初中数学24.1.1 圆精品导学案及答案

这是一份初中数学24.1.1 圆精品导学案及答案，共5页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，思路点拨，答案与解析，总结升华等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】


1．知识目标：在探索过程中认识圆，理解圆的本质属性；


2．能力目标：了解圆及其有关概念，理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、同心圆、等圆、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；


3．情感目标：通过圆的学习养成学生之间合作的习惯.





【要点梳理】


要点一、圆的定义及性质


1. 圆的定义


356996 概念、性质的要点回顾(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．





要点诠释：


①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；


②圆是一条封闭曲线.


(2)静态：圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合.


要点诠释：


①定点为圆心，定长为半径；


②圆指的是圆周，而不是圆面；


③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.


2.圆的性质


①旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心；


②圆是轴对称图形：任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴.


要点诠释：


①圆有无数条对称轴；


②因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.


3.两圆的性质


两个圆组成的图形是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线（经过两圆圆心的直线叫做两圆连心线）.


要点二、与圆有关的概念


1. 弦


弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.


直径：经过圆心的弦叫做直径.


弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.


要点诠释：


直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.


为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.





证明：连结OC、OD





∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)


∴直径AB是⊙O中最长的弦.


2. 弧


弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.


半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；


优弧：大于半圆的弧叫做优弧；


劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.


要点诠释：


①半圆是弧，而弧不一定是半圆；


②无特殊说明时，弧指的是劣弧.


3.同心圆与等圆


圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.


圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.


356996 概念、性质的要点回顾


4.等弧


在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.


要点诠释：


①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；


②圆中两平行弦所夹的弧相等.





【典型例题】


类型一、圆的定义


1．（2014秋•邳州市校级月考）如图所示，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．





【思路点拨】要证几个点在同一个圆上，就是证明这几个点到同一点的距离都相等即可.


【答案与解析】


证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，EF．


∵BD，CE是△ABC的高，


∴△BCD和△BCE都是直角三角形．


∴DF，EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，


∴DF=EF=BF=CF．


∴E，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上．





【总结升华】要证几个点在同一个圆上，只能依据圆的定义，去说明这些点到平面内某一点的距离相等.


举一反三：


【变式】下列命题中，正确的个数是（ ）


⑴直径是弦，但弦不一定是直径； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆；


⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷一条弦把圆分成的两段弧中，至少有一段是优弧.


A.1个 B.2个 C.3个 D.4个


【答案】⑴、⑵、⑶是正确的，⑷是不正确的.故选C.


类型二、圆及有关概念


2．判断题(对的打√，错的打×，并说明理由)


①半圆是弧，但弧不一定是半圆；（ ）


②弦是直径；（ ）


③长度相等的两段弧是等弧；（ ）


④直径是圆中最长的弦. （ ）


【答案】①√ ②× ③× ④√.


【解析】①因为半圆是弧的一种，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种，故正确；②直径是弦，但弦不一定都是直径，只有过圆心的弦才是直径，故错；③只有在同圆或等圆中，长度相等的两段弧才是等弧，故错；④直径是圆中最长的弦，正确.


【总结升华】理解弦与直径的关系，等弧的定义.


举一反三：


【变式】（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（ ）


A．直径相等的两个圆是等圆


B．长度相等的两条弧是等弧


C．圆中最长的弦是直径


D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧


【答案】B.


提示：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；


B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；


C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；


D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，


故选：B．


3．直角三角形的三个顶点在⊙O上，则圆心O在 .


【答案】斜边的中点.


【解析】根据圆的定义知圆心O到三角形的三个顶点距离相等，由三角形斜边的中线等于斜边的一半可知，斜边上的中点到各顶点的距离相等.


【总结升华】圆心到圆上各点的距离相等.


4．判断正误：有、，的长度为3cm, 的长度为3cm，则与是等弧.


【答案】错误.


【解析】“能够完全重合的弧叫等弧”.在半径不同的圆中也可以出现弧的长度相等，但它们不会完全重合，因此，只有在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.


【总结升华】在同圆或等圆中，长度相等的弧才是等弧.


举一反三：


【变式】有的同学说：“从优弧和劣弧的定义看，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧，所以优弧一定比劣弧长.”试分析这个观点是否正确.


甲同学：此观点正确，因为优弧大于半圆，劣弧小于半圆，所以优弧比劣弧长.


乙同学：此观点不正确，如果两弧存在于半径不相等的两个圆中，如图，⊙O中的优弧，中的劣弧，它们的长度大小关系是不确定的，因此不能说优弧一定比劣弧长.


请你判断谁的说法正确？





【答案】弧的大小的比较只能是在同圆或等圆中进行. 乙的观点正确.


类型三、圆的对称性


5．已知：如图，两个以O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D．求证：AC=BD．





【答案与解析】证明：过O点作OM⊥AB于M，交大圆与E、F两点.如图，


则EF所在的直线是两圆的对称轴，


所以AM=BM，CM=DM，


故AC=BD.





【总结升华】作出与AB垂直的圆的对称轴，由圆的对称性可证得结论.