数学人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行优质教案设计

这是一份数学人教A版 (2019)8.5 空间直线、平面的平行优质教案设计，共11页。教案主要包含了类题通法，巩固练习1，巩固练习2，巩固练习3，设计意图等内容，欢迎下载使用。

本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第五节《空间直线、平面的平行》。以下是本节的课时安排：
上一节我们知道了如何证明线面平行及线面平行的性质，本节课继续研究两个平面平行，即通过两个平面没有公共点而得到两个平面平行，由于平面的无限延展，很难去判断平面与平面是否有公共点，因此很难直接利用定义判断，那应该如何简化平面与平面平行的判定方法进入本节课。
1. 掌握空间平面与平面平行的判定定理，并能应用这个定理解决问题，培养逻辑推理的核心素养；
2.理解平面和平面平行的性质定理，提升直观想象的核心素养。
1.重点：空间平面与平面平行的判定定理和性质定理
2.难点：应用平面与平面平行的判定定理和性质定理解决问题
（一）新知导入
贴瓷砖的工人在检验地面是否水平时，只需将水准器交叉放两次，若水准器的气泡都居中就能判定地面是水平的.
【问题】 (1)这个实例给出了判断两平面平行的一种怎样的方法？
(2)若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行吗？
【提示】 (1)在一个平面内找两条相交线，分别平行于另一个平面即可.
(2)不一定，这两个平面也可能相交.
（二）平面与平面平行
知识点一 平面与平面平行的判定定理
【探究1】三角板的一条边所在平面与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
【提示】 不一定.
【探究2】三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平面与平面α平行吗？
【提示】 平行.
【探究3】如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行，那么这两个平面平行吗？
【提示】 平行
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1.若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行.(×)
2.若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行.(√)
3.若α∥β，β∥γ，则α∥γ.(√)
4.若a⊂α，α∥β，则a∥β.(√)
知识点二 平面与平面平行的性质定理
【探究1】如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面吗？
【提示】一个平面内的直线必平行另一个平面（无公共点）
【探究2】如果两个平面平行，那么分别在两个平面的直线是什么位置关系？
【提示】一个平面内的直线与另一个平面内的直线没有公共点，它们或者是异面直线，或者是平行直线。
【探究3】如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行吗？
【提示】当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线共面且无公共点，所以两条交线平行，
拓展：常用的面面平行的性质：
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面；
(2)平行于同一个平面的两个平面平行；
(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的线段长成比例；
(4)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
【辩一辩】判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．( )
(2)若α∥β，则平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面β.( )
(3)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线异面．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
（三）典型例题
1.平面与平面平行的判定
例1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，
求证：平面MNP∥平面A1BD.
证明：如图所示，连接B1D1、B1C.
∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴PN∥B1D1.
又B1D1∥BD，∴PN∥BD.
又PN⊄平面A1BD，∴PN∥平面A1BD.
同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD.
【类题通法】判定平面与平面平行的常用方法
(1)定义法：证明两个平面没有公共点，通常采用反证法．
(2)利用判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．证明时应遵循先找后作的原则，即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．
【巩固练习1】已知四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明：因为PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，所以MQ∥AD，NQ∥BP，
而BP⊂平面PBC，NQ⊄平面PBC，所以NQ∥平面PBC，
又因为四边形ABCD为平行四边形，所以BC∥AD，
所以MQ∥BC.而BC⊂平面PBC，MQ ⊄平面PBC，
所以MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PBC.
2.平面与平面平行的性质
例2.如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于点B，A和D，C，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.
证明：如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，BD，AC.
因为AE∥CD，所以AE，CD确定平面AEDC.
则平面AEDC∩α＝DE，平面AEDC∩β＝AC，因为α∥β，所以AC∥DE.
又P，N分别为AE，CD的中点，
所以PN∥DE，PN⊄α，DE⊂α，所以PN∥α.
又M，P分别为AB，AE的中点，
所以MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α.
所以MP∥α，因为MP∩PN＝P，所以平面MPN∥α.
又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面α.
【类题通法】 1.面面平行性质定理的关键
(1)成立的条件：两平面平行，第三个平面与这两个平面均相交．
(2)定理的实质：面面平行⇒线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由定理可知，两条交线平行，体现了转化思想与判定定理交替使用，可实现线面、线线、面面平行间的相互转化．
2．应用平面与平面平行性质定理的基本步骤
【巩固练习2】如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长．
(1)证明：因为PB∩PD＝P，所以直线PB和PD确定一个平面γ，
则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，所以AC∥BD.
(2)解：由(1)得AC∥BD，所以eq \f(PA,AB)＝eq \f(PC,CD)，所以eq \f(4,5)＝eq \f(3,CD)，
所以CD＝eq \f(15,4)(cm)，所以PD＝PC＋CD＝eq \f(27,4)(cm)．
3.平行关系的综合应用
例3.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.
求证：MN∥平面AA1B1B.
证明：如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，
因为MP∥BB1，所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(CP,PB).
因为BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，
所以eq \f(CM,MB1)＝eq \f(DN,NB)，所以eq \f(CP,PB)＝eq \f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB.
因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B.
因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B.所以MP∥平面AA1B1B.
又因为MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B.
因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B.
【类题通法】解决平行关系的综合问题的方法
(1)在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质．
(2)要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的性质，实现相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．
【巩固练习3】如图，正方体的棱长为2， 是棱的中点， 是侧面内一点，若平面 ，则的长度的范围为__________.
【解析】如图所示：
分别取的中点M，N，连接EM，EN，MN，
因为E为AB的中点，所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，所以平面平面，
又是侧面内一点，且平面，所以点F的轨迹为线段MN，
故EF的最小值为,最大值为，
所以的长度的范围为，
【答案】
（四）操作演练 素养提升
1.下列命题中正确的是( )
A.一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行
D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行
2.P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC等于( )
A．2∶25 B．4∶25 C．2∶5 D．4∶5
3.已知平面α∥平面β，直线a∥平面α，直线b∥平面β，那么a与b的位置关系可能是( )
A.平行或相交 B.相交或异面
C.平行或异面 D.平行、相交或异面
4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC于N，则eq \f(MN,AC)＝________.
答案：1.B 2.B 3.D 4.eq \f(1,2)
【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
（五）课堂小结，反思感悟
1.知识总结：
2.学生反思：
（1）通过这节课，你学到了什么知识？


（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？


【设计意图】
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
完成教材：第142页 练习 第1，2,3,4题
第144 页 习题8.5 第8,13,14,15题










8.5空间直线、平面的平行
课时内容
8.5.1直线与直线平行
8.5.2直线与平面平行
8.5.3平面与平面平行
所在位置
教材第133页
教材第135页
教材第139页
新教材内容分析
本节内容是空间直线平行的传递性和等角定理，由平面图形推广到立体图形得到，直线与直线平行是研究空间直线、平面平行的基础。
本节内容是空间直线平面平行，按照“判定--性质”展开内容，通过直观感知和操作确认，归纳出直线与平面平行的判定和性质定理。
本节内容是空间平面与平面平行，与研究直线与平面平行一样，借助长方体模型，理解平面与平面平行的判定和性质定理。
核心素养培养
通过基本事实4和等角定理的应用，培养直观想象的核心素养.
通过典型实例的观察与分析，概括出直线与平面平行的判定与性质定理，提升逻辑推理的核心素养。
通过平面与平面平行的判定定理和性质定理的学习，培养直观想象的核心素养；借助平行关系的综合问题，提升逻辑推理的核心素养.
教学主线
平行关系的相互转化
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α
图形语言

文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言