必修 第二册第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图导学案

8.2 立体图形的直观图

【学习目标】

【自主学习】

一．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

二．用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

(1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可.

(2)画z′轴，z′轴过点O′，且与x′轴的夹角为90°，并画出高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.

(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.

三．几何体直观图的画法规则

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的____和____都不变.

注意：在直观图中“变”的量与“不变”量

(1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变；

(2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是垂直关系有变化)；

(3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化.

斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变.

【小试牛刀】

1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．

(1)原来相交的仍相交． (　　)

(2)原来垂直的仍垂直． (　　)

(3)原来平行的仍平行． (　　)

(4)原来共点的仍共点． (　　)

2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个(　　)

A．①②　　　 B．①②③

C．②⑤ D．③④⑤

【经典例题】

题型一　画水平放置的平面图形的直观图

点拨：平面图形的直观图的技巧

1.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.

2.画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段平行性不变，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.

例1 如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．

【跟踪训练】1 画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图.

题型二　画空间几何体的直观图

点拨：简单几何体直观图的画法规则：

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系.

(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.

(4)连线成图.

例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCD－A′B′C′D′的直观图.

【跟踪训练】2 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)

题型三　直观图的还原与计算

点拨：

直观图的还原技巧：

由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．

直观图与原图形面积之间的关系：

若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．

例3如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　　)

A．1　　　　B．　　　　C．2　　　　D．4

【跟踪训练】3如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′轴，则原平面图形的面积为____.

【当堂达标】

1.利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　　D

2.利用斜二测画法画一个水平放置的平行四边形的直观图，得到的直观图是一个边长为1的正方形(如图)，则原图形的形状是(　　)

直观图

3.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上,则圆柱的高应画成 (　　)

A.平行于z轴且大小为10 cm       B.平行于z轴且大小为5 cm

C.与z轴成45°且大小为10 cm      D.与z轴成45°且大小为5 cm

4．如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)

A．a2 B．2a2　　　

C．a2　　　 D．2a2

5．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________.

6．(一题两空)在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2.

7．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．

【课堂小结】

【参考答案】

【自主学习】

平行性  长度

【小试牛刀】

1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√

2.C解析:由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．

【经典例题】

例1 　解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图：

因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝.

【跟踪训练】1  解　(1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′、A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图.

(3)擦去坐标轴得直观图△A′B′C′.

例2 解  (1)画轴.如图①所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画底面.以点O为中点，在x轴上取线段MN，使MN＝4 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝ cm.分别过点M和点N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A、B、C、D，四边形ABCD就是长方体的底面ABCD.

(3)画侧棱，过A、B、C、D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′、BB′、CC′、DD′.

(4)成图.顺次连接A′、B′、C′、D′，并加以整理(擦掉辅助线，将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图②).

【跟踪训练】2解 画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°.

(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF.

(3)画侧棱．过A、B、C、D、E、F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′、FF′都等于侧棱长2 cm.

(4)成图．顺次连接A′、B′、C′、D′、E′、F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．

例3 C解由题图知，△OAB为直角三角形．∵O′B′＝，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝，O′A′＝2.∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，∴S△OAB＝××4＝2.选C．

【跟踪训练】3  36 在直观图中，设B′C′与y′轴的交点为D′，则易得O′D′＝3，所以原平面图形为一边长为6，高为6的平行四边形，所以其面积为6×6＝36.

【当堂达标】

1.C 解析 正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1．

2.A解析：因为直观图中正方形的对角线为，所以在平面图形中平行四边形的高为2，只有A项满足条件，故A正确．

3.A解析：选A.平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.

4.B解析：原图是一个平行四边形，其中一边长为a，该边上的高为2a，所以其面积为S＝2a2.

5.45°或135°　解析：因为∠A的两边平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，

按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.

6.矩形　8　解析：由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．

7.10 解析：由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2.故原四边形OPQR的周长为10.