高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形第2课时同步测试题

第八章　8.1　第2课时

A组·素养自测

一、选择题

1．下列几何体中不是旋转体的是(　D　)

[解析]　由旋转体的概念可知，选项D不是旋转体．

2．下列说法中正确的是(　C　)

①过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆；

②以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，半圆的直径叫做球的直径；

③球面上任意三点可能在一条直线上；

④球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段．

A．①②　　　　 B．②③　　　　

C．②④　　　　 D．①③④

[解析]　由球的结构特征可知②④正确．

3．(多选题)下列命题中正确的是(　CD　)

A．矩形绕任何一条直线旋转都可以围成圆柱

B．圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的直线

C．圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线

D．矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱

[解析]　在A中，绕矩形的一条对角线旋转形成的几何体是有公共底面的两个圆锥的组合体，不是圆柱，故A错误；在B中，圆柱的母线是连接圆柱上底面上一点和下底面上一点的线段，且这条线段与轴平行，故B错误；在C中，圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线，故C正确；在D中，由旋转的性质得矩形任意一条边所在的直线都可以作为轴，其他边绕其旋转形成圆柱，故D正确．故选CD．

4．如图所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的(　A　)

[解析]　因为简单组合体为一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应为一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B、D，再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C，故选A．

5．图中最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是(　D　)

A．(1)(2) B．(1)(3)

C．(1)(4) D．(1)(5)

[解析]　圆锥除过轴的截面外，其他截面截圆锥得到的都不是三角形．

二、填空题

6．以下说法中：

①圆台上底面的面积与下底面的面积之比一定不等于1；

②矩形绕任意一条直线旋转都可以围成圆柱；

③圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径；

④圆台的上下底面不一定平行，但过圆台侧面上每一点的母线都相等．

其中正确的序号为__①__．

[解析]　圆台上、下底面不等，所以面积比不等于1，所以①正确；矩形绕其一边所在直线旋转才可以围成圆柱，所以②不正确；圆锥母线不一定大于底面直径，所以③不正确；圆台的上、下底面一定平行，所以④不正确．

7．矩形的两相邻边长分别为3 cm和4 cm，以一边所在的直线为轴旋转，则所形成的圆柱的底面积为__16π_cm2或9π_cm2__．

[解析]　当以3 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为4 cm，底面积为16π cm2；

当以4 cm长的一边所在直线为轴旋转时，得到的圆柱的底面半径为3 cm，底面积为9π cm2．

8．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为__2__．

[解析]　设球心到平面的距离为d，截面圆的半径为r，则πr2＝π，∴r＝1．设球的半径为R，则R＝＝，故球的直径为2．

三、解答题

9．如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．

[解析]　先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：

10．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积．

[解析]　如图轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°．在Rt△SOA中，AO＝SO·tan 30°＝(cm)．

SA＝＝＝(cm)．

所以S△ASB＝SO·2AO＝(cm2)．

所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2．

B组·素养提升

一、选择题

1．如图，将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是(　D　)

A．圆锥

B．圆锥和球组成的简单组合体

C．球

D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体

[解析]　将阴影部分图形绕图示直线l旋转一周所得的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单组合体．

2．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体包括(　D　)

A．一个圆台、两个圆锥   B．两个圆台、一个圆柱

C．两个圆台、一个圆柱   D．一个圆柱、两个圆锥

[解析]　如图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边．以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥．故选D．

3．如果把地球看成一个球体，则地球上北纬60°纬线长和赤道线长的比值为(　C　)

A．4∶5　　　　　　　　　 B．3∶4 

C．1∶2 D．1∶4

[解析]　设赤道所在圆的半径为R，北纬60°所在圆的半径为r，由纬度定义可知，cos 60°＝＝．故所求比值即为两个圆半径之比值1∶2．

4．(多选题)(2022·山东省枣庄市模拟)在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的四面体的以下判断中，正确的是(　CD　)

A．不能构成每个面都是等边三角形的四面体

B．不能构成每个面都是直角三角形的四面体

C．能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体

D．能构成三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形的四面体

[解析]　如图所示的正方体ABCD－EFGH，

四面体E－BDG的每个面都是等边三角形，故A错误；

四面体E－ABC的每个面都是直角三角形，故B错误；

四面体E－ABD的三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形，故C正确；四面体G－ABD的三个面为不都全等的直角三角形，一个面为等边三角形，故D正确．

二、填空题

5．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是__4__cm．

[解析]　如图所示，

由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π，

则该小圆的半径r＝6，其中∠ABO＝30°，

所以该地球仪的半径R＝＝4 cm．

6．已知球的外切圆台上、下底面半径分别为r，R，则圆台的高为__2__，球的半径为____．

[解析]　圆台的轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得梯形腰长为R＋r，梯形的高即球的直径，即＝2，球的半径为．

三、解答题

7．一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2．

(1)求圆台的高；

(2)求截得此圆台的圆锥的母线长．

[解析]　(1)如图，过圆台的轴作截面，则截面为等腰梯形ABCD，作AM⊥BC于点M，连接O1O．

由已知可得上底面圆半径O1A＝2 cm, 下底面圆半径OB＝5 cm，且腰长AB＝12 cm，所以AM＝＝3(cm)，即圆台的高为3 cm．

(2)延长BA，OO1，CD交于点S，设截得此圆台的圆锥的母线长为l，则由△SAO1∽△SBO，可得＝，

所以l＝20(cm)．即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm．

8．如图所示，圆锥底面圆的半径OA＝6，轴截面的顶角∠ASB是直角，过两条母线的截面SCB截去底面圆周的，求截面的面积．

[解析]　由题意知，轴截面顶角∠ASB＝90°，OA＝6，

∴SA＝SB＝SC＝6．如图，连接OB，OC，作SD⊥BC于D．

∵弧BC的长为底面圆周长的，

∴∠BOC＝×360°＝60°．

∴OB＝OC＝BC＝6．

∴SD＝＝＝3．

∴S△SCB＝×6×3＝9．

∴截面面积为9．