人教A版 (2019)8.2 立体图形的直观图同步测试题

第八章　8.2　

A组·素养自测

一、选择题

1．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′＝(　D　)

A．45° B．135°

C．90° D．45°或135°

[解析]　在直观图中，由斜二测画法知∠x′O′y′＝45°或∠x′O′y′＝135°，即∠A′＝45°或∠A′＝135°，故选D．

2．AB＝2CD，AB∥x轴，CD∥y轴，已知在直观图中，AB的直观图是A′B′，CD的直观图是C′D′，则(　C　)

A．A′B′＝2C′D′　　　　　 B．A′B′＝C′D′

C．A′B′＝4C′D′ D．A′B′＝C′D′

[解析]　∵AB∥x轴，CD∥y轴，

∴AB＝A′B′，CD＝2C′D′，

∴A′B′＝AB＝2CD＝2(2C′D′)＝4C′D′．

3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　D　)

A．90°，90° B．45°，90°

C．135°，90° D．45°或135°，90°

[解析]　根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°．故选D．

4．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是(　C　)

A．△ABC是钝角三角形

B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形

C．△ABC是等腰直角三角形

D．△ABC是等边三角形

[解析]　将其还原成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，

AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，

即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．

故选C．

5．(2022·烟台高一检测)已知正三角形ABC的边长为，那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　如图所示，

直观图△A′B′C′的高为h′＝C′D′sin 45°＝CDsin 45°＝××sin 60°×sin 45°＝，

底边长为A′B′＝AB＝；

所以△A′B′C′的面积为：S＝A′B′·h′＝××＝．

二、填空题

6．如下图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是__10__．

[解析]　由斜二测画法，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2＝8，则AB＝＝10．

7．如图所示，一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____．

[解析]　如图，B′C′＝1，B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝．

故答案为．

8．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为__10__．

[解析]　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10．

三、解答题

9．如图所示，四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰直角三角形，O为AB的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

[解析]　在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变，在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，于是梯形A′B′C′D的面积为×(1＋2)×＝．

10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．

[解析]　(1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．

(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB．选择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO′＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm．

(4)成图．连接A′A、B′B、PA′、PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

B组·素养提升

一、选择题

1．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的(　C　)

[解析]　按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，将图形还原成原图形知选C．

2．如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　B　)

A．4＋4 B．4＋4

C．8 D．8

[解析]　由题可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°，

∴O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图，

则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2，

∴AD＝＝＝2，

∴原平面图形的周长为4＋4．

故选B．

3．(多选题)给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的是(　AD　)

A．角的水平放置的直观图一定是角

B．相等的角在直观图中仍相等

C．相等的线段在直观图中仍然相等

D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行

[解析]　由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴D对，A对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴BC错．

4．(多选题)水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知B′C′＝4，A′C′＝3，B′C′∥y′轴，则△ABC中以下说法正确的是(　ACD　)

A．△ABC是直角三角形 B．AC长为6

C．BC长为8 D．AB边上的中线长为

[解析]　由斜二测画法规则知AC⊥BC，即△ABC为直角三角形，其中AC＝3，BC＝8，所以AB＝，AB边上的中线长度为．故选ACD．

二、填空题

5．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是__AC__．

[解析]　画出原图形如图所示，△ABC为直角三角形，显然，AC边最长．

6．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC用斜二测画法得到的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为__6__．

[解析]　作线段C′D∥y′，交x′轴于点D，

则C′D＝＝＝3，

所以边AB上的高为2C′D＝6．

故答案为6．

三、解答题

7．如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积．

[解析]　画出平面直角坐标系xOy，使点A与原点O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2，取AC的中点E，连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形如图所示，

易知四边形ABCD为平行四边形．

∵AD＝2，AC＝，

∴S▱ABCD＝2×＝2，

即原图形的面积为2．

8．用斜二测画法画出底面边长为1.4 cm高为0.9 cm的正四棱锥的直观图．

[解析]　(1)画轴，如图1画x′轴，y′轴，z′轴使得∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．

(2)画底面以点O′为中心，在x′轴上画MN＝1.4 cm，在y′轴上画PQ＝0.7 cm，分别过点M，N作y′轴的平行线，过点P，Q作x′轴的平行线，设它们的交点分别为ABCD，则四边形ABCD就是该棱锥的底面．

(3)画高确定顶点，在z′轴上截取O′S＝0.9 cm．

(4)连线成图，连接SA，SB，SC，SD(注意区别实线和虚线)，去掉辅助线，就得到了正四棱锥的直观图，如图2所示．