苏科版九年级上册2.1 圆精品课后练习题

这是一份苏科版九年级上册2.1 圆精品课后练习题，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

专题2.48 圆中的折叠问题（培优练）
一、单选题
1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是（　　）

A．8 B．12 C． D．
2．如图，点是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心，则阴影部分的面积是面积的（    ）

A． B． C． D．
3．图1是一张圆形纸片，直径．现将点A折叠至圆心O形成折痕，再把点C，D都折叠至圆心O处，最后将图形打开铺平（如图2所示），则的长是（    ）

A． B． C． D．
4．如图， 在⊙O 中，点 C 在优弧 AB 上， 将弧 BC 沿 BC 折叠后刚好经过 AB的中点 D． 若⊙O的半径为，AB=4，则 BC 的长是（     ）

A．2 B．3 C．4 D．2
5．将半径为3 cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，则∠AOB的度数为（   ）

A．110° B．120° C．125° D．135°
6．如图，矩形纸片中，，直分别为的中点，分别为上的点，将这张纸片沿折叠，使点B与点G重合，则的外接圆的面积为（    ）

A． B． C． D．
7．已知半圆O的直径AB＝8，沿弦EF折叠，当折叠后的圆弧与直径AB相切时，折痕EF的长度m（　　）
A．m＝4 B．m＝4 C．4≤m≤4 D．4≤m≤4
8．如图，矩形ABCD中，AB＝12，BC＝18．将矩形沿EF折叠，使点A落在CD边中点M处，点B落在N处．连接EM，以矩形对称中心O为圆心的圆与EM相切于点P，则圆的半径为（    ）

A． B． C． D．
9．把边长为2+的正方形沿过中心的一条直线折叠，两旁重叠部分恰为正八边形的一半，则这个正八边形的边EF的长为（　　）

A．1 B．2 C． D．2
10． 如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（ ）

A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，将半径为的折叠，弧恰好经过与垂直的半径的中点D，已知弦的长为，则 ．
  
12．如图，在⊙O中，分别将弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是 ．

13．如图，AB、CD 为圆形纸片中两条互相垂直的直径，将圆形纸片沿EF 折叠，使 B 与圆心 M 重合，折痕 EF 与 AB 相交于 N，连结 AE、AF，得到了以下结论：①四边形 MEBF 是菱形，②△AEF 为等边三角形，③S△AEF：S 圆＝3：4π，其中正确的是 ．

14．如图，在正方形中，将分别沿折叠，折叠后点D与点C重合于点G，作的外接圆，若，则阴影部分的面积为 ．

15．如图，以为直径的半圆沿弦BC折叠后，与相交于点D．若，则 ．

16．如图，点A，B在圆O上，且，点P是射线上一动点（不与点O重合），连接，将沿折叠得到，当的边所在的直线与圆O相切时，的度数为 ．

17．如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为 ．
    
18．如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ．

三、解答题
19．在《折叠圆形纸片》综合实践课上，小东同学展示了如下的操作及问题：
（1）如图1，的半径为4cm，通过折叠圆形纸片，使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心，求AB长；
（2）如图2，弦AB，垂足为点C，劣弧AB沿弦AB折叠后经过的中点D，，求的半径．







20．如图，在中，．
（1）尺规作图：作出经过A，B，C三点的.（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接AO并延长，交于点D，连接DB，DC．
①求证：；
②将沿AD折叠，点C的对应点为，当______°时，四边形为菱形．






21．如图，D是的边上一点，连结，作的外接圆O，将沿直线折叠，点C的对应点E落在上．
（1）若，如图1．
①求的度数．
②若，求的度数．
（2） 若，如图2．求的长．
（3）





22．如图，在⊙O中，点C、D在上，将沿BC折叠后，点D的对应点E刚好落在弦AB上，连接AC、EC．
（1）证明：AC＝EC；
（2）连接AD，若CE＝5，AD＝8，求⊙O的半径．








23．如图，正方形ABCD的边长AD为⊙O的直径，E是AB上一点，将正方形的一个角沿EC折叠，使得点B恰好与圆上的点F重合．
（1）求证：CF与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，则AE的长为___．




24．综合与探究
问题情境：如图，已知为的直径，点C为上异于A，B的一点，过点C作的切线，过点A作于点D，连接．
（1）探究发现：证明：无论点C在何处，将沿折叠，点D一定落在直径上；
（2）探究引申：如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明；
（3）探究规律：如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．


























参考答案
1．D
【分析】由折叠可得，BE=B'E=AE，点B′在以E为圆心EA为半径的圆弧上运动．当D、B′、E共线时，B′D的长度最小．根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B′E=BE=4，即可求出B′D的最小值．
解：如图，B′的运动轨迹是以E为圆心EA为半径的圆弧，
∴当B′点落在DE上时，B′D取得最小值．
根据折叠的性质，可得△EBF≌△EB′F，
∴EB′⊥B′F，EB′＝EB，
∵E是AB边的中点，AB＝8，
∴AE＝EB′＝4，
∵AD＝BC＝12，
∴DE＝＝4，
∴DB′＝DE﹣B'E＝4﹣4．
故选：D．

【点拨】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的综合运用．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，关键是抓住对应边和对应角相等．
2．B
【分析】作于点，连接，，，根据题意可得，含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而求得，根据圆的旋转对称性，即可求得阴影扇形．
解：如图，作于点，连接，，，

∵折叠，
，
∴，
同理
∴，

∴，
扇形
∴由圆的对称性及旋转可得阴影扇形．
故选B
【点拨】本题考查了折叠的性质，圆的旋转对称性，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握圆的旋转对称性是解题的关键．
3．C
【分析】连接OC、OD、OE、OF，设AB与CD交于点H，根据折叠的性质可求的度数，进而可求的度数，然后根据弧长计算公式可求解．
解：连接OC、OD、OE、OF，设AB与CD交于点H，由题意得：

将点A折叠至圆心O形成折痕，
OA⊥CD，，
∠HCO=30°，∠COA=60°，
∠COD=2∠COA=120°，
又由再把点C，D都折叠至圆心O处，
∠COE=∠DOF=60°，
∠EOF=120°，
AB=4，
半径OA=2，
的长为：；
故选C．
【点拨】本题主要考查弧长计算、圆的基本性质及折叠的性质，关键是根据折叠及圆的性质得到弧的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
4．B
【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．
解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，

∵D为AB的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD=AB=2，
在Rt△OBD中，
∵将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．
∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
∵CE⊥AB，OF⊥CE，OD⊥AB；AE=DE =OD=1
∴四边形ODEF为正方形，
∴OF=EF=1，
在Rt△OCF中，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
∵BE=BD+DE=2+1=3，

故选：B．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．
5．B
解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，如图所示：

由折叠的性质可知，OD= OC=OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A=30°，
同理可得∠B=30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB=180°-∠A-∠B=120°.
故选B．
6．A
【分析】根据翻折变换的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，再利用翻折的性质求出，解直角三角形求出的长度，然后根据圆的面积公式列式计算即可得解．
解：由翻折的性质得，，，
点、分别为、的中点，
，
，
，
，
，
在中，cm，
的外接圆的面积cm2．
故选：A．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质以及解直角三角形，熟记各性质是解题的关键，求出是解题的突破口．
7．D
【分析】根据题意作出图形，根据垂径定理可得,设，则，分情况讨论求得最大值与最小值，即可解决问题
解：如图，

根据题意，折叠后的弧为，为切点，设点为所在的圆心，的半径相等，即，连接，设交于点，
根据折叠的性质可得，又则四边形是菱形，且

设，则
则当取得最大值时，取得最小值，即取得最小值，
当取得最小值时，取得最大值，
根据题意，当点于点重合时，四边形是正方形

则
此时
当点与点重合时，此时最小，

则
即
则

故选D
【点拨】本题考查了垂径定理，切线的性质，折叠的性质，勾股定理，分别求得的最大值与最小值是解题的关键．
8．B
【分析】连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，根据矩形的性质得到AH＝HD＝AD＝9，OM＝AD＝9，根据切线的性质得到OP⊥EM，根据勾股定理求出EM，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
解：连接OM、OP、OE，作OH⊥AD于H，
∵点O是矩形对称中心，
∴AH＝HD＝AD＝9，OM＝AD＝9，DM=CD=6
∵以O为圆心的圆与EM相切，
∴OP⊥EM，
由折叠的性质可知，EA＝EM，
在Rt△MDE中，EM2＝DE2＋DM2，即EM2＝（18−EM）2＋62，
解得，EM＝10，
∴DE＝8，
∴HE＝HD−DE＝1，
设MP＝x，则EP＝10−x，
∵OP2＝OE2−EP2＝OM2−MP2，
∴62＋12−（10−x）2＝92−x2，
解得，x＝=7.2，
∴OP＝＝5.4，
故选B．

【点拨】本题考查的是切线的性质、折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
9．C
【分析】重叠部分为正八边形的一半，则△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，设CG=x，则GF=x，B'F=x，从而BC=x+x+x=2+，即可解决问题．
解：如图，

∵重叠部分为正八边形的一半，
∴GF=EF=PE=HP，∠GFE=∠FEP=∠HPE=135°，
∴∠GFC=∠B'FE=∠DEP=∠A'PH=45°，
∴△CGF、△B'EF是全等的等腰直角三角形，
设CG=x，则GF=x，B'F=x，
∴BG=B'G=x+x，
∴BC=x+x+x=2+，
∴x=1，
∴GF=，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了正方形的性质，正八边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质、折叠性质等知识，用参数x表示出BC的长是解题的关键．
10．B
解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=得出阴影部分的面积是⊙O面积的．
故选B

考点：翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算
11．8
【分析】延长交于E点，交于点F，连接，由与垂直，根据垂径定理得到E为的中点，然后利用D是的中点和对称即可求出的长，从而求出，然后由的长，根据勾股定理求出的长，进而得出半径的长．
解：延长交于E点，交于点F，连接，
  
∵，
∴E为的中点，
∵，
∴，
∵D是的中点，，
∴，，
根据对称的性质可得：
，
，
在中，根据勾股定理可得：即
∴（负值舍去）
故答案为：8．
【点拨】此题考查了垂径定理，折叠的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平分弦，进而由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形来解决问题，故延长并连接作辅助线是本题的突破点．
12．
【分析】作OH⊥AB，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，根据折叠的对称性及三角形全等，证明AB=CD，又因AB∥CD，所以四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形面积公式即可得解．
解：如图，作OH⊥AB，垂足为H，延长OH交于E，反向延长OH交CD于G，交于F，连接OA、OB、OC、OD，则OA=OB=OC=OD=OE=OF=4，

∵弧AB、弧CD沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，
∴OH=HE=，OG=GF=，即OH=OG，
又∵OB=OD，
∴Rt△OHB≌Rt△OGD，
∴HB=GD，
同理，可得AH=CG= HB=GD
∴AB=CD
又∵AB∥CD
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△OHA中，由勾股定理得：
AH=
∴AB=
∴四边形ABCD的面积=AB×GH=．
故答案为： ．
【点拨】本题考查圆中折叠的对称性及平行四边形的证明，关键是作辅助线，本题也可通过边、角关系证出四边形ABCD是矩形．
13．①②③
【分析】①根据垂径定理可得 BM 垂直平分 EF，再求出 BN＝MN，从而得到 BM、EF 互相垂直平分，然后根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形求出四边形MEBF 是菱形，从而得到①正确；②连接 ME，根据直角三角形 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠MEN＝30°，然后求出∠EMN＝60°，根据等边对等角求出∠AEM＝∠EAM，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEM ＝30°，从而得到∠AEF＝60°，同理求出∠AFE＝60°，再根据三角形的内角和等于 180°求出∠EAF＝60°，从而判定△AEF 是等边三角形，②正确；③设圆的半径为 r，求出 MN＝r，EN＝ r， 然后求出 AN、EF，再根据三角形的面积公式与圆的公式列式整理即可得到③正确．
解：①根据垂径定理，BM 垂直平分 EF，
又∵纸片沿 EF 折叠，B、M 两点重合，
∴BN＝MN，
∴BM、EF 互相垂直平分，
∴四边形 MEBF 是菱形，故①正确；
②如图，连接 ME，则 ME＝MB＝2MN．
∵∠ENM＝90°，
∴∠MEN＝30°，
∴∠EMN＝90°﹣30°＝60°，
又∵AM＝ME（都是半径），
∴∠AEM＝∠EAM，
∴∠AEM＝ ∠EMN＝ ×60°＝30°，
∴∠AEF＝∠AEM+∠MEN＝30°+30°＝60°，
同理可求∠AFE＝60°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF 是等边三角形，故②正确；
③设圆的半径为 r，则 MN＝r，EN＝ r，
∴EF＝2EN＝r，AN＝r+ r＝r，
∴S△AEF：S 圆＝（×r×r）：πr2＝3：4，故③正确；
综上所述，结论正确的是①②③．

故答案①②③．
【点拨】本题圆的综合题型，主要考查了翻折变换的性质，垂径定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，等边三角形的判定与性质，综合题，但难度不大，仔细分析便不难求解．
14．
【分析】连接，，，根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
解：连接，，，
在正方形中，
，
将、分别沿、折叠，折叠后点与点重合于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，过O作OH⊥AG于H，
∴AH=3，
，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．

【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
15．
【分析】如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，，由题意得到，进而求得，再根据圆内接四边形对角互补得到，继而求得的大小即可求得答案．
解：如图，根据题意补出半圆，点A的对应点为点E，点O的对应点为，连接，．则，，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，翻折变换等知识，正确作出辅助线、熟练运用相关知识是解题的关键．
16．或或
【分析】根据折叠的性质和圆的性质，分三种情况讨论：当所在直线与圆O相切于点A时，当所在直线与圆O相切于点A时，当所在直线与圆O相切时，不同情况进行解答即可.
解：由折叠的性质得，
①    当所在直线与圆O相切于点A时，分两种情况讨论：
a、若点在上方，如图（1），
  
由折叠性质可得：，
∴；
b.    若点在下方，如图（2），
  
易得，
∴；
②当所在直线与圆O相切于点A时，如图（3），
  
∵，
∴；
③当所在直线与圆O相切时，设切点为C，如图（4），
  
易知此时点P的位置与图（3）中相同，故；
综上，的度数为，或；
【点拨】本题主要考查了圆的性质，掌握好圆的相关知识是解题的关键.
17．1
【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．
解：如图所示，延长交于M，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
∵E为的中点，
∴，
由折叠的性质可得，
∴，
又∵，
∴，  
∴，  
设，则，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴，
如图所示，连接
∵分别与，，相切，切点分别为，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的半径为，
故答案为；1．
    
【点拨】本题主要考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．
【分析】过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，根据垂径定理得出，根据勾股定理求出，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
解：过点O作于点M，交于点N，交于点P，此时过点P的切线最长，连接，，

∵，
∴，
在中，根据勾股定理可得：
，
根据折叠可知，，
∴，
∵是弧的切线，
∴，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：
，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，切线的性质，解题的关键是找出使最大时，点P的位置．
19．（1）cm；（2）cm
【分析】（1）如图1，作交于，交于，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，进而可求的值；
（2）如图2，延长交于，连接，设半径为，由题意知，由折叠和中点的性质可知，在中，由勾股定理得，即，求出满足要求的解即可．
（1）解：如图1，作交于，交于，连接

由题意知，，
在中，由勾股定理得
∴
∴的长为．
（2）解：如图2，延长交于，连接，设半径为

由题意知，由折叠和中点的性质可知，
在中，由勾股定理得，即
解得：，（不合题意，舍去）
∴半径的长为．
【点拨】本题考查了垂径定理，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
20．（1）见分析；（2）①见分析；②60．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，作图确定斜边的中点即可；
（2）①根据平行四边形的性质得出对应边相等，再利用证明；
②根据菱形的性质即圆的性质，可得到所在的三角形为等边三角形，即可得出结论．
解：（1）如图所示，即为所求．
其过程为：分别以为圆心，超过一半的长为半径画弧会相交两点，连接两点的直线与相交的点为点，即为过A，B，C三点的的圆心，以为半径画圆．

（2）证明：①∵，
四边形ABDC是平行四边形.
∴，
在和中

∴

②如图：

若四边形为菱形，则，
同时又有，
为等边三角形，
四边形为菱形，
故答案是：．
【点拨】本题考查了作直角三角形的外接圆、三角形全等的判定定理、折叠、菱形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关的性质定理．
21．（1）①30，②60；（2）
【分析】（1）①根据折叠的性质可得，根据等弧所对的圆周角即可求解；
②根据等边对等角可得，根据（1）的结论可得，进而根据折叠的性质求得，进而根据即可求得，
（2）根据，可得，，根据折叠的性质可得，进而即可求解．
解：（1）①，，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
；
②，
，
，
，
将沿直线折叠，点C的对应点E落在上，
，
中，，则，
，
，
，
（2）



折叠




【点拨】本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．
22．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）先由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，再由圆周角定理得∠CBD＝∠CBE，则，得，即可得出结论；
（2）连接OC交AD于H，连接OA，设⊙O的半径为r，由（1）得：，AC＝CE＝5，则OC⊥AD，由垂径定理得AH＝AD＝4，再由勾股定理求出CH＝3，则OH＝OC﹣CH＝r﹣3，然后在Rt△AOH中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
解：（1）证明：由折叠的性质得：，BC垂直平分DE，
∴∠CBD＝∠CBE，
∴，
∴，
∴AC＝EC；
（2）解：连接OC交AD于H，连接OA，如图：

设⊙O的半径为r，
由（1）得：，AC＝CE＝5，
∴OC⊥AD，
∴AH＝AD＝4，∠AHC＝∠AHO＝90°，
∴CH＝＝＝3，
∴OH＝OC﹣CH＝r﹣3，
在Rt△AOH中，由勾股定理得：，
解得：r＝，
即⊙O的半径为．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理、圆周角定理是解题的关键．
23．（1）证明见分析；（2）
【分析】（1）如图，连接OF，OC ，由题意知，，由折叠可知，则，证明 ，则，进而结论得证；
（2）由题意知，，由，可得，则三点共线，设，则，，在中，由勾股定理得即，计算求解即可．
解：（1）证明：如图，连接OF，OC

由题意知，
由折叠可知
∴
在和中

∴
∴，
又∵是⊙O的半径
∴CF与⊙O相切．
（2）解：由题意知，四边形是正方形，
∴
∵，
∴
∴三点共线
设，则，
在中，由勾股定理得即
解得
故答案为：．
【点拨】本题考查了切线的判定，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（1）见分析；（2），证明见分析；（3）
【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，然后根据折叠的性质可判断将沿折叠，点一定落在直径上；
（2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到；
（3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到．
解：（1）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
无论点在何处，将沿折叠，点一定落在直径上；
（2）解：．
理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，
，
，

为的切线，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
；
（3）解：为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
而，
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质．