人教版高中数学选择性必修第二册第五章5-1-2导数的概念及其几何意义习题含答案

5.1.2　导数的概念及其几何意义

必备知识基础练

1.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为5x-y+1=0,则(　　)

A.f'(x0)>0 B.f'(x0)<0

C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在

2.函数f(x)=x2-sin x在[0,π]上的平均变化率为(　　)

A.1 B.2 

C.π D.π2

3.已知f(x)=-x2,若f'(a)=,则a的值等于(　　)

A.- B. 

C.- D.

4.设函数y=f(x)的导函数为f'(x),若y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线方程为x-y+2=0,则f(1)+f'(1)=(　　)

A.4 B.3 

C.2 D.1

5.(多选题)曲线y=在点P处的切线的倾斜角为,则点P的坐标可能为(　　)

A.(3,3) B.(-3,-3)

C.(9,1) D.(1,9)

6.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则f'(x0)=　　　　　. 

7.已知函数y=f(x)的图象如图所示,则y=f(x)在A,B两点处的导数f'(a)与f'(b)的大小关系为f'(a)　　　　　f'(b).(填“<”或“>”) 

8.曲线y=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程是　　　　　　　. 

9.利用导数的定义求函数f(x)=在x=2处的导数.

10.已知函数y=f(x)=-x2+x图象上两点A(2,f(2)),B(2+Δx,f(2+Δx))(Δx>0).

(1)若割线AB的斜率不大于-1,求Δx的取值范围;

(2)求函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率.

关键能力提升练

11.(2021江西南昌江西师大附中高二期末)设函数y=f(x)在R上可导,则等于(　　)

A.f'(1) B.3f'(1)

C.f'(1) D.以上都不对

12.(2021安徽滁州高二期末)函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为k1,在区间[x0-Δx,x0]上的平均变化率为k2,Δx>0,则k1与k2的大小关系为(　　)

A.k1>k2 B.k1<k2

C.k1=k2 D.不能确定

13. (多选题)已知函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上的图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.f(x)在[a,b]上的平均变化率等于g(x)在[a,b]上的平均变化率

B.f(x)在[a,b]上的平均变化率小于g(x)在[a,b]上的平均变化率

C.对于任意x0∈(a,b),函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率总大于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

D.存在x0∈(a,b),使得函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率小于函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率

14.(多选题)近两年为抑制房价过快上涨,政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策.各地房产部门为尽快实现稳定房价,提出多种方案,其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务Q.已知房产供应量Q与时间t的函数关系如图所示,则在以下四种房产供应方案中,在时间[0,T]内供应效率(单位时间的供应量)不逐步提高的是(　　)

15.曲线f(x)=在x=-2处的导数为　　　　,在点(-2,-1)处的切线方程为　. 

16.如图,函数f(x)的图象在点P处的切线方程为y=-2x+5,则f(2)+f'(2)=　　　　　. 

17.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,在点P处的切线恰好过坐标原点,则实数c的值为　　　　　. 

18.已知直线y=4x+a和曲线y=x3-2x2+3相切,求切点坐标及实数a的值.

学科素养创新练

19.已知曲线y=x2,

(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程;

(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程.

参考答案

5.1.2　导数的概念及其几何意义

1.A　由切线方程可以看出其斜率是5,又曲线在该点处的切线的斜率就是函数在该点处的导数,所以A正确.

2.C　平均变化率为=π.故选C.

3.A　由导数的定义得

f'(x)=

=

==-x,

因此f'(a)=-a=,则a=-.

4.A　∵点P(1,f(1))在切线x-y+2=0上,

∴1-f(1)+2=0,解得f(1)=3.

又f'(1)=1,∴f(1)+f'(1)=4.故选A.

5.AB　由导数定义得y'=-=-,设P(x0,y0),则由导数的几何意义可得-=tan =-1,解得x0=±3,从而y0=±3,即点P的坐标为(3,3)或(-3,-3).

6.a　f'(x0)=(a+bΔx)=a.

7.>　f'(a)与f'(b)分别表示函数图象在点A,B处的切线斜率,由图象可得f'(a)>f'(b).

8.4x+y-2=0　因为y=x2-2x+3,切点为A(-1,6),

所以斜率k=y'x=-1

=

=(Δx-4)=-4,

所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.

9.解∵Δy=-2,

,

∴f'(2)=.

10.解(1)由题意得,割线AB的斜率为=-3-Δx,

由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2.又因为Δx>0,所以Δx的取值范围是(0,+∞).

(2)由(1)知函数y=f(x)=-x2+x的图象在点A(2,f(2))处切线的斜率为k=(-3-Δx)=-3.

11.C　根据导数的定义=f'(1).

所以f'(1),故选C.

12.A　因为函数y=f(x)=x2在区间[x0,x0+Δx]上的变化量为Δy1=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)2-=Δx(2x0+Δx),所以k1==2x0+Δx.

函数y=f(x)=x2在区间[x0-Δx,x0]上的变化量Δy2=f(x0)-f(x0-Δx)=-(x0-Δx)2=Δx(2x0-Δx),所以k2==2x0-Δx,所以k1-k2=2Δx,又Δx>0,所以k1>k2.故选A.

13.AD　∵f(x)在[a,b]上的平均变化率是,g(x)在[a,b]上的平均变化率是,又f(b)=g(b),f(a)=g(a),∴,故A正确,B错误;

易知函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数f(x)在x=x0处的导数,

即函数f(x)在该点处的切线的斜率,同理可得,函数g(x)在x=x0处的瞬时变化率是函数g(x)在该点处的导数,即函数g(x)在该点处的切线的斜率,

由题中图象可知,当x0∈(a,b)时,函数f(x)在x=x0处切线的斜率有可能大于g(x)在x=x0处切线的斜率,也有可能小于g(x)在x=x0处切线的斜率,故C错误,D正确.故选AD.

14.ACD　单位时间的供应量逐步提高时,供应量的增长速度越来越快,图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大,则曲线是上升的,且越来越陡,故选ACD.

15.-　x+2y+4=0　f'(-2)==-,

∴切线方程为y+1=-(x+2),即x+2y+4=0.

16.-1　∵函数y=f(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=-2x+5,∴f'(2)=-2,又P(2,f(2))为切点,

∴f(2)=-4+5=1,∴f(2)+f'(2)=-2+1=-1.

17.4　y'==2x-1,抛物线在点P处切线的斜率为2×(-2)-1=-5.

因为点P的横坐标是-2,所以点P的纵坐标是6+c,故直线OP的斜率为-,根据题意有-=-5,解得c=4.

18.解设直线与曲线相切于点P(x0,y0),则f'(x)=

=3x2-4x.

由导数的几何意义,得f'(x0)=3-4x0=4,

解得x0=-或x0=2,

∴切点坐标为-或(2,3).

当切点为-时,有=4×-+a,

∴a=.

当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5,因此切点坐标为-或(2,3),a的值为或-5.

19.解(1)设切点为(x0,y0),

∵y'

==2x0,∴y'x=1=2.

∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

(2)点P(3,5)不在曲线y=x2上,设切点为A(x0,y0),由(1)知,y'=2x0,∴切线方程为y-y0=2x0(x-x0),

由P(3,5)在所求直线上,得5-y0=2x0(3-x0), ①

再由A(x0,y0)在曲线y=x2上,得y0=, ②

联立①②得x0=1或x0=5.

从而切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2,

此时切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.

当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10,

此时切线方程为y-25=10(x-5),即10x-y-25=0.

综上所述,过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程为2x-y-1=0或10x-y-25=0.