高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行精练

第八章立体几何初步

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.3　平面与平面平行

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.(多选题)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是(　　)

A.存在一条直线a,a∥α,a∥β

B.存在一条直线a,a⊂α,a∥β

C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ

D.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α

答案CD

解析对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.

若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.

所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;

对于选项B,存在一条直线a,a⊂α,a∥β,则α∥β或α与β相交.

若α∥β,则存在一条直线a,a⊂α,a∥β.

所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;

对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;

对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,则α∥β,

所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.

2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是              (　　)

A.矩形 B.菱形 

C.平行四边形 D.正方形

答案C

解析如

图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.

3.

如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是(　　)

A.平面 B.直线

C.线段,但只含1个端点 D.圆

答案C

解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,

∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),

则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).

4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有 (　　)

A.BD1∥GH

B.BD∥EF

C.平面EFGH∥平面ABCD

D.平面EFGH∥平面A1BCD1

答案D

解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.

5.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是(　　)

A.l∥β,l⊂α⇒α∥β

B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β

C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β

D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β

答案D

解析如

图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB⊂平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF⊂平面BC1,B1C1⊂平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD⊂平面AC,B1C1⊂平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.

6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.

其中正确结论的序号是　　　　　. 

答案①②③④

解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.

7.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则=　　　　　. 

答案

解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',

从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',

.

8.(2021吉林长春第二十九中学高一期中)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.

(1)求证:GH∥平面ABC;

(2)求证:平面EFA1∥平面BCHG.

证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,

因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,

所以GH∥B1C1.

又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.

因为GH⊄平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以GH∥平面ABC.

(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.

又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,

所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.

所以A1E∥BG.

因为EF∥BC,EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,

所以EF∥平面BCHG.

因为A1E∥BG,A1E⊄平面BCHG,BG⊂平面BCHG,

所以A1E∥平面BCHG.

又因为EF,A1E⊂平面EFA1,且EF∩A1E=E,

所以平面EFA1∥平面BCHG.

9.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.

证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,

∴MQ∥AD.

同理NQ∥BP.

而BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC,

∴NQ∥平面PBC.

∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,

∴MQ∥BC,而BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC,

∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.

10.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

证明如下.

∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,

∴QB∥PA.

∵P,O分别为DD1,DB的中点,

∴D1B∥PO.

∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.

又D1B∩QB=B,

∴平面D1BQ∥平面PAO.

关键能力提升练

11.

如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为(　　)

A.2 B.2

C.2 D.4

答案C

解析由

题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=,所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=2,EF=2,故截面面积为2.

12.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有(　　)

A.BM∥平面DE

B.CN∥平面AF

C.平面BDM∥平面AFN

D.平面BDE∥平面NCF

答案ABCD

解析展开图可以折成如图①所示的正方体.

①

②

在正方体中,连接AN,如图②所示.

∵AB∥MN,且AB=MN,

∴四边形ABMN是平行四边形.

∴BM∥AN.

∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,

∴AB正确;

③

如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.

13.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则 (　　)

A.BF∥平面ACGD

B.CF∥平面ABED

C.BC∥FG

D.平面ABED∥平面CGF

答案A

解析如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,

则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,

∴DE∥FM,且DE=FM.

∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,

∴AB∥DE,∴AB∥FM.

又AB=DE,∴AB=FM,

∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.

又BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,

∴BF∥平面ACGD.故选A.

14.已知a和b是异面直线,且a⊂平面α,b⊂平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是　　　　　. 

答案平行

解析在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ.

设γ∩β=l,则l⊂β.∵a∥β,∴a∥l,∴l∥α.

又b∥α,

∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.

15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为3,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=　　　　. 

答案2

解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,

平面ABCD∩平面PQNM=PQ,

平面A1B1C1D1∩平面PQNM=MN,

所以MN∥PQ,

又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.

又因为AP=1,所以,

所以PQ=AC=×3=2.

16.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:

(1)GE∥平面BB1D1D;

(2)平面BDF∥平面B1D1H.

证明(1)

取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=B1C1.

因为BE∥B1C1,且BE=B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.

因为OB⊂平面BDD1B1,GE⊄平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.

(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1⊄平面BDF,BD⊂平面BDF,

所以B1D1∥平面BDF.

因为HD1⊄平面BDF,BF⊂平面BDF,

所以HD1∥平面BDF.

又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.

学科素养创新练

17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.

(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;

(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE?

(1)证明因为E,F分别为PD,AD的中点,

所以EF∥PA.

因为EF⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.

又因为AD=2BC,F为AD的中点,所以AF=BC.

又因为AF∥BC,所以四边形ABCF是平行四边形,所以CF∥AB.

因为CF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CF∥平面PAB.

又因为EF⊂平面CEF,CF⊂平面CEF,EF∩CF=F,

所以平面CEF∥平面PAB.

(2)解连接BD,设AC∩BD=O,连接OE.

因为PB∥平面CEA,PB⊂平面PDB,平面CEA∩平面PDB=OE,

所以OE∥PB,所以.

在梯形ABCD中,AD∥BC,

所以△AOD∽△COB.

又AD=2BC,所以,

所以,

所以E为线段PD上靠近P点的三等分点.