＝－|a|·|b|且以上各步均可逆，故命题B是真命题；当a⊥b时，将向量a，b的起点确定在同一点，则以向量a，b为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等．即有|a＋b|＝|a－b|.反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，所以有a⊥b，故命题C是真命题；当|a|＝|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|，故命题D是假命题．
4．已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝eq \r(3)，且|2a＋b|＝eq \r(7)，则向量a与向量a＋b的夹角为( B )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6) D．π
[解析] 由题意，得|2a＋b|2＝4＋4a·b＋3＝7，所以a·b＝0，所以a·(a＋b)＝1，且|a＋b|＝eq \r(a＋b2)＝2，故cs＝eq \f(a·a＋b,|a|·|a＋b|)＝eq \f(1,2)，所以＝eq \f(π,3).故选B．
5．P是△ABC所在平面上一点，若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))·eq \(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的( D )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
[解析] 由eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))得eq \(PB,\s\up6(→))·(eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PC,\s\up6(→)))＝0，即eq \(PB,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝0，∴PB⊥CA．
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心．
二、填空题
6．若e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角大小为 120° .
[解析] ∵e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则e1·e2＝|e1|·|e2|cs 60°＝eq \f(1,2)，
∴a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋2eeq \\al(2,2)＝－6＋eq \f(1,2)＋2＝－eq \f(7,2)，
|a|＝eq \r(2e1＋e\\al(2,2))＝eq \r(4e\\al(2,1)＋4e1·e2＋e\\al(2,2))＝eq \r(4＋4×\f(1,2)＋1)＝eq \r(7)，
|b|＝eq \r(－3e1＋2e22)＝eq \r(9e\\al(2,1)－12e1·e2＋4e\\al(2,2))＝eq \r(9－12×\f(1,2)＋4)＝eq \r(7)，∴cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝－eq \f(1,2)，
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
故答案为120°.
7．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝4，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝12，则|b|＝ eq \r(2) ；向量b在向量a上的投影向量为 eq \f(1,4)a .
[解析] a·b＝|a|·|b|cs＝4|b|cs 45°＝2eq \r(2)|b|，
又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(2a－3b)＝|a|2＋eq \f(1,2)a·b－3|b|2＝16＋eq \r(2)|b|－3|b|2＝12，
解得|b|＝eq \r(2)或|b|＝－eq \f(2\r(2),3)(舍去)．
向量b在向量a上的投影向量为|b|cs 45°·eq \f(a,|a|)＝eq \f(1,4)a.
8．(2022·全国甲卷)设向量a，b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，且|a|＝1，|b|＝3，则(2a＋b)·b＝_11__.
[解析] 设a与b的夹角为θ，因为a与b的夹角的余弦值为eq \f(1,3)，即cs θ＝eq \f(1,3)，
又|a|＝1，|b|＝3，所以a·b＝|a|·|b|cs θ＝1×3×eq \f(1,3)＝1，
所以(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2a·b＋|b|2＝2×1＋32＝11.
故答案为11.
三、解答题
9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)b))；
(3)(3b－2a)·(4a＋b)．
[解析] (1)a·b＝|a||b|cs θ＝10×12×cs 120°＝－60.
(2)(3a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)b))＝eq \f(3,5)(a·b)＝eq \f(3,5)×(－60)＝－36.
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968.
10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模．
[解析] (1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
所以4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.
因为|a|＝4，|b|＝3，
所以a·b＝－6，
所以|a＋b|＝eq \r(|a|2＋|b|2＋2a·b)
＝eq \r(42＋32＋2×－6)＝eq \r(13).
(2)因为a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
所以向量a在向量a＋b方向上的投影向量的模为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(a·a＋b,|a＋b|)))＝eq \f(10,\r(13))＝eq \f(10\r(13),13).
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知非零向量a，b满足eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))，cs〈a，b〉＝eq \f(1,4)，若b⊥(ta＋b)，则实数t的值为( D )
A．4 B．－4
C．eq \f(9,4) D．－eq \f(4,3)
[解析] ∵b⊥(ta＋b)，∴b·(ta＋b)＝0，即ta·b＋b2＝0，t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))cs〈a，b〉＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(b))2＝0，
3tcs〈a，b〉＝－1，t＝－eq \f(4,3).
故选D．
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \r(3)eq \(BD,\s\up6(→))，|eq \(AD,\s\up6(→))|＝1，则eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝( D )
A．2eq \r(3) B．3eq \r(2)
C．3eq \r(3) D．eq \r(3)
[解析] ∵eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \r(3)eq \(BD,\s\up6(→)))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \r(3)eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \r(3)·|eq \(BD,\s\up6(→))||eq \(AD,\s\up6(→))|·cs∠ADB＝eq \r(3)|eq \(AD,\s\up6(→))|2＝eq \r(3).
3．已知a，b均为单位向量，(2a＋b)·(a－2b)＝－eq \f(3\r(3),2)，则a与b的夹角为( A )
A．30° B．45°
C．135° D．150°
[解析] ∵(2a＋b)·(a－2b)＝2a2－4a·b＋a·b－2b2＝－3a·b＝－eq \f(3\r(3),2)，∴a·b＝eq \f(\r(3),2).
设a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\r(3),2).
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝30°.
二、填空题
4．已知|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(2π,3)，且a＋b＋c＝0，则|c|的值为 eq \r(7) .
[解析] 因为a＋b＋c＝0，所以c＝－a－b，c2＝(－a－b)2＝a2＋2a·b＋b2.因为|a|＝2，|b|＝3，向量a与b的夹角为eq \f(2π,3)，所以c2＝4＋2×2×3×cs eq \f(2π,3)＋9＝7，即|c|＝eq \r(7).
5．已知向量a，b满足|a－b|＝eq \r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝ eq \r(3) .
[解析] 解法一：因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，
则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，
又因为|a－b|＝eq \r(3)，即(a－b)2＝3，
则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝eq \r(3).
解法二：设c＝a－b，则|c|＝eq \r(3)，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，
由题意可得：(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，
整理得：c2＝b2，即|b|＝|c|＝eq \r(3).
故答案为：eq \r(3).
三、解答题
6．已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝2a＋3b，d＝ma－2b，其中m∈R.
(1)若c∥d，求实数m的值；
(2)若c⊥d，求实数m的值．
[解析] (1)由c∥d，设c＝λd，即2a＋3b＝λ(ma－2b)，
则2＝λm且3＝－2λ，
解得m＝－eq \f(4,3).
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，a·b＝3×2cs 60°＝3.
则c·d＝(2a＋3b)·(ma－2b)＝2ma2－6b2＋(3m－4)a·b
＝18m－24＋3(3m－4)＝27m－36＝0，
解得m＝eq \f(4,3).
C 组·探索创新
如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝ －eq \f(149,2) .
[解析] eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))||eq \(AB,\s\up6(→))|cs(180°－∠BAO)，
∵|eq \(OA,\s\up6(→))|cs(180°－∠BAO)＝－|eq \(OA,\s\up6(→))|cs ∠BAO
＝－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up6(→))|2，
同理，eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(BC,\s\up6(→))|2，eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)|eq \(CA,\s\up6(→))|2，
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))·eq \(CA,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)×(62＋72＋82)＝－eq \f(149,2).