人教版高中数学必修第一册第五章测评含答案

第五章测评

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若扇形的面积为16 cm2,圆心角为2 rad,则该扇形的弧长为(　　)

A.4 cm B.8 cm C.12 cm D.16 cm

2.若角θ的终边与单位圆的交点坐标是,则cos=(　　)

A.- B. C.- D.

3.函数y=的定义域为(　　)

A.

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.R

4.已知角θ终边经过点(3,-4),则等于(　　)

A. B.- C. D.-

5.已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α= (　　)

A. B. C. D.

6.函数f(x)=sin2+cos2-1是 (　　)

A.周期为π的奇函数

B.周期为π的偶函数

C.周期为2π的奇函数

D.周期为2π的偶函数

7.将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(　　)

A.在区间上单调递增

B.在区间上单调递减

C.在区间上单调递增

D.在区间上单调递减

8.已知cosα-+sin α=,则sinα+的值是(　　)

A.- B. C.- D.

二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.给出下列条件:①sin θ>0;②sin θ<0;③cos θ>0;④cos θ<0;⑤tan θ>0;⑥tan θ<0.其中可作为“θ为第二象限角”的充要条件的有(　　)

A.①③ B.①④ C.④⑥ D.②⑤

10.下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图象,则sin(ωx+φ)=(　　)

A.sin B.sin

C.cos D.cos

11.(2022广州荔湾高一期末)下列各式中,值为的有(　　)

A.sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°

B.

C.

D.

12.(2022湖南邵阳高一期末)已知α,β∈0,且sin α=,sin(α+β)=,则(　　)

A.cos(α+β)= B.cos(α+β)=-

C.cos β= D.cos β=

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.(2022北京东城高一期末)已知sin θ=-,θ∈π,,则cos θ=　　　　,cos 2θ=　　　　. 

14.已知sin(540°+α)=-,若α为第二象限角,则=　　　　　. 

15.若函数f(x)=2sin x+bcos x在x=处取得最大值,则f(x)在区间上的最小值为　　　　　. 

16.关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题:

①f(x)的图象关于y轴对称.

②f(x)的图象关于原点对称.

③f(x)的图象关于直线x=对称.

④f(x)的最小值为2.

其中所有真命题的序号是　　　　　. 

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)(2022天津和平高一期末)已知f(α)=.

(1)化简f(α);

(2)若α是第三象限角,且sin(α+π)=,求f(α)的值.

18.(12分)(2022广东普宁高一期末)已知tanα-=.

(1)求tan α的值;

(2)求的值.

19.(12分)已知函数f(x)=sin+1.

(1)用“五点法”作出f(x)在上的简图;

(2)写出f(x)的图象的对称中心以及单调递增区间;

(3)求f(x)的最大值以及取得最大值时x的值.

20.(12分)(2022天津东丽高一期末)已知cos(α+β)=,cos(α-β)=.

(1)求证:2tan αtan β=1;

(2)若α+β为第一象限角,α-β为第四象限角,求sin 2α的值.

21.(12分)(2022吉林长春南关高一期末)已知函数f(x)=sin x(cos x+sin x)-.

(1)求f的值及函数f(x)的单调递增区间;

(2)若∀x∈,不等式m<f(x)<m+2恒成立,求实数m的取值范围.

22.(12分)如图所示,扇形OAB中,∠AOB=,OA=1,矩形CDEF内接于扇形OAB,G为弧AB的中点,设∠COG=x,矩形CDEF的面积为S.

(1)若x=,求S;

(2)求S的最大值.

第五章测评

1.B　S=αr2=r2=16(cm2),

∴r=4(cm),l=αr=2×4=8 cm,故选B.

2.B　依题意有sin θ=-,

于是cos=-sin θ=.

3.C　∵cos x-≥0,得cos x≥,

∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.

4.C　由三角函数的定义可得tan θ=-,因此,=-.

5.A　原式化简得3cos2α-4cos α-4=0,

解得cos α=-或cos α=2(舍去).

∵α∈(0,π),∴sin α=.

6.A　f(x)=sin2+cos2-1=2sin2-1=-cos=sin 2x,所以周期T==π,且函数是奇函数.

7.A　将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为y=sin2x-+=sin 2x,该函数在区间(k∈Z)上单调递增,在区间(k∈Z)上单调递减,结合选项可知选A.

8.C　cosα-+sin α=,

∴cos α+sin α=,

cos α+sin α=,

∴sin+α=,

∴sin+α=,

故sinα+π=-sin+α=-.

9.BC　若θ为第二象限角,则sin θ>0,cos θ<0,tan θ<0.

所以θ为第二象限角⇔

10.BC　由题图可知,,∴T=π,

∵=π,∴ω=2,A错误;

∴y=sin(2x+φ).又函数图象过点,

∴sin=0,即+φ=2kπ,k∈Z,

∴φ=-+2kπ,k∈Z.不妨令φ=,

∴y=sin=sinπ-2x+=sin-2x,故B正确;

∵y=sin=sin=cos2x+,∴C正确;

∵cos=cosπ-2x+=-cos2x+,∴D错误,故选BC.

11.ACD　对于A,sin 7°cos 23°+sin 83°cos 67°=sin 7°cos 23°+cos 7°sin 23°=sin(7°+23°)=sin 30°=;

对于B,=4;

对于C,tan(2×22.5°)=;

对于D,

=

=

=.

故选ACD.

12.BD　因为α,β∈0,,所以α+β∈(0,π).

又因为sin(α+β)=<sin α=,

所以α+β∈,π,

故cos α=,cos(α+β)=-,

故cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.故选BD.

13.-　因为sin θ=-,θ∈π,,

则cos θ=-=-=-,

cos 2θ=2cos2θ-1=2×-2-1=.

14.-　因为sin(540°+α)=sin(360°+180°+α)=sin(180°+α)=-sin α=-,所以sin α=,

又因为α为第二象限角,

所以cos α=-=-,tan α=-,

所以

==-.

15.2　依题意有f=2sin +bcos ,即3+,解得b=2,于是f(x)=2sin x+2cos x=4sin,由于x∈,所以x+,故最小值等于4sin =2.

16.②③　对于①②,由sin x≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)+=-sin x-=-f(x),所以该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故①错误,②正确;

对于③,因为f(π-x)=sin(π-x)+=sin x+=f(x),所以函数f(x)的图像关于直线x=对称,③正确;

对于④,令t=sin x,则t∈[-1,0)∪(0,1],由函数g(t)=t+(t∈[-1,0)∪(0,1])的性质,可知g(t)∈(-∞,-2]∪[2,+∞),所以f(x)无最小值,④错误.

17.解 (1)已知f(α)==-cos α.

(2)∵sin(α+π)=-sin α=,

∴sin α=-,

又α是第三象限角,

∴cos α=-,∴f(α)=.

18.解 (1)由tanα-=,

解得tan α=3.

(2)

=

=.

19.解(1)对于函数f(x)=sin+1,在x∈上,2x+∈[0,2π],列表如下:

描点、连线,如图.

(2)令2x+=kπ,k∈Z,求得x=,k∈Z,

可得函数的图象的对称中心为,k∈Z.

令2kπ-≤2x+≤2kπ+,求得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,

可得函数的单调递增区间为,k∈Z.

(3)令2x+=2kπ+,求得x=kπ+,所以函数f(x)的最大值为2,此时,x=kπ+,k∈Z.

20.(1)证明 ∵cos(α+β)=,cos(α-β)=,

∴

则2cos αcos β=,2sin αsin β=,

故tan αtan β=,故2tan αtan β=1.

(2)解 若α+β为第一象限角,cos(α+β)=,

∴sin(α+β)=,

α-β为第四象限角,cos(α-β)=,

∴sin(α-β)=-=-,

sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=.

21.解 (1)f(x)=sin x(cos x+sin x)-=sin xcos x+sin2x-sin 2x+=sin2x-,

∴f=sin2×=sin .

令-+2kπ≤2x-+2kπ,

解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.

∴f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.

(2)∵x∈,可得2x-∈-,

∴当2x-时,f(x)取得最大值1,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.

∵m<f(x)<m+2恒成立,

∴解得-1<m<-.

即实数m的取值范围是-1,-.

22.解(1)如图所示,设OG与CF,DE分别交于M,N两点,

由已知得CM=ND=OCsin x=sin x,

CF=2CM=2sin x.

OM=OCcos x=cos x,ON=sin x,

∴CD=MN=cos x-sin x.故S=2sin xcos x-sin x=2sin xcos x-sin2x0<x<.

∴S=2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x-sin2x+-.

当x=时,S=1-.

(2)由(1)知S=sin.

∵0<x<,

∴<2x+.

当且仅当2x+,

即x=时,S取得最大值.