初中数学苏科版九年级上册2.1 圆导学案及答案

专题2.1  圆的基本概念和性质（知识讲解）

 【学习目标】

1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系；

2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；

3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.

【要点梳理】

要点一、圆的定义及性质

1. 圆的定义
(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
要点诠释：
　  ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
  　②圆是一条封闭曲线.

(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.
要点诠释：
　  ①定点为圆心，定长为半径；
　　②圆指的是圆周，而不是圆面；
　　③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.

2.圆的性质
　　①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
  　②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.

要点诠释：
　　①圆有无数条对称轴；
　  ②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
3.两圆的性质
　   两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.

要点二、点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.

若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

点P在圆内 d ＜ r ；

点P在圆上 d = r ；

点P在圆外 d ＞r.

 “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.

要点诠释：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；

要点三、与圆有关的概念

1. 弦

弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
　　直径：经过圆心的弦叫做直径.

弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.
要点诠释：
　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.
　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：连结OC、OD
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)
　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦.
2. 弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.
　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；
　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.
要点诠释：
　　①半圆是弧，而弧不一定是半圆；
　　②无特殊说明时，弧指的是劣弧.
3.同心圆与等圆
　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.
　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
4.等弧
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.
要点诠释：
　　①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；
    ②圆中两平行弦所夹的弧相等.

【典型例题】

类型一、圆的定义

1． 如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．

【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.

【答案与解析】

证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．

∵BD，CE是△ABC的高，

∴△BCD和△BCE都是直角三角形．

∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，

∴DF=EF=BF=CF．

∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．

【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.

举一反三：

【变式】下列命题中，正确的个数是（　 ）
　⑴直径是弦，但弦不一定是直径； 　⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；
　⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ；　⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.
　　A.1个　　　      B.2个 　　　     C.3个　　　      D.4个

【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.

举一反三：

【变式】平行四边形的四个顶点在同一圆上，则该平行四边形一定是（   ）

A.正方形      B.菱形      C.矩形       D.等腰梯形

【答案】C.

2． 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域.这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？

【思路点拨】计算在导火索燃烧完的时间内人跑的距离与120m比较.

【答案与解析】

     ∵导火索燃烧的时间为

相同时间内，人跑的路程为20×6.5=130（m）

∴人跑的路程为130m＞120m,

∴点导火索的人安全.

【总结升华】爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示.

类型三、圆及有关概念 

2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)
　　①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（  ）
　　②弦是直径；（  ）
　　③长度相等的两段弧是等弧；（  ）
　　④直径是圆中最长的弦. （  ）

【答案】①√ ②× ③×  ④√.
【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.
【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.

举一反三：

【变式】 下列说法中，结论错误的是（　　）

A．直径相等的两个圆是等圆

B．长度相等的两条弧是等弧

C．圆中最长的弦是直径

D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧

【答案】B.

提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；

B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；

C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；

D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，

故选：B．

3．直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在           .

【答案】斜边的中点.

【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.

【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.

4．判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm，则与是等弧.

【答案】错误.

【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.

举一反三：

【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.

甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.

乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.

请你判断谁的说法正确？

【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.