必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行优秀课后练习题

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B.b⊂α,c⊂α,a∥b,a∥c
C.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD
D.a⊄α,b⊂α,a∥b
2.设a,b是两条不同的直线,α是平面且b⊂α,那么“a∥b”是“a∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图,P为矩形ABCD所在平面外一点,矩形对角线的交点为O,M为PB的中点,给出以下结论:①OM∥PD;②OM∥平面PCD;③OM∥平面PDA;④OM∥平面PBA;⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β,则直线a与l的位置关系是( )
A.平行或异面 B.相交 C.平行D.异面
5.(多选题)如图L8-5-11,点A,B,C,M,N是正方体的顶点或所在棱的中点,则满足MN∥平面ABC的有( )

A B C D
二、巩固提高
6.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点(不包括端点), 且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD B.MN∥平面PAB
C.MN∥AD D.MN∥PA
7.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是 .
8.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧面BCC1B1(包括边界)上运动,则当点P满足条件 时,A1P∥平面BCD.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别是PD,BC的中点,求证:EF∥平面PAB.
10.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于GH,H在BD上.
(1)证明:AP∥GH;
(2)若AB的中点为N,求证:MN∥平面APD.
三、尖子突破
11.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8,P在棱AA1上,且AP=2.若EF∥平面PBD,则CF= .
参考答案
1.D [解析] 若b⊂α,a∥b,则a∥α或a⊂α,A错误;若b⊂α,c⊂α,a∥b,a∥c,则a∥α或a⊂α,B错误;若b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC=BD,则直线a与平面α可能相交,可能平行,也可能a在平面α内,C错误;若a⊄α,b⊂α,a∥b,则由直线与平面平行的判定定理得a∥α,D正确.故选D.
2.D [解析] 由a∥α推不出a∥b,a,b也可能异面,由a∥b也推不出a∥α,a也可能在α内,故“a∥b”是“a∥α”的既不充分也不必要条件,故选D.
3.C [解析] 由题意知,OM∩平面PBA=M,OM∩平面PBC=M,OM∥PD,又PD⊂平面PCD,PD⊂平面PDA,OM⊄平面PCD,OM⊄平面PDA,所以OM∥平面PCD,OM∥平面PDA.故选C.
4.C [解析] 如图,平面α∩平面β=l,直线a∥α,a∥β,过a作平面γ∩α=m,∵a∥α,
∴易证m∥a.过a作平面η∩β=n,∵a∥β,∴易证n∥a,∴m∥n.∵m⊄β,n⊂β,∴m∥β,而m⊂α,平面α∩平面β=l,∴m∥l.综上,a∥l.故选C.
5.AD [解析] 对于A选项,如图①,连接DE,可知MN∥DE∥AC,又MN⊄平面ABC,AC⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以A正确;对于B选项,如图②,设H是DF的中点,连接AM,NH,HC,AH,结合正方体的性质可知,AB∥NH,MN∥AH∥BC,AM∥CH,所以A,B,C,H,N,M六点共面,所以B错误;对于C选项,连接AD,如图③,根据正方体的性质可知MN∥AD,因为AD与平面ABC相交,所以MN与平面ABC相交,所以C错误;对于D选项,连接DN,设AC∩DN=G,连接BG,NC,如图④,因为四边形ADCN是矩形,所以G是DN的中点,又B是DM的中点,所以MN∥BG,又MN⊄平面ABC,BG⊂平面ABC,所以MN∥平面ABC,所以D正确.
6.BD [解析] 在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,因为MN⊂平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,所以由直线与平面平行的性质定理可得MN∥PA.因为MN⊄平面PAB,PA⊂平面PAB,所以MN∥平面PAB.故选BD.
7.平行或异面 [解析] ∵AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,∴CD∥平面α,∴直线CD与平面α内的直线没有公共点,则直线CD与平面α内的直线的位置关系是平行或异面.
8.P是CC1的中点(答案不唯一) [解析] 当P是CC1的中点时,易得A1D∥PC,A1D=PC,所以四边形A1DCP为平行四边形,所以A1P∥DC.又因为A1P⊄平面BCD,DC⊂平面BCD,所以A1P∥平面BCD.
9.证明:如图,取PA的中点G,连接BG,EG.
在△PAD中,因为E,G分别为PD,PA的中点,所以EG∥AD且EG=12AD.
因为底面ABCD为平行四边形,F为BC的中点,所以BF∥AD且BF=12AD,所以EG∥BF且EG=BF,
所以四边形BFEG为平行四边形,所以EF∥BG.又EF⊄平面PAB,BG⊂平面PAB,所以EF∥平面PAB.
10.证明:(1)连接AC,交BD于O,连接OM.
因为四边形ABCD是平行四边形,所以O为AC的中点,又M是PC的中点,所以OM∥PA.
因为OM⊂平面MBD,PA⊄平面MBD,所以PA∥平面MBD,又过G和AP作平面交平面BDM于GH,H在BD上,所以AP∥GH.
(2)取PD的中点E,连接EM,AE.因为M是PC的中点,所以EM∥DC,且EM=12DC.因为四边形ABCD是平行四边形,N是AB的中点,所以AN∥DC,且AN=12DC,所以EM∥AN,且EM=AN,所以四边形ANME为平行四边形,所以MN∥AE.又AE⊂平面APD,MN⊄平面APD,所以MN∥平面APD.
11.如图,连接AC,交BD于点O,连接PO,过点C作CQ∥OP,交AA1于点Q.∵EF∥平面PBD,EF⊂平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,∴EF∥PO.∵CQ∥OP,∴EF∥QC,又EQ∥CF,∴四边形EQCF为平行四边形,∴QE=CF.∵四边形ABCD是正方形,∴O是AC的中点,又CQ∥OP,∴PQ=AP=2.∵AE+CF=AP+PQ+QE+CF=2+2+CF+CF=8,∴CF=2.
学案33答案
自主测评
1.(1)×（2）√（3）×（4）√ （5）√ 2. D
【课后作业】
1.C [解析] 对于A,当α∩β=l,m∥l,m⊂α时,平面α内的直线l上有无数个点到平面β的距离相等,但不满足α∥β,故A错误;对于B,在三棱柱ABC-A1B1C1中,设平面BCC1B1为平面α,平面ACC1A1为平面β,平面ABB1A1为平面γ,直线CC1为直线b,直线BB1为直线a,此时显然符合题意,但不满足γ∥β,故B错误;对于C,若平面α内的一个三角形的三条边与平面β内的一个三角形的三条边对应平行,则α∥β,故C正确;对于D,设α∩β=l,当平面α内的一个平行四边形相对的两条边m,n与平面β内的一个平行四边形相对的两条边p,q满足m∥n∥l,p∥q∥l时,符合题意,但不满足α∥β,故D错误.故选C.
2.A [解析] 由题意可知,经过P,Q,R三点的平面为如图所示的正六边形截面所在平面,记为β,可知N在平面β上,所以B,C不正确.由图可知QN∥BC1,因为MC1∩BC1=C1,所以MC1与QN是相交直线,所以D不正确.因为RH∥A1C1,RH⊂β,A1C1⊄β,所以A1C1∥β.同理A1B∥β.因为A1C1∩A1B=A1,A1C1⊂平面A1BC1,A1B⊂平面A1BC1,所以平面A1BC1∥β.故选A.
3.D [解析] 若m∥n,则α,β可能平行,也可能相交,故A不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故B不正确;若m与n不相交,则α,β可能平行,也可能相交,故C不正确;若α∥β,则m,n可能平行,也可能异面,故m与n不相交,故D正确.故选D.
4.A [解析] 如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,∵EF∥DG,EF=12DG,∴EF∥DM,
∴四边形DEFM是平行四边形,∴DE∥FM且DE=FM.∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,∴AB∥DE,∴AB∥FM.又AB=DE,∴AB=FM,∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.∵BF⊄平面ACGD,AM⊂平面ACGD,∴BF∥平面ACGD,故A正确.∵无法判断点C的位置,∴CF不一定平行于平面ABED,BC不一定平行于FG,故B,C错误.易知平面ABED与平面CGF相交,故D错误.故选A.
A [解析] 如图,分别取CD,SC的中点M,N,连接MN,ME,NE,又∵E是BC的中点,∴EM,EN分别是△BCD,△SBC的中位线,∴EM∥BD,EN∥SB,∵EM,EN⊄平面SBD,BD,SB⊂平面SBD,∴EM∥平面SBD,EN∥平面SBD.
又∵EM∩EN=E,EM,EN⊂平面EMN,∴平面EMN∥平面SBD,∴当P在MN上移动时,PE⊂平面EMN,此时PE∥平面SBD,故选A.
6.ABC [解析] 连接AC1,ED,如图所示,则N为AC1的中点,又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1,又AB1⊂平面ADB1,EN⊄平面ADB1,所以EN∥平面ADB1.因为四边形BCC1B1是矩形,D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DE∥BB1,DE=BB1,可得DE∥AA1,DE=AA1,所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD,又AD⊂平面ADB1, A1E⊄平面ADB1,所以A1E∥平面ADB1,又A1E⊂平面A1EN,EN⊂平面A1EN,A1E∩EN=E,所以平面A1EN∥平面ADB1,所以D中说法正确.因为EF,A1M均与平面A1EN相交,所以EF,A1M均与平面ADB1相交,所以A,B中说法都不正确.因为MN与AC平行,AC与平面ADB1相交,所以MN与平面ADB1也相交,所以C中说法不正确.故选ABC.
7.相交或平行 [解析] 若α∥β,则存在a⊂α,b,c⊂β,使得a∥b∥c,满足条件;若α与β相交,设交线为l,则存在a⊂α,b,c⊂β,b∥c∥l,a∥l,也满足条件.
8.223a [解析] 连接AC,A1C1.∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面PMNQ∩平面A1B1C1D1=MN,平面PMNQ∩平面ABCD=PQ,∴MN∥PQ.∵M,N分别是A1B1,B1C1的中点,∴MN∥A1C1∥AC,∴PQ∥AC.又AP=a3,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,∴CQ=a3,从而DP=DQ=2a3,
∴PQ=DQ2+DP2=2a32+2a32=223a.
9.证明:(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,如图.
∵几何体ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,∴A1O1?OC,∴四边形A1OCO1为平行四边形,
∴A1O∥O1C,又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,∴A1O∥平面B1CD1.
(2)∵BB1?DD1,∴四边形BB1D1D是平行四边形,∴BD∥B1D1,∵BD⊄平面B1CD1,B1D1⊂平面B1CD1,∴BD∥平面B1CD1.由(1)得A1O∥平面B1CD1,又BD∩A1O=O,BD,A1O⊂平面A1BD,∴平面A1BD∥平面B1CD1.
(3)∵平面A1B1D1∥平面ABCD,平面B1CD1∩平面A1B1D1=B1D1,平面B1CD1∩平面ABCD=l,∴B1D1∥l.
【选做】
10.C [解析] 把平面展开图还原为四棱锥,如图所示,则由已知可得EH∥AB,因为EH⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以EH∥平面ABCD.同理可得EF∥平面ABCD.因为EF∩EH=E,所以平面EFGH∥平面ABCD,故①正确.因为AB∥CD,AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,所以AB∥平面PCD,同理BC∥平面PAD,故②③正确.显然平面PAD与平面PAB相交,它们不平行,故④错误.故选C.
11.324 [解析] 延长AD,在AD的延长线上取点H,使得AD=2DH,连接PH,则ADAH=AMAP=23,则MD∥PH.作HF∥BD,且HF∩BC=F,HF∩CD=E.连接PF,∵MD⊂平面MBD,PH⊄平面MBD,∴PH∥平面MBD,同理可得HF∥平面MBD.又PH∩HF=H,∴平面MBD∥平面PHF.∵PO∥平面MBD,∴PO⊂平面PHF,∴点O在线段EF上.易知MDPH=ADAH=23,∴DH=12.∵AD=AB,AD⊥AB,DB∥HF,∴DE=12.∵EFDB=CECD=2-122=34,∴EF=34×2=324,∴点O的轨迹的长度为324 .
2024—2025学年下学期高一数学分层作业（32）
8.5.2 直线与平面平行