高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.2 立体图形的直观图学案设计，共11页。

美术与数学，一个属于艺术，一个属于科学，看似毫无关系，但事实上这两个学科之间有着千丝万缕的联系，在美术画图中，空间图形或实物在画板上画得既富有立体感，又能表达出各主要部分的位置关系和度量关系．
问题：在画板上画实物图时，其中的直角在图中一定画成直角吗？
知识点1 水平放置的平面图形的直观图画法
1．斜二测画法
我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．
2．平面图形直观图的画法及要求
1．相等的角在直观图中还相等吗？
[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．
(1)原来相交的仍相交．( )
(2)原来垂直的仍垂直．( )
(3)原来平行的仍平行．( )
(4)原来共点的仍共点．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．长方形的直观图可能为下图中的哪一个( )
A．①② B．①②③
C．②⑤ D．③④⑤
C [由斜二测画法知，平行线依然平行，但是直角不再是直角，所以②⑤正确．]
3．梯形的直观图是( )
A．梯形 B．矩形
C．三角形 D．任意四边形
A [斜二测画法中平行性保持不变，故梯形的直观图仍是梯形．]
4．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边平行于x轴、y轴，则在直观图中，∠A′＝________．
45°或135° [因为∠A的两边平行于x轴、y轴，
故∠A＝90°，在直观图中，
按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，
即∠A′＝45°或135°．]
知识点2 空间几何体直观图的画法
(1)与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，直观图中与之对应的是z′轴；
(2)平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；
(3)已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．
(4)成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
2．空间几何体的直观图唯一吗？
[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同．
5．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按1∶500的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
C [由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，知长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm，0.5 cm，2 cm,1.6 cm．]
类型1 画平面图形的直观图
【例1】 (对接教材P108例1)(1)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________．
(2)用斜二测画法画出图中五边形ABCDE的直观图．
(1)eq \f(\r(2),2) [正方形的直观图A′B′C′D′如图：
因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，
所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝eq \f(\r(2),2)．]
(2)[解] 画法：①在下图①中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H．
②在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°．
③在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，
O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝eq \f(1,2)OE，
分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝eq \f(1,2)GA，H′D′＝eq \f(1,2)HD；
④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．
① ② ③
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
eq \([跟进训练])
1．画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图①②所示．
(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝eq \f(1,2)OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC．连接B′C′，如图②．
(3)擦去辅助线，所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③．
类型2 画空间几何体的直观图
【例2】 画正六棱柱(底面是正六边形，侧棱垂直于底面)的直观图．(底面边长尺寸不作要求，侧棱长为2 cm)
[解] 画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°．
(2)画底面．根据x′轴，y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF．
(3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长2 cm．
(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图．
画空间几何体时，首先按照斜二测画法规则画出几何体的底面直观图，然后根据平行于z轴的线段在直观图中长度保持不变，画出几何体的各侧面，所以画空间多面体的步骤可简单总结为：
eq \x(画轴)―→eq \x(画底面)―→eq \x(画侧棱)―→eq \x(成图)
eq \([跟进训练])
2．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm，画出此几何体的直观图．
[解] (1)画轴．如图①所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°．
(2)画圆柱的下底面．在x轴上取A，B两点，使AB＝3 cm，且OA＝OB，选择椭圆模板中适当的椭圆且过A，B两点，使它为圆柱的下底面．
(3)在Oz上截取OO′＝4 cm，过点O′作平行于轴Ox的轴O′x′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．
(4)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′＝3 cm．
(5)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改成虚线)得到此几何体的直观图，示意图如图②所示．
① ②
类型3 直观图的还原与计算
【例3】 (1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝eq \r(2)，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B．eq \r(2) C．2eq \r(2) D．4eq \r(2)
① ②
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝eq \f(2,3)C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1．试画出原四边形，并求原图形的面积．
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？
[提示] 根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．
2．若尝试与发现1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？
[提示] 由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝10．
3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是哪个？
[提示] 由直观图可知△ABC是以∠B为直角的直角三角形，所以斜边AC最长．
(1)C [由题图知，平面图形△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝eq \r(2)，∠A′O′B′＝45°，∴A′B′＝eq \r(2)，O′A′＝2．
∴在原△OAB中，OB＝eq \r(2)，OA＝4，
∴S△OAB＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×4＝2eq \r(2)．选C．]
(2)[解] 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2．
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2．
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2．连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2．
所以面积为S＝eq \f(2＋3,2)×2＝5．
1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？
[解] 由(1)中直观图可得S△O′A′B′＝eq \f(1,2)×eq \r(2)×eq \r(2)＝1，
原图形面积为S△OAB＝2eq \r(2)．所以eq \f(S△O′A′B′,S△OAB)＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4)．
2．本例(2)中的条件改为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求原图形的面积．
[解] 如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以BE＝eq \f(\r(2),2)．
而四边形AECD为矩形，AD＝1，所以EC＝AD＝1．
所以BC＝BE＋EC＝eq \f(\r(2),2)＋1．
由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
① ②
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
所以原图形的面积为S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2)．
如何将直观图还原为平面图形？直观图与原图形面积之间有什么关系？
[提示] 1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图形面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝eq \f(\r(2),4)S或S＝2eq \r(2)S′．利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
eq \([跟进训练])
3．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )
A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋eq \r(3)) cm D．2(1＋eq \r(2)) cm
A [根据直观图的画法，可得原几何图形如图所示，四边形OABC为平行四边形，且OB＝2eq \r(2) cm，OA＝1 cm，AB＝3 cm，从而四边形OABC的周长为8 cm．]
1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是( )
A B C D
C [正方形的直观图应是一个内角为45°的平行四边形，且相邻的两边之比为2∶1，故选C．]
2．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边上的一点，且D′C′A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
C [由题意得，原△ABC的平面图如图所示，其中，AD⊥BC，BD>DC，∴AB>AC>AD，∴△ABC的AB，AD，AC三条线段中，最长的是AB，最短的是AD．故选C．]
3．如图所示，四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法画出这个梯形的直观图O′A′B′C′，则梯形O′A′B′C′的高为( )
A．eq \f(\r(2),4) B．eq \f(\r(2),3) C．eq \f(\r(2),2) D．eq \r(2)
A [因为四边形OABC是上底为1，下底为3，底角为45°的等腰梯形，所以等腰梯形OABC的高为1，面积S＝eq \f(1,2)×(1＋3)×1＝2，所以等腰梯形OABC的直观图的面积S′＝2×eq \f(\r(2),4)＝eq \f(\r(2),2)．设梯形O′A′B′C′的高为h，则eq \f(1,2)×(1＋3)×h＝eq \f(\r(2),2)，解得h＝eq \f(\r(2),4)．故选A．]
4．在如图所示的直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系中原四边形OABC为________(填具体形状)，其面积为________cm2．
矩形 8 [由斜二测画法规则可知，在四边形OABC中，OA⊥OC，OA＝O′A′＝2 cm，OC＝2O′C′＝4 cm，所以四边形OABC是矩形，其面积为2×4＝8(cm2)．]
5．如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
10 [由直观图可知，原图形是矩形OPQR，且OP＝3，OR＝2．
故原四边形OPQR的周长为10．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
(1)斜二测画法的内容是什么？
(2)如何用斜二测画法画平面图形或空间几何体的直观图？
(3)如何将直观图还原为平面图形？直观图的面积与原图形的面积之间有什么关系？
学 习 任 务
核 心 素 养
1．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)
2．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图．(难点)
通过学习空间几何体直观图的画法，培养直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养．