人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品课时练习

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第一，必修课程，由国家根据学生全面发展需要设置，所有学生必须全部修习、全部考试。
第二，选择性必修课程，由国家根据学生个性发展和升学考试需要设置。
第三，选修课程，由学校根据实际情况统筹规划开设，学生自主选择修习。
2、课程类别变化，必修课程、选择性必修课程将成为高考考查范围。在毕业总学分不变的情况下，对原必修课程学分进行重构，由必修课程学分、选择性必修课程学分组成，适当增加选修课程学分。
3、学时和学分变化，高中生全年假期缩减到11周。
4、授课方式变化，选课制度将全面推开。
5、考试方式变化，高考统考科目由教育部命题，学业水平合格性、等级性考试由各省命题。
8.6 空间直线、平面的垂直(2)(精炼)
【题组一 线线角】
1．(2021·河南驻马店市·高一期末)在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB(或其补角)为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.故选：.
2．(2021·河南焦作市·高一期末)如图所示，，为正方体的两个顶点，，为其所在棱的中点，则异面直线与所成角的大小为( )
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】C
【解析】作如图所示的辅助线，由于，为其所在棱的中点，所以，又因为，所以，所以即为异面直线与所成的角(或补角)，易得，所以.
故选：C．
3．(2021·浙江高一期末)已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)中，，则直线与所成角的余弦值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设正四面体的棱长为3，则,
过作交于点,则与所成角即为与所成角，
,,在中，,
即,同理,
所以.
故选：A.
4．(2021·全国高一课时练习)正方体中，直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图：
∵，∴直线与直线所成角为，
∵是等边三角形，∴，
∵平面，∴直线与平面所成角为，
∵是等腰直角三角形，∴，
故选：D.
5．(2020·全国高一单元测试)如图，在三棱柱中，，，底面，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在三棱柱中，，
异面直线与所成的角为或其补角，
连接，底面，平面，
，又，，
平面，
又平面，，
由，可得，
，，
又，，
在△中，，
即异面直线与所成角的余弦值为．
故选：A．
6．(2020·浙江高一期末)在正方体中，和分别为，和的中点．，那么直线与所成角的余弦值是( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设分别是的中点，由于分别是的中点，结合正方体的性质可知，
所以是异面直线和所成的角或其补角，
设异面直线和所成的角为，设正方体的边长为，
，，
则.
故选：A.
7．(2020·浙江高一期末)已知在底面为菱形的直四棱柱中，，若，则异面直线与所成的角为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】连接，
∵四边形为菱形， ，.又为直角三角形， ，得，
∴四边形为正方形.连接交于点 ，(或其补角)为异面直线与所成的角，
由于为正方形， ，故异面直线与所成的角为90°.
故选：A.
8．(2019·西安交通大学附属中学雁塔校区高一月考)在四面体中，且，、分别为、的中点，那么异面直线与所成的角等于( )．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取的中点，连接、，
、分别为、的中点，，
所以，为异面直线与所成的角，
设，则，，
由，可知，，
即异面直线与所成的角等于.
故选：B.
9．(2021·浙江高一期末)已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，，.
(Ⅰ)若是与的交点，求证：平面；
(Ⅱ)若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(1)连接与交于点，连.
，，且是和的中点，
，,和为平面内的两条相交直线，
平面.
(2)取的中点，连接，则，则就是所求的角(或其补角)，
根据题意得
所以，，
所以，
故
10．(2021·六盘山高级中学高一期末)已知正方体，是棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】
【解析】
连接，，在正方体中，易知，
所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角，
记正方体的棱长为，因为是棱的中点，所以，
又，
所以.
即异面直线与所成角的余弦值为.
【题组二 线面角】
1．(2021·全国高一课时练习)如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.
(1)证明：BC面PAC；
(2)若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：(1)为圆O直径
∠ACB=90°即AC⊥BC
PA⊥面ABC，PA⊥BC
ACPA=A
BC⊥面PAC.
(2)BC⊥面PAC，
∠BPC为PB与平面PAC所成的角，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，,
在直角三角形中，tan∠BPC=.
故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.
2．(2020·浙江高一期末)如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，，．
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)过P作PE⊥CD，交CD于点E，连接BE
∵，
所以CE=2，又因为,且
所以
∴BE⊥BC
∴AD⊥BE
又因为平面平面且PE⊥BC
∴AD⊥PE
∴AD⊥面PEB
∴
(2)∵
∴与平面所成角即为EC与平面所成角
过E作EF⊥PB，交PB于F点，连接CF，易知EF⊥平面PBC
所以∠ECF为与平面所成角，
因为PE=2，
根据等面积法得到
所以与平面所成角的正弦值为.
3．(2020·浙江高一期末)如图，在四棱锥中，，E是的中点，平面平面．
(1)证明：；
(2)求直线与平面所成的角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：由已知可得在直角梯形中，
，，，
∴，∴，
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴.
(2)由(1)得平面，∵平面，∴平面平面，
过点在平面内作，垂足为点，
平面平面，平面平面，，平面，平面，
∴即为直线与平面所成角，
中，，，，
所以，，且，
∴，∴，
∴直线与平面所成的角的正弦值为.
4．(2020·江苏高一期中)已知斜三棱柱的侧面与底面垂直，.且为中点，与相交于点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与底面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】(1)连，则
又面，面，平面；
(2)连，取中点，连，则
由面与底面垂直，且面，可得面
则为直线与底面所成角
设，则；，则；
，即
则直线与底面所成角的大小为
5．(2021·河南洛阳市·高一期末)如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.
(1)求；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
(1)证明：平面,平面.
.
又,,
平面.
平面平面.
又平面平面,平面,,
平面.
又平面,
.
(2)由(1)知平面,连结,
则就是在平面内的射影.
就是与平面所成的角.
,,,.
.
在中,.
与平面所成角的正弦值为.
6．(2021·浙江高一期末)在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，，.
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成的角.
【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)连接交于，连接.
则点为的重心，有.
因为，
所以，且平面，平面，
所以平面.
(Ⅱ)因为，，，
所以，
故，所以，且，平面，
所以平面.
过作的平行线，交于.
则平面.
所以直线与平面所成角为.
且，，，
所以，得.
所以直线与平面所成的角为，
即直线与平面所成的角为.
7．(2021·全国高一课时练习)如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.
(Ⅰ)求证：；
(Ⅱ)求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)作的中点,连接,
因为三棱柱所有的棱长均为1
,
又四边形为正方形，,
面
又四边形是菱形，所以
面
(Ⅱ)作
因为三棱柱,
由题知,
所以△是等边三角形，
△是等边三角形，,
面 , 面，所以，
面 , 是面的垂线，是平面的斜线 ,即为所求角.
在三角形中由平面几何知识得

故直线和平面所成角的正弦值为
【题组三 面面角】
1(2021·河南高一期末)如图，在长方体中，底面是正方形，，为的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面；
(3)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．
【解析】(1)证明：设，连接，则是中点，又是中点，
∴，又平面，平面，
∴平面．
(2)平面，平面，∴，同理，又正方形中，
，平面，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面；
(3)∵平面，平面，∴，
∴是二面角的平面角，
由已知，而，分别是中点，
∴，∴．
即二面角的大小为．
2．(2021·浙江高一期末)如图，四棱锥中，，底面为矩形，平面平面，O､E分别是棱､的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】(1)取中点，连接，
因为是中点，∴，且，
又是矩形，，是中点，
∴，∴是平行四边形，∴，
而平面，平面，∴平面．
(2)取中点，连接，
是矩形，是中点，则，
又，∴，
而平面平面，平面平面，平面，
∴平面，∵平面，∴，．
，平面，∴平面，而平面，
∴，∴(或其补角)是二面角的平面角．
设，则，，，
∴，，∴．
∴二面角的大小为．
3．(2021·宁夏银川市·银川一中高一期末)如图，棱柱中，底面是平行四边形，侧棱底面，过的截面与上底面交于，且点在棱上，点在棱上，且，，.
(1)求证：；
(2)若二面角的平面角的余弦值为，求侧棱的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)2．
【解析】(1)在棱柱中，面，面，
面面，由线面平行的性质定理有，
又，故；
(2)证明：在底面中，，，.
， ，
又因为侧棱底面，则底面
面，
又，面
过点作于，连接，则是二面角的平面角．
，，
则，故，
，．
设，则．
，
故，故．
4．(2020·浙江高一期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求直线PA与平面ABCD所成角的大小；
(2)求证：PB⊥平面EFD；
(3)求二面角C-PB-D的大小.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)60.
【解析】(1)因为侧棱平面，
所以为直线在平面上的射影，，
故即为直线PA与平面ABCD所成的角，
又，所以，
所以直线PA与平面ABCD所成的角为；
(2)证明：因为侧棱平面，平面，所以，
又，，所以平面，，
由可得，
又，所以平面，，
因为，，
所以平面；
(3)由(2)知，所以为二面角的平面角，
不妨设，则，，，
在中，由余弦定理得，
所以二面角的大小为60.
5．(2020·浙江杭州市·高一期末)如图，三棱柱的棱长均相等，，平面平面，分别为棱、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】证明：
(1)取的中点，连接，
于是，又，
所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，而面，面，
所以直线平面；
(2)连接，∵ 四边形为菱形，，
为的中点，∴，∵平面平面，
且平面平面，平面平面，
且平面平面，
∴平面，又，∴，
∴就是二面角的平面角，设棱长为2，
则，∴，
∴二面角的大小为.
6．(2020·浙江杭州市·高一期末)如图所示，在三棱锥中，平面，，且，，是的中点.
(1)求异面直线与所成角的余弦值；
(2)求二面角的正切值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)取线段中点，连接、、，则，且，
从而或其补角就是直线与所成的角.
平面，平面，，同理可得，
为的中点，则，，
，为的中点，则，
，，，则，
由余弦定理可得，
因此，异面直线与所成角的余弦值为；
(2)可知二面角的平面角与二面角的平面角互补.
在平面内作直线于，连接，
平面，平面，，同理可得，
，，平面，
平面，，所以，二面角的平面角为，
在中，由余弦定理得，
由等面积法可得，，
在中，，二面角的正切值为.
7．(2021·河南洛阳市·高一期末)在棱长为2的正方体中，是底面的中心.
(1)求证:平面;
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】(1)证明：连接，设，连接.
且，
是平行四边形.
.
又平面，平面，
平面.
(2)，，且，
平面.
平面平面，且交线为.
在平面内，过点作于，则平面，
即的长就是点到平面的距离.
在矩形中，连接，，则，
.
即点到平面的距离为.