人教版高中数学选择性必修第二册第四章综合测评含答案

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第四章综合测评
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在等差数列{an}中,若2a8=6+a11,则a1+a9=(　　)
A.54 B.12 C.10 D.6
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1≠0,Sn=an2+bn,且a7=3a2,S8=λa2,则λ的值为(　　)
A.15 B.16 C.17 D.18
3.在数列{an}中,a1=2,an=1+1an-1(n≥2),则a3=(　　)
A.32 B.23 C.53 D.52
4.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a5=3,则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
5.在等差数列{an}中,a1=-5,a3是4与49的等比中项,且a3<0,则a5=(　　)
A.-18 B.-23
C.-24 D.-32
6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2≥3,S5≤30,则a1的最小值是(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.已知在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,则数列{an}的通项公式是(　　)
A.an=n2n-1 B.an=n2n-1
C.an=n D.an=n+12n
8.给出数阵:
0　1　…　9
1　2　…　10
︙ ︙ ︙ ︙
9　10 …　18
其中每行、每列均为等差数列,则此数阵所有数的和为(　　)
A.495 B.900 C.1 000 D.1 100
二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)
9.已知等比数列{an}的公比q=-23,等差数列{bn}的首项b1=12,若a9>b9且a10>b10,则下列结论正确的有(　　)
A.a9a10<0 B.a9>a10
C.b10>0 D.b9>b10
10.已知等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3与a9的等比中项,则下列结论正确的是(　　)
A.a1=22
B.d=-2
C.当n=10或n=11时,Sn取得最大值
D.当Sn>0时,n的最大值为20
11.已知数列{an}为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,则下列结论正确的是(　　)
A.a10=0
B.S10最小
C.S7=S12
D.S19=0
12.在数列{an}中,n∈N*,若an+2-an+1an+1-an=k(k为常数),则称{an}为“等差比数列”,下列对“等差比数列”的判断正确的为(　　)
A.k不可能为0
B.等差数列一定是“等差比数列”
C.等比数列一定是“等差比数列”
D.“等差比数列”中可以有无数项为0
三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.在等差数列{an}中,前m(m为奇数)项和为135,其中偶数项之和为63,且am-a1=14,则a100的值为　　　　　. 
14.已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且SnTn=7n+14n+27(n∈N*),则a11b11=　　　　. 
15.设f(x)=4x4x+2,可求得f12 015+f22 015+f32 015+…+f2 0142 015的值为　　　　　　. 
16.已知数列{an}满足an+an+2=2an+1,a2=8,a5=20,bn=2n+1+1,设数列{bn-an}的前n项和为Sn,则a1=　　　　,Sn=　　　　　　　　. 
四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n≥2),a1=12.
(1)求证:1Sn是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.















18.(本小题满分12分)已知数列{an}的通项公式为an=3n-23n+1.
(1)求a10.
(2)判断710是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.
(3)求证:0










19.(本小题满分12分)甲、乙两物体分别从相距70米的两处同时相向运动.甲第1分钟走2米,以后每分钟比前1分钟多走1米,乙每分钟走5米.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇?
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返,甲继续每分钟比前1分钟多走1米,乙继续每分钟走5米,那么甲、乙开始运动后几分钟第二次相遇?





























20.(本小题满分12分)(2021云南玉溪月考)已知数列{an+3}为等比数列,且a2=6,a3=24.
(1)求an;
(2)若3(bn+1-bn)=an,且b1=12,求bn.









21.(本小题满分12分)已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,且满足2Sn=an2+n-4(n∈N*).
(1)求证:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
























22.(本小题满分12分)若数列{an}是公差为2的等差数列,数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=an+1bn+1,数列{cn}的前n项和为Tn,若不等式(-1)nλ






































参考答案

第四章综合测评
1.B　设等差数列{an}的公差为d,
∵在等差数列{an}中,2a8=6+a11,
∴2(a1+7d)=6+a1+10d,解得a1+4d=6.
∴a1+a9=a1+a1+8d=2×6=12.故选B.
2.B　∵数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an2+bn,
∴数列{an}是等差数列.
∵a7=3a2,∴a1+6d=3(a1+d),解得a1=32d.
∵S8=λa2,∴8a1+8×72d=λ(a1+d),
∴40d=λ×52d,又d≠0,解得λ=16.
3.C　∵an=1+1an-1(n≥2),a1=2,∴a2=1+1a1=1+12=32,∴a3=1+1a2=1+132=53.故选C.
4.C　∵在各项均为正数的等比数列{an}中,a5=3,
∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a9=log3(a1a2…a9)=log3a59=9log3a5=9log33=9.故选C.
5.B　根据题意,a3是4与49的等比中项,
则(a3)2=4×49,解得a3=±14.
又因为a3<0,所以a3=-14.
又a1=-5,则a5=2a3-a1=-23.故选B.
6.B　设等差数列{an}的公差为d,
由a2≥3,S5=52(a1+a5)≤30,
可得a1+d≥3,a1+2d≤6,即2a1+2d≥6,-a1-2d≥-6,解得a1≥0,
则a1的最小值是0.故选B.
7.B　在数列{an}中,a1=1,(n+1)an=2nan+1,
整理得an+1an=n+12n,所以anan-1=n2(n-1),an-1an-2=n-12(n-2),…,a2a1=22×1,
所有的式子相乘得到anan-1·an-1an-2·…·a2a1=n2(n-1)·n-12(n-2)·…·22×1,整理得ana1=n2n-1,
所以an=n2n-1(a1也符合该式).故an=n2n-1.故选B.
8.B　设b1=0+1+2+…+9,b2=1+2+3+…+10,…,b10=9+10+…+18,则{bn}是首项b1=45,公差d=10的等差数列,所以S10=45×10+10×92×10=900.
9.AD　∵等比数列{an}的公比q=-23,
∴a9和a10异号,即a9a10<0,但不能确定a9和a10的大小关系,故A正确,B不正确;
∵a9和a10异号,a9>b9且a10>b10,
∴b9和b10中至少有一个数是负数,
又b1=12>0,∴d<0,∴b9>b10,b10一定是负数,即b10<0,故C不正确,D正确.故选AD.
10.BCD　因为S6=90,
所以6a1+6×52d=90,即2a1+5d=30,①
又因为a7是a3与a9的等比中项,所以a72=a3a9,
所以(a1+6d)2=(a1+2d)(a1+8d),整理得a1=-10d,②
由①②解得a1=20,d=-2,故A错误,B正确;
所以Sn=20n+n(n-1)2×(-2)=-n2+21n=-n-2122+4414,又n∈N*,所以当n=10或n=11时,Sn取得最大值,故C正确;
令Sn=-n2+21n>0,解得0 所以n的最大值为20,故D正确.故选BCD.
11.ACD　因为数列{an}为等差数列,2a1+3a3=S6,即5a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=a10=0,故A正确;因为a10=0,所以S9=S10,但是无法确定数列{an}的公差d的大小,故无法确定S10是最大值还是最小值,故B错误;因为a8+a9+a10+a11+a12=5a10=0,所以S12=S7+a8+a9+a10+a11+a12=S7+0=S7,故C正确;S19=a1+a192×19=19a10=0,故D正确.故选ACD.
12.AD　由题意,an+1≠an,则an不为常数列,故A正确,B,C错误;数列0,1,0,1,0,1,…,0,1是等差比数列,且有无数项为0,故D正确.故选AD.
13.101　∵在前m项中偶数项之和为S偶=63,
∴奇数项之和为S奇=135-63=72,设等差数列{an}的公差为d,则S奇-S偶=2a1+(m-1)d2=72-63=9.
又am=a1+d(m-1),∴a1+am2=9.
∵am-a1=14,∴a1=2,am=16.
∵m(a1+am)2=135,
∴m=15,∴d=14m-1=1,∴a100=a1+99d=101.
14.148111　因为在等差数列{an},{bn}中,SnTn=7n+14n+27(n∈N*),所以a11b11=2a112b11=a1+a21b1+b21=S21T21=21×7+14×21+27=148111.
15.1 007　∵f(x)=4x4x+2,
∴f(x)+f(1-x)=4x4x+2+41-x41-x+2=4x4x+2+41-x·4x(41-x+2)·4x=4x4x+2+44+2·4x=4x4x+2+22+4x=4x+24x+2=1.
故可得f12 015+f22 015+f32 015+…+f2 0142 015=f12 015+f2 0142 015+f22 015+f2 0132 015+…+f1 0072 015+f1 0082 015=1 007×1=1 007.
16.4　2n+2-2n2-n-4　∵数列{an}满足an+an+2=2an+1,∴{an}为等差数列.
设{an}的公差为d,
则a5=a2+3d,a2=a1+d,即20=8+3d,8=a1+d,解得d=4,a1=4,
故an=4n.∴bn-an=2n+1+1-4n,
∴Sn=4(1-2n)1-2+n-4·n(n+1)2=2n+2-2n2-n-4.
17.(1)证明当n≥2时,由an+2SnSn-1=0得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.
又1S1=1a1=2,
所以1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.
(2)解由(1)可得1Sn=2n,所以Sn=12n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=-12n(n-1);
当n=1时,a1=12,不符合an=-12n(n-1).
故an=12,n=1,-12n(n-1),n≥2且n∈N*.
18.(1)解根据题意可得a10=3×10-23×10+1=2831.
(2)解是.令an=710,即3n-23n+1=710,解得n=3,
故710为数列{an}中的项,为第3项.
(3)证明由题意可得an=3n-23n+1=1-33n+1,
∵n∈N*,∴3n+1>3,
∴0<33n+1<1,∴0<1-33n+1<1,即0 19.解(1)设开始运动n分钟后相遇,依题意,有2n+n(n-1)2+5n=70,整理,得n2+13n-140=0,
解得n=7,n=-20(舍去).
故甲、乙两物体开始运动后7分钟相遇.
(2)设开始运动m分钟后第2次相遇,依题意,有2m+m(m-1)2+5m=3×70,整理,得m2+13m-420=0,解得m=15,m=-28(舍去).
故甲、乙两物体开始运动后15分钟第二次相遇.
20.解(1)因为a3+3a2+3=24+36+3=3,
所以数列{an+3}的公比为3,
所以an+3=(a2+3)·3n-2=9·3n-2=3n,
故an=3n-3.
(2)因为3(bn+1-bn)=an,所以bn+1-bn=13(3n-3)=3n-1-1,
所以b2-b1=30-1,b3-b2=31-1,…,bn-bn-1=3n-2-1,
所以bn-b1=(30+31+…+3n-2)-(n-1)=1-3n-11-3-(n-1)=3n-12-n+12,所以bn=3n-12-n+1.
21.(1)证明当n=1时,有2a1=a12+1-4,即a12-2a1-3=0,解得a1=3(a1=-1舍去).
当n≥2时,有2Sn-1=an-12+n-5,
又2Sn=an2+n-4,两式相减得2an=an2-an-12+1,
即an2-2an+1=an-12,即(an-1)2=an-12,
因此an-1=an-1或an-1=-an-1.若an-1=-an-1,
即an+an-1=1.则有当a1=3时,a2=-2,这与数列{an}的各项均为正数相矛盾,所以an-1=an-1,即an-an-1=1,因此数列{an}为等差数列.
(2)解由(1)知a1=3,d=1,所以数列{an}的通项公式为an=3+(n-1)×1=n+2,故Sn=n2+5n2.
22.解(1)∵数列{bn}满足b1=1,b2=2,且anbn+bn=nbn+1,
∴a1+1=2,解得a1=1.
又∵数列{an}是公差为2的等差数列,
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
∴2nbn=nbn+1,即2bn=bn+1,
∴数列{bn}是以1为首项,2为公比的等比数列,故bn=2n-1.
(2)数列{cn}满足cn=an+1bn+1=2n2n=n2n-1,数列{cn}的前n项和Tn=1+22+322+…+n2n-1,
∴12Tn=12+222+…+n-12n-1+n2n,
两式相减得12Tn=1+12+122+…+12n-1-n2n=1-12n1-12-n2n=2-n+22n,
∴Tn=4-n+22n-1,不等式(-1)nλ 即(-1)nλ<4-22n-1恒成立,
当n=2k(k∈N*)时,λ<4-22n-1,∴λ<3;
当n=2k-1(k∈N*)时,-λ<4-22n-1,∴λ>-2.
综上可得,实数λ的取值范围是(-2,3).